Задачник по физике (термодинамика) (550710), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Определить среднюю длину свободного пробега молекулыводорода. Эффективный диаметр молекулы водорода d эф = 0,28 нм,молярная масса водорода = 2 10–3 кг/моль.РешениеСредняя длина свободного пробега молекул согласно формуле(5.1) определяется1.2 d2эфnКонцентрацию молекул газа находим из соотношения nчисло молекул в баллонеmNNA .СледовательноОкончательно имеемnmNAVN V , где99V2 102dэ™mN A3310 1010 239,6 10 8 “ .2322 3,14 (2,8 10 ) 106,02 10Задача 5.2 Найти среднее число Z столкновений, которыепроисходят в течение одной секунды между всеми молекулами гелия,занимающего при нормальных условиях объем V = 1 мм3.Эффективный диаметр молекулы гелия dэф = 2 10–10 м, молярнаямасса гелия = 4 10–3 кг/моль.РешениеСреднее число столкновений каждой молекулы за одну секундуопределяется по формуле (5.4).z vПодставляя в это выражение среднюю арифметическую скоростьмолекул гелия8RTvи среднюю длину свободного пробега молекул1,2 d2эфnполучаемz4d2эфnRT.Выразим число всех молекул в сосуде через концентрацию N = nV.Учитывая, что в среднем в столкновении участвуют две молекулы,получаем общее число столкновений всех молекулNRT2V(nd' эф )2.2Концентрацию молекул найдем из уравненияидеального газа (5.2)P,nkTтогда имеемZZ2VPdэфkTz2RT2 10910 5 2 101,38 1023102732состояния3,14 8,31 2734 1037,52 10 25 1 / cЗадача 5.3 Как зависят средняя длина свободного пробега ичисло столкновений каждой молекулы идеального газа в единицу100времени от температуры в следующих процессах: а) изохорическом, б)изобарическом?Решениеa) Средняя длина свободного пробега молекул1.2 d2эфnДля изохорического процесса (V = const) концентрация молекулгаза n N V не изменяется, следовательно = const и не зависит оттемпературы газа.Среднее число столкновений молекулы за одну секунду.z vили (см.
решение задачи 5.2)z4d2эфnRT.Следовательно, среднее число столкновений зависит оттемпературы газа z ~ T .б) Для изобарического процесса (P = const) концентрация газа n небудет постоянной. Заменяя n P kT , получаемkT2 d2эфP,т.е.средняядлинасвободногопробегамолекулпропорциональна температуре ( ~ T).Среднее число столкновений молекулы за одну секундуz4d2эф nRT4d2эфPkпрямоR.TСледовательно, z ~ 1 T .Задача 5.4 Определить,восколькоразотличаютсякоэффициенты диффузии двух идеальных газов, находящихся водинаковых условиях, если отношение молярных масс этих газов0,6 .
Значения эффективных диаметров молекул этих газов1 2принять одинаковыми.РешениеКоэффициент диффузии согласно формуле (5.7) равенD13v ,где средняя длина свободного пробега молекули средняяарифметическая скорость молекул v соответственно запишутся1011kTd2эфn22 d2эфP8kNA T8RTv;.Подставляя в формулу для коэффициента диффузии, получаем8kNA T1kT23 2 dэфPDNA Tk232.3d2эфPСледовательноD2D110,60,77 .2Задача 5.5 Определить коэффициент диффузии D кислорода вусловиях, когда отношение давления и температуры равноP T 103 Па K , а коэффициент вязкости при этих условиях= 1,9 10–4 г/(см с).
Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.РешениеЗапишем формулы для коэффициентов вязкости и диффузии газа1313v ; Dv .СледовательноD.Из уравнения состояния идеального газа имеемP,RTтогдаDRTP19, 1010358,310,0324,93 10Задача 5.6 Гелий при нормальных условияхзаполняетпространствомеждудлиннымикоаксиальными цилиндрами. Радиус внешнегоцилиндра R1 = 8 см, зазор между ними L = 4 мм(см.рис.5.4).
Внешний цилиндр неподвижен,внутренний вращается с угловой скоростью= 2 рад/с. Найти момент сил трения,действующих на единицу длины внешнегоцилиндра. Коэффициент вязкости гелия принормальных условиях = 1,96 10–5 кг/(м с).6м2 c .LR1Рис. 5.4102РешениеНа боковую поверхность внешнего цилиндра будет действоватьсила вязкого трения (5.10)duSdrFи момент этой силы, равныйMтрFR1 .Найдем градиент скорости du dr слоев газа в зазоре междуцилиндрами, считая, что скорость изменяется линейно от нуля вблизиповерхности внешнего цилиндра до u(R 1 L) вблизи поверхностивнутреннего цилиндра:(R1 L )duu u.drLLLПлощадь боковой поверхности внешнего цилиндра равна S 2 R1h ,где h = 1 м - длина цилиндров.Подставляя, получаем(R1 L)F2 R1hLиR11 2 R 12hLMтрMтр196,10528 1024 1031 2 314,64 10451 3 10H м.Задача 5.7 Какой наибольшей скорости может достичь дождеваякапля диаметром D = 0,3 мм? Коэффициент вязкости воздуха принятьравным = 1,8 10–5 кг/(м с).
Плотность воды = 1000 кг/м3.РешениеНа падающую дождевую каплю действуют три силы (рис.5.5):а) Сила тяжестиFт mgводыVg ,0где V4R331 3D – объем капли.6б) Сила сопротивления (вязкого трения), котораяопределяется по формуле Стокса (5.12)Fс 6 uR 3 uD .в) Выталкивающая сила АрхимедаFAвоз дVg .YFCFAFТРис. 5.5103Так как воз дводы , в данном случае выталкивающей силойможно пренебречь.При установившемся движении скорость максимальна, аускорение капли равно нулю, следовательно второй закон Ньютона впроекции на оси ОY имеет видFтFcили016водыD3 g 3uD0.Окончательно имеемuводыD2g10 3 (0,3 10183 3)18 1,8 109,8158,2 10 4 м c .Задача 5.8 Цилиндрический термос имеет наружный радиусr2 = 20 см, внутренний r1 = 16 см, высоту h = 60 см.
При какомдавлении коэффициент теплопроводности воздуха между стенкамитермоса начнет уменьшаться при откачке воздуха? Какое количествотепла передается ежесекундно через стенки термоса при давленииP = 0,02 Па, если температура внутри термоса t1 = 60 С, снаружи –t2 = 20 С? Температуру воздуха между стенками термоса считатьравной среднему арифметическому температур внутри и снаружитермоса. Эффективный диаметр молекулы воздуха dэф = 0,3 нм,молярная масса воздуха = 0,029 кг/моль.РешениеПри уменьшении давления средняя длина свободного пробегамолекул воздуха начинает увеличиваться и при некотором Ркрстановится равной расстоянию между стенками сосуда. Найдем Р кр изусловия(r2 r1 ) :kTcp1;2 d2эфn2 d2эфPkpk(T1T2 )1,38 1023(293333 )0,27 Па .22 2 dэф(r2 r1 ) 2 2 3,14 0,3 2 10 18 4 10 2Можно считать, что начиная с этого значения давлениятеплопроводность воздуха будет преимущественно определяться нестолкновениями молекул между собой, а их столкновениями состенками сосуда.
Тогда при Р < Pкр согласно (5.14) коэффициенттеплопроводности запишетсяPkp1(r23r1 ) v c удV1(r23r1 )8RTcpPiRRTcp 210P(r23r1 )R,(T1 T2 )так как для двухатомного газа (воздуха) число степеней свободы i = 5.Выберем между стенками термоса некоторую цилиндрическуюповерхность радиусом r (r1 < r < r2). Тогда количество тепла Q за одну104секунду через эту поверхность площадью S = 2 rh можно найти поуравнению Фурье (5.13):dTdTQS2 rhdrdrИлиdrQ2 rhrdT ;Q 2 dr2 hr r1T2dT .T1ПолучаемQk2 (T1 T2 )hln(r2 r1 )20P(r2 r1 )(T1 T2 )h3 ln(r2 r1 )R.(T1 T2 )Подставляя числовые данные, имеемQ20 0,02 0,04 40 0,63 ln(0, 2 0,16)8,31 3,140,029 6260,69 Дж .Задачи для самостоятельного решения5.9 Длина свободного пробега молекул водорода при нормальныхусловиях= 1,28 10–5 см.
Найти эффективный диаметр молекулыводорода dэф.5.10 = 5 молей воздуха находятся в сосуде объемом V = 2 л.Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха в этихусловиях. Эффективный диаметр молекулы воздуха принять равнымdэф = 0,3 10–9 м.5.11 Вычислить среднюю длинусвободного пробега молекулхлорапри температуре t = 0 С и давлении Р = 1,5 105 Па.Эффективный диаметр молекулы хлора dэф = 3,5 10–10 м.5.12 При каком давлении Р воздуха, находящегося притемпературе t = 27 С, средняя длина свободного пробега его молекулсоставляет= 7,93 10–3 м? Эффективный диаметр молекулывоздуха принять равным dэф = 0,3 нм.5.13 Средняя длина свободного пробега молекул водорода принормальных условиях составляет = 0,1 мкм.
Определить среднююдлину 1 их свободного пробега при давлении Р = 0,1 мПа, еслитемпература газа останется постоянной.5.14 Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота,находящегося в колбе диаметром D = 20 см при давленииР = 100 мкПа и температуре Т = 280 К. Можно ли считать, что в колбесоздан высокий вакуум? Эффективный диаметр молекулы азотаdэф = 0,38 нм.1055.15 Кислород находится при t = 0 С в сосуде с характернымразмером L = 10 мм. Найти давление Р газа, ниже которого средняядлина свободного пробега молекул > L, и соответствующую этомудавлению концентрацию молекул кислорода.
Эффективный диаметрмолекулы кислорода равен dэф = 3,6 10–10 м.5.16 Во сколько раз средняя длина свободного пробега молекулазота, находящегося при нормальных условиях, больше среднегорасстояния L между его молекулами? Эффективный диаметрмолекулы азота dэф = 0,38 нм.5.17 Вакуум в рентгеновской трубке составляет Р = 10 –6 мм рт.ст.при температуре t = 15 С. Во сколько раз длина свободного пробегаэлектронов в этих условиях больше расстояния L = 50 мм междукатодом и антикатодом в трубке? Принять, что средняя длинасвободного пробега электронов в газе в= 5,7 раза больше, чемсредняя длина свободного пробега молекул самого газа.
Значениеэффективного диаметра молекул воздуха dэф = 3 10–10 м.5.18 Средняя длина свободного пробега молекул углекислого газапринормальныхусловиях= 4 10–8 м.Каковасредняяарифметическая скорость v молекул? Сколько столкновений z всекунду испытывает молекула? Молярная масса углекислого газа= 0,044 кг/моль.5.19 Сколько столкновений z за одну секунду испытываетмолекула неона при температуре Т = 600 К и давлении Р = 1 ммрт.ст., если эффективный диаметр молекулы неона принять равнымdэф = 2,04 10–10 м? Молярная масса неона = 0,02 кг/моль.5.20 Сколько столкновений z испытывает в среднем молекулауглекислого газа СО2 за одну секунду при нормальном давлении итемпературе? Эффективный диаметр молекулы углекислого газаdэф = 4 10–10 м, молярная масса углекислого газа = 0,044 кг/моль.5.21 Вычислить среднюю длину свободного пробегаи времямежду двумя столкновениями молекул кислорода при давленииР = 1,5 10–6 мм рт.ст.
и температуре t = 17 С. Эффективный диаметрмолекулы кислорода равен dэф = 3,6 10–10 м, молярная массакислорода = 0,032 кг/моль.5.22 Определить среднюю длину свободного пробегамолекулкислорода, находящегося при температуре t = 0 С, если среднеечисло столкновений, испытываемых молекулой за одну секунду,z = 3,7 109 1/с. Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.5.23 При температуре Т = 300 К и некотором давлении средняядлина свободного пробега молекул кислорода = 0,1 мкм. Чему будетравно среднее число столкновений z молекулы кислорода за однусекунду, если сосуд откачать до Р1 = 0,1Р, где Рначальное106давление газа.
Температуру газа считать постоянной. Молярнаямасса кислорода = 0,032 кг/моль.5.24 Сколько столкновений Z происходит ежесекундно в объемеV = 1 см3 между молекулами кислорода, находящимися принормальных условиях? Эффективный диаметр молекулы кислородаравен dэф = 3,6 10–10 м, молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.5.25 В баллоне, объем которого V = 2,5 л, содержится углекислыйгаз. Температура газа t = 127 С, давление Р = 100 мм рт.ст. Найтичисло молекул N в баллоне и число столкновений Z за одну секундумежду молекулами в баллоне. Эффективный диаметр молекулыуглекислого газа dэф = 0,4 10–9 м, молярная масса углекислого газа = 0,044кг/моль.5.26 Сколько столкновений Z за = 1 мин происходит в объемеV = 1 л водорода, если плотность водорода= 8,5 10–2 кг/м3 притемпературе t = 0 С? Эффективный диаметр молекулы водородаdэф = 0,28 нм, молярная масса водорода = 2 10–3 кг/моль.5.27 Идеальный газ нагревают при постоянном давлении.
Какизменяются длина свободного пробега и число столкновений z егомолекул за одну секунду с изменением температуры?5.28 Идеальный газ сжимают изотермически. Найти зависимостисредней длины свободного пробега и числа столкновений z его молекулза одну секунду от давления. Изобразить эти зависимости на графиках.5.29 Найти зависимости средней длинысвободного пробега ичисла соударений z в одну секунду молекул идеального газа оттемпературы для изохорического процесса. Изобразить этизависимости на графиках.5.30 Одноатомный идеальный газ сжимается адиабатически.Найти зависимости средней длины свободного пробега его молекула) от давления, б) от температуры.5.31 В результате изохорическогопроцесса температураидеального газа увеличилась в m = 3 раза. Во сколько разизменились средняя длинасвободного пробега и среднее числостолкновений z его молекул за одну секунду?5.32 В изотермическом процессе давление идеального газаувеличили в m = 4 раза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
