Задачник по физике (термодинамика) (550710), страница 9
Текст из файла (страница 9)
КПД любойтепловой машины не может превосходить КПД идеальной машиныКарно с теми же температурами нагревателя и холодильника.ЭнтропияМожно показать, что приведенное количество тепла Q T независит от пути перехода, а определяется только начальным иконечным состояниями системы. Для обратимых процессов оноявляется полным дифференциалом функции состояния системы S,называемой энтропией системыdS =QTДж.Кобр(3.6)Энтропия системы определяется с точностью до произвольнойпостоянной.
Физический смысл имеет не сама энтропия, а разностьэнтропий двух равновесных состояний . Для обратимого процесса2S = S2 – S1 =1dQ.T(3.7)Если переход из начального состояния в конечноеосуществляется несколькими последовательными процессами, тополное изменение энтропии равно алгебраической сумме измененийэнтропии в каждом процессе.Энтропия адиабатически изолированной системы в любомобратимом процессе не изменяетсяdQ0,S=T обра в необратимом процессе возрастаетS = S2 – S1 0.49Следовательно, энтропия изолированной системы не можетубывать.
Максимально возможное значение энтропии системыдостигается в состоянии равновесия.Для обратимых процессов выполняется термодинамическое тождествоQ T dS dU A ,поэтому элементарная работаA(dU T dS) .Значит, в природе невозможен процесс, в результате котороговнутренняя энергия dU (тепловая энергия хаотического движения)перешла бы полностью в полезную работу (энергию направленного движения).Таким образом, энтропия является мерой обесцениваниятепловой энергии, мерой беспорядка (хаоса) в системе. Чем большеэнтропия системы, тем меньше вероятность совершения системойполезной работы, а в состоянии равновесия система не можетсовершать полезную работу.
Энтропия связана с вероятностью wосуществления данного состояния системы. Количественноесоотношение установлено БольцманомS k ln w ,–23где k =1,38 10 Дж/К постоянная Больцмана. Последнее выражениеиногда считают еще одной математической формулировкой II началатермодинамики, так же и как принцип возрастания энтропии.Примеры решения задачЗадача 3.1 Тепловая машина работает по некоторому обратимомупрямому циклу, КПД которого= 25%. Каков будет холодильныйкоэффициент этой машины, если она будет совершать тот же цикл вобратном направлении?РешениеВ обратном цикле рабочее тело будет отбирать у холодильникаколичество тепла Q2 и затем отдавать нагревателю количествотеплоты Q1. Работа А, совершенная рабочим телом в обратномцикле, будет отрицательна.Холодильный коэффициент (3.3) запишетсяQ2.kAКоэффициент полезного действия прямого цикла (3.1)A,Q1где количество подводимого в этом цикле тепла можно выразитьчерез холодильный коэффициентQ1Q2AA(k 1) .50СледовательноAA(k 1)1k 1.Окончательно получаемk 1111 30,25Задача3.2m=1кгвоздухасовершаетцикл Карно в диапазонетемператур t1 = 327 C и t2 = 27 C, причеммаксимальноедавлениевцикле5Р1 = 26 10 Па, а минимальное - Р2 = 105 Па.Определить объѐмы газа для характерныхточек цикла и недостающие значениядавления.
Молярная масса воздуха=–329 10 кг/моль.300%Р1Р22Р3Т1Р4Р334Т2РешениеV1 V 2 V 4V3VДля воздуха показатель адиабаты= 1,4 (i = 5).Рис. 3.3Максимальное давление в циклеКарно соответствует точке 1: P1 = 26 105 Па. Так как температура в этойточке известна T1 = 600 K, то из уравнения состояния идеального газа (1.11)m R T1m1 8,31 600P1 V1R T1V10,066м 3 .35P129 1026 10Минимальное давление в цикле реализуется в точке 3: P3 = 105 Па, атемпература в этой точке T3 = 300 К.
Аналогично запишемmRT 3m1 8,31 300P3 V3RT3V30,86 м 3 .35P329 1010Для точки 2 температура T2 = T1 = 600 K. Используем уравнениеадиабаты 2–3P2P3T2T31P2P3T2T3110 56003001,40,411,31 10 5 Па.А также уравнение изотермы для процесса 1–2P26 10 5P1 V1 P2 V2V2 V1 1 0,066P211,31 10 50,152 м3 .Для точки 4 из уравнения адиабаты 4–1 получаем давление Р4P1P4T1T41P4TP1 4T1126 1053006003,52,3 10 5 Па.51Из уравнения изотермы 3–4 объем в этой точкеP10 5P3 V3 P4 V4V4 V3 3 0,86P42,3 10 5Задача 3.3 Холодильная машинаработает по обратному циклу Карно1–4–3–2–1 в диапазоне температурt1 = 27 C и t2 = –3 C (рис.3.4). Рабочеетело – азот массой m = 2 кг. Найтиколичество теплоты Q2, отбираемое уохлаждаемого тела, и работу внешних силза цикл, если отношение максимальногообъѐма к минимальному n = 5. Молярнаямасса азота = 28 10–3 кг/моль.Р10,37м 3 .Q1243Q2VРис. 3.4РешениеИскомое количество теплоты получено рабочим газом отохлаждаемого тела в процессе 4–3: Q2 = Q 43 .
Поскольку это процессизотермического расширения, тоQ 43mA 43RT lnV3V4Из графика цикла очевидно, что максимальный объѐм за цикл V3, аминимальный V1. Тогда по условию V3 V1 n . Из уравнения адиабаты 1–4:11V1V4T2T1V1V4T2T11.Перемножив почленно два последние равенства, получим11V3T2.nV4T1Подставляя это выражение, для Q43 имеем:Q 43Q 43mQ20,228 1031RT2 ln n18,31 270 ln 5lnT2T11300ln1,4 1 27030 кДж .Работа внешних сил за цикл: AQ1 Q2 , а так как для цикла Карноприведенные теплоты в изотермических процессах одинаковы (3.4), тоQ 2 T2TQ1 Q 2 2 ,Q1 T1T1AQ2T2T113030012703,33 кДж52Задача 3.4 Тепловая машина работает по циклу Карно.Температура нагревателя t 1 400 0 C , холодильника t 2 20 0 C .Рабочим телом служат m = 2 кг воздуха. Давление в концеизотермического расширения Р2 равно давлению Р4 вначалеадиабатического сжатия.
Время выполнения цикла = 1 с. Построитьцикл Карно в координатах (S T) энтропия температура и найтимощность двигателя, работающего по этому циклу. Молярная массавоздуха = 0,029 кг/мольРешениеРассмотрим последовательно процессы,Рвходящие в цикл Карно.Процесс1-2(см.рис.3.5)–изотермическоерасширениепритемпературе Т1 = const c подведениемтепла. Тогда, согласно (3.7)2S121QT112QT1 1Q12,T11243VРис. 3.5причем Q 12 > 0 следовательно S12 > 0 –участок вертикальной прямой 1-2 на рис.3.6.Процесс 2-3 (рис.3.5) – адиабатическоеSрасширение,Q23 = 0,следовательно32S2 = S3, а температура уменьшается дозначенияТ2.Этомупроцессунадиаграмме S–Т (рис.3.6) соответствует41горизонтальный участок 2-3.Процесс 3-4 изотермическое сжатиепри температуре T2 const с передачейТ2Т1Ттепла холодильнику, поэтому Q 34 < 0, аРис.
3.6значит и S 34 < 0 энтропия убывает.Процесс 4-1 адиабатическое сжатие при Q41 0 , а поэтому S 4 S1 ,температура возрастает до значения T1 .Коэффициент полезного действия цикла КарноT1 T2A,T1Q1где Q 1 = Q12 – количество тепла, полученное рабочим телом научастке изотермического расширения 1-2.
Тогда работа за циклT1 T2AQ1Q1.T1Мощность двигателяA T1 T2 Q1N.T153С учетом уравнения изотермы 1-2 : P1V1Q1mR T1 lnV2V1Так как по условию P2 = P4,адиабатического сжатия 4–1P1P4P1P2T1T2mто1P2 V2 ,R T1 lnизуравненияmQ1P1P2R T11процессаlnT1.T2Подставляя Q1 в выражение для мощности N, получимNNT1T2 m400 202129 10R318,314lnT1T21,4673ln1,4 1293634 кВт.Задача 3.5 Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему изизотермического, изобарического и адиабатического процессов. Визобарическом процессе рабочее тело – идеальный газ – нагреваетсяот температуры T1 = 200 K до температуры T2 = 500 K.
Определитькоэффициент полезного действия данного теплового двигателя идвигателя, работающего по циклу Карно, происходящему междумаксимальной и минимальной температурами данного цикла.РешениеВусловиизадачинеуказанаРпоследовательность процессов, составляющих12цикл, но поскольку изобарический процессидет с ростом температуры, то на графикепрямая этого процесса должна лежать3Т = constвышекривыхизотермическогоиадиабатического процессов. Поэтому, какVпоказано на рис.3.7, сначала идет процессРис.3.7изобарическогорасширения,потомадиабатическогорасширениядопервоначальной температуры, а затем изотермическим сжатием газвозвращаютвисходноесостояние(любаядругаяпоследовательность процессов не удовлетворяет условию задачи).В данном цикле газ получает теплоту в процессе 1–2, поэтомуQ1 = Q12, а отдает теплоту в процессе 3–1, то есть Q2 = Q31.
Процесс2–3 адиабатический Q23 = 0.Количество теплоты, получаемое в изобарическом процессеQ1Q12mCPмол (T2T1 )m i 2R(T2iT1 ) .54Количество теплоты, отдаваемое в изотермическом процессеV3.V1Для адиабатического процесса 2–3, учитывая, что T1 = T3, имеемQ2V3V2mQ 311R T1 lnT2T3T2.T1Извлекая корень степени ( – 1) из левой и правой частей, получимV3V2T2T111.В изобарическом процессе 1–2:V2 T2.V1 T1Перемножая эти выражения, получим:1V3 V2V2 V1T2T11V3V1T2T1T2T11.Тогда, тепло, отдаваемое в адиабатическом процессеQ2Q 31mRT11lnT2.T1Показатель адиабаты выражаем через число степеней свободымолекулы газаi 2i 2.i12Окончательно, отдаваемое теплоQ2Tm i 2RT1 ln 2 .2T1Коэффициент полезного действия цикла (3.2)1Q2Q1Tm i 2RT1 ln 22T11m i 2R(T2 T1 )21T1T2T1lnT2T112 5ln3 20,39ККоэффициентполезногодействияциклаКарномаксимальной и минимальной температурамиT2 T1 500 2000,6 .KT2500между55Задача 3.6 Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двухадиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется вn = 10 раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
