1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.11 / 22Отметим, что по предположению, в рассматриваемой малойокрестности начального положения aν системы точек – неткинетических фокусов, т.е. все прямые пути между начальным илюбыми конечными положениями в этой окрестности – единственные,а все остальные пути между ними – окольные.Значит если aν fν eν – прямой путь, то любой другой бесконечноблизкий к нему путь aν cν eν – будет окольным.Причём положение cν , которую точка Pν проходит в момент t наокольном пути aν cν eν и такое что cν 6= fν , в рассматриваемойокрестности всегда найдется – в силу произвольности(неопределенности) всех локальных путей.Иными словами всегда найдется какой-то окольный путь, двигаясь покоторому точка Pν в момент t окажется в точке cν 6= fν .Этот окольный путь aν cν eν может быть, в том числе, и частьюбольшого окольного пути γν0 .
Ведь окольные пути никогда неопределены точно (как прямые), они являются только кинематическидопустимыми путями между начальным и конечным положениямисистемы точек, проходимые за одно и то же время t1 − t0 .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.12 / 22Обозначим длины дуг:en, t+dtd snfν eν − dσν , cν eν − dlν , fν cν − δsνa d lnИз бесконечно малого треугольника cν fν eνfn, tпо теореме косинусов получим:dsncn, tdlν2 = dσν2 + δs2ν − 2dσν δsν cos ανВ силу того что cν 6= fν — среди величин δsν (ν = 1, .
. . , N ) хотя быодна будет отлична от нуля.Тогда умножая обе части последнего равенства на mν и суммируя повсем точкам системы получим строгое неравенство:NNNXXXmν dlν2 >mν dσν2 − 2mν dσν δsν cos ανν=1ν=1ν=1Если T 0 – кинетическая энергия системы при ее движении по пути cν eν ,являющемуся частью окольного пути aν cν eν , а T – кинетическая энергиясистемы при движении точек Pν по дугам fν eν , соответствующихвспомогательному действительному движению по прямому пути aν fν eν ,NNXX⇒mν dlν2 = 2T 0 dt2 ,mν dσν2 = 2T dt2ν=1Батяев Е.
А. (НГУ)ν=1ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.13 / 22Так как dσν /dt = vν , тогда перепишем неравенство в виде:T 0 dt > T dt −NXmν vν δsν cos ανν=1Вычитая из обеих частей величину Πdt и пользуясь полученным ранееравенством (∗), получим:(T 0 − Π)dt > (T − Π)dt + [af ] − [ac]Будем считать что [ac] здесь вычисляется на вспомогательномпрямом пути aν cν (как и [ae] на прямом пути aν fν eν ). Так как(T − Π)dt = [f e]в силу малости пути fν eν за время dt, то правая часть неравенствапреобразуется к виду:[f e] + [af ] − [ac] = [ae] − [ac] = dSгде dS – дифференциал действия S при переходе от однойдействительной вспомогательной траектории aν eν к другой aν cν , когдавремя движения увеличивается на dt.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.14 / 22Поэтому:(T 0 − Π)dt > dSИнтегрируя это неравенство от t = t0 до t = t1 и вводя обозначенияSпр и Sок – для действия по Гамильтону на прямом и окольном путяхсистемы, получим:Sок > SпрТаким образом показано:если начальное и конечное положения системы достаточноблизки (т.е. в окрестности начального положения отсутствуюткинетические фокусы сопряженные начальному положению),то действие по Гамильтону на прямом пути имеет минимальноезначение по сравнению с его значениями на окольных путях,проходящих за то же время.По этой причине принцип Гамильтона-Остроградского часто называютпринцип наименьшего действия.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.15 / 22Таким образом, согласно Гамильтону – природа ведет себяподобно экономной хозяйке: осуществляемое ею движениемеханических систем происходит с минимальным, по сравнению сдругими возможными движениями, действием.Если же расширять окрестность начальной точки (положения)для выяснения вопроса о границах этой окрестности, где любойпрямой путь в этой окрестности доставлял бы минимальноезначение действию по Гамильтону, то необходимо привлечь крассмотрению вторую вариацию: δ 2 S. В частности если действиеминимально, то δ 2 S должна быть положительна: δ 2 S > 0.Рассуждения в этом ключе относительно просты, но несколькогромоздки, поэтому характер стационарности действия поГамильтону и другие, связанные с ним вопросы выясним наследующем простом примере.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.16 / 22Движение материальной точки по инерции на сфереПусть точка M движется, оставаясь все время на неподвижной сфереи никакие активные силы на точку не действуют. Если m – массаточки, R – радиус сферы, то в качестве обобщенных координат(система очевидно имеет 2 степени свободы) возьмем ее широту θ идолготу ϕ. Тогда кинетическая и потенциальная энергии в терминахобобщенных координат имеет вид:z´m 2³ 2MT = R θ̇ + sin2 θ ϕ̇2 ,Π=0q2Функция Лагранжа: L = T − Π = T .Прямой путь между начальным и конечнымyjположениями точки на сфере, доставляющийRt1стационарное значение действию S = Ldt,t0должен удовлетворять уравнениям Эйлера покаждой координате от подынтегральной функции:т.е.
уравнениям Лагранжа:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20∂Ld ∂L−= 0,dt ∂ q̇σ∂qσНовосибирск, 2018 г.17 / 22 mR2 θ̈ − mR2 sin θ cos θ ϕ̇2 = 0 d ¡mR2 sin2 θ ϕ̇¢ = 0dt(⇒θ̈ − sin θ cos θ ϕ̇2 = 0sin2 θ ϕ̇ = const = sin2 θ0 ϕ̇0На сфере в отсутствие сил все точки равноправны, поэтому безограничения общности можно принять, что начальное положениематериальной точки M совпадает с верхним полюсом сферы: θ0 = 0.Тогда из интеграла движения имеем: sin2 θ ϕ̇ = 0.Так как координата θ(t) заведомо непостоянная, значит будет: ϕ̇(t) ≡ 0.В таком случае из первого уравнения получаем: θ̈ = 0.
Таким образомполучили что во все время движения:ϕ = const,θ̇ = constПервое из них означает, что прямым путем будет меридиан сферы.Второе уравнение, с учетом выражения для скорости в случаедвижения по меридиану: v = Rθ̇, показывает, что это движение будетравномерным. Это означает, что прямой путь представляет собой дугубольшого круга, по которой точка движется с постоянной скоростью.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.18 / 22z M0В общем случае через точки M0 и M1(начальное и конечное положение)проходит два прямых пути:_1) путь M0 M1 для которого длина M0 M1 < πR,_M1yx2) путь M0 M1 у которого длина M0 M1 > πR.M0*Во втором случае путь проходит через нижнийполюс M0∗ , или диаметрально противоположный точке M0 .Отметим, что если M1 выбрана совпадающей с M0∗ , то через точкиM0 и M0∗ – проходит сколь угодно бесконечно близких прямых путей.Т.е. точка M0∗ является сопряженным кинетическим фокусом для M0 .Сравним теперь значения действия S на прямом M0 M1 и окольныхпутях, проходящих через точки M0 и M1 :Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.19 / 22Zt1Sок − Sпр =t0=m2Zt1t0¡ 0¢L − L dt =Zt1¡ 0¢T − T dt =t0Zt1t0¡ 0 2¢m(v ) ± v 2 ± 2v 0 v − v 2 dt =2m=2Zt1¢m¡ 0 2(v ) − v 2 dt =2£ 0¤(v − v)2 + (2v 0 v − 2v 2 ) dt =t0Zt1Zt102(v 0 − v)dt(v − v) dt + mvt0t0Первый член правой части равенства очевидно неотрицателен.Отбрасывая его и учитывая, что рассматриваемое движениеравномерно, т.е. v = const (как и по окольному пути: v 0 = const)приходим к неравенству:¡¢Sок − Sпр > mv v 0 (t1 − t0 ) − v(t1 − t0 ) = mv(lок − lпр )Длина дуги большего круга lпр (при движении по меридиану, т.е.
попрямому пути) меньше длины lок любой другой кривой на сфере,соединяющей точки M0 и M1 .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.20 / 22Поэтому на прямом пути имеемlок − lпр > 0⇒Sок > SпрТ.е. действие по Гамильтону на прямом пути – минимально.Очевидно, что это утверждение справедливо только в том случае, еслидлина прямого пути не превышает половины окружности меридиана,т.е. lпр < πR. Если lпр = πR, т.е. при совпадении M1 с кинетическимфокусом M0∗ , свойство минимума функционала – теряется: в этомслучае имеются сколь угодно близкие к прямому окольные пути –меридианы, на которых действие S имеет значения равные значениюна прямом пути, следовательно все они – прямые, т.к.
нет основанийпредпочесть один другому.Наконец, если lпр > πR, то Sпр уже не всегда будет меньше Sок ,а наименьшее значение будет достигаться на дополнительной дугемеридиана M0 M1 , которая является в этом случае кратчайшимрасстоянием между M0 и M1 .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.21 / 22Аналогичная ситуация имеет место и в общем случае.• Один прямой путь — если точка M1 выбрана достаточно близкок M0 (окрестность M0 не содержит кинетических фокусов),•• Бесконечное множество прямых путей — если M1 являетсясопряженным кинетическим фокусом к M0 ,• Действие S – минимально — если вдоль прямого пути неткинетического фокуса (не лежит на пути).•• Минимальность S утрачивается(ни минимальное, ни максимальное) — если прямой путь проходитчерез кинетический фокус (т.е.
фокус лежит перед конечнойточкой на прямом пути).Однако условие стационарности функционала S (действие поГамильтону) – на прямом пути – сохраняется, т.е. δS = 0, гдеZt1из которого можно получить дифференциальныеS = L dtуравнения движения голономной системы.t0Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.22 / 22ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 21ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ВАРЬИРОВАНИЕДЕЙСТВИЕ ПО ЛАГРАНЖУПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯВ ФОРМЕ МОПЕРТЮИ-ЛАГРАНЖАСВЯЗЬ С ГЕОДЕЗИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.1 / 24Рассмотрим голономную консервативную или обобщенноконсервативную механическую систему.Ее функция Гамильтона не зависит явно от времени, исуществует обобщенный интеграл энергии:H(q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) = hДвижение системы будем представлятьq3в обычном n-мерном координатномA1пространстве {q1 , . . . , qn } (не расширенном).Пусть A0 и A1 – точки этого пространства,A0задаваемые координатами qσ0 и qσ1 ,q2соответственно (σ = 1, .
. . , n).q1Пусть в начальный момент времени t = t0система занимает положение, отвечающее точке A0 .Будем предполагать, что могут быть заданы начальные скоростиq̇σ0 (а, следовательно, и обобщенные импульсы) таким образом,что при t = t1 система займет положение, отвечающее конечнойточке A1 .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.2 / 24Проходящую через точки A0 и A1 кривую:qσ = qσ (t)(σ = 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
