1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Этот вопростребует дополнительного рассмотрения.Следует отметить что эти результаты имеют важное значение, т.к.исследование линейной системы не вызывает особых затруднений.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.11 / 25Теорема ЛяпуноваОграничимся рассмотрением только стационарного случая.Теорема Ляпунова – об асимптотической устойчивостиневозмущенного движения по линейному приближению(достаточный признак устойчивости)Если все корни характеристического уравнения для линейногоприближения имеют отрицательную действительную часть, тонулевое решение (невозмущенное движение) нелинейной системы– асимптотически устойчиво (независимо от нелинейных членов).Т.е. из асимптотической устойчивости линейного приближения⇒ асимптотическая устойчивость нелинейной системы;Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.12 / 25Доказательство: Для начала сделаем замену переменныхx̄ = C ȳ(det C 6= 0)Тогда уравнения возмущенного движения станут:dȳ= B ȳ + ḡ(ȳ)dtгдеB = C −1AC,ḡ(ȳ) = C −1 f̄ (C ȳ)Матрицу C (вообще говоря комплексную) подберем так, чтобыматрица B была нормальной жордановой формой матрицы A, т.е.чтобы B состояла из одной или нескольких жордановых клеток,расположенных по ее главной диагонали, а все элементы, не входящиев жордановы клетки, равнялись бы нулю:λk 1J1.λk .

.J2гдеJ=B= (k = 1, . . . , m)k...... 1 Jmλk000Батяев Е. А. (НГУ)0ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.13 / 25Далее в полученных уравнениях сделаем еще одну,вспомогательную замену переменных по формулам:y k = µk · z k(k = 1, . . . , m)где µ – положительное и, вообще говоря, малое число, условиедля конкретного выбора которого будет видно из дальнейшего.Т.е. в матричном виде:µµ2ȳ = M z̄гдеM =...00Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17µmНовосибирск, 2018 г.14 / 25Тогдав переменных zk система примет вид:dz1dt= λ1 z1 + µb1 z2 ++Z1 (z̄)dz2=λ2 z2 + µb2 z3 ++ Z2 (z̄)dt............................................................. dzmdt=λm zm + Zm (z̄)где bk равняется 0 или 1,Z1 , .

. . , Zm – нелинейные члены относительно переменных z1 , . . . , zm ,являющихся, вообще говоря, комплексными:Zk =Батяев Е. А. (НГУ)gk (M z̄)µkЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.15 / 25vumuX|zk |2|z̄| = tОбозначим далее:vuXu mkAk = t|aij |2−модуль вектора z̄k=1−mнорму некоторой матрицы A = {aij }i,j=1i,j=1Рассмотрим некоторую малую δ-окрестность начала отсчета x̄ (x̄ = 0), азначит и начала отсчета ȳ и z̄, т.е. окрестность невозмущенного движения.Пусть начальное положение системы (начальное возмущение)|x̄0 | < δ(x̄0 = x̄(t0 ))В силу непрерывной зависимости от начальных условий решения исходнойсистемы уравнений возмущённого движения, имеем|x̄| < δ−и на некотором временном интервале (t0 , t).Для значений x̄ из этой окрестности будем иметь|f̄ (x̄)| 6 ε|x̄|где число ε > 0 можно заранее выбрать сколь угодно малым, поскольку ввыражение каждого элемента столбца f̄ входят малые члены второго иболее высокого порядков по x̄ (т.е.

подберем δ по выбранному ε).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.16 / 25В силу записанных выше уравнений возмущения движения(преобразованных) справедливо:¸mmm ·d|z̄| 1 d|z̄|2 1 d X1d X1 X dzkdz k2|z̄|·==|zk | =zk ·z k =z k + zk=dt2 dt2 dt2 dt2dtdtk=1k=1k=1m=¡¢¤1 X£(λk zk + µbk zk+1 + Zk ) · z k + zk · λk z k + µbk z k+1 + Z k =2k=1"m#mmXX¢¡¢1 X¡=λk + λk zk z k + µbk (z k zk+1 + zk z k+1 ) +Zk z k + z k Z k2k=1k=1k=1где полагается zm+1 = 0.Оценим каждое слагаемое-сумму в квадратных скобках.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.17 / 251)mmmXXX¡¢2λk + λk zk z k = 2Re(λk )|zk | 6 −2α|zk |2 = −2α|z̄|2k=1k=1k=1где −α = max Re(λk ), α > 0, т.к. все Re(λk ) < 0 по условию теоремы.k=1,...,m2)mXbk (z k zk+1 +zk z k+1 ) = 2k=1mXbk (Re(zk )Re(zk+1 )+Im(zk )Im(zk+1 )) 6k=162mXbk ≡1bk (|zk ||zk+1 | + |zk ||zk+1 |) 6 4k=1mX|zk ||zk+1 | 6k=1vvumumuXuX6 4t|zk |2 · t|zk+1 |2 = 4|z̄|2k=1k=1В последней оценке использовалинеравенствоPP 2 P 2Коши-Буняковского:2( ak bk ) 6 ak · bkБатяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.18 / 25mX¡¢ аналогичноZk z k + zk Z k64|z̄|·|Z̄|3)k=1gk (M z̄)1Так как Zk =, то вводя число γ = γ(µ) = max>0kk=1,...,m µkµимеем|Zk | 6 γ |gk (M z̄)|Тогда|Z̄| 6 γ |ḡ(ȳ)| где ȳ = M z̄Далее:|ḡ(ȳ)| = |C −1 f̄ (C ȳ)| 66 kC −1 k · |f̄ (C ȳ)| 6 kC −1 k · ε · |C ȳ| 6 kC −1 k · ε · kCk · |ȳ|Значит|Z̄| 6 γ ε kC −1 k · kCk · |M z̄| 6 γ ε kC −1 k · kCk · kM k · |z̄| = η · |z̄|η = η(µ, ε) = γ(µ) ε kC −1 k · kCk · kM k > 0.mX¡¢Окончательно получим:Zk z k + zk Z k 6 4 η|z̄|2где обозначено:k=1Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.19 / 25Итак, получаем оценку|z̄| ·⇒⇒d|z̄|6 (−α + 2µ + 2η) · |z̄|2dtd|z̄|6 (−α + 2µ + 2η)|z̄||z̄| 6 |z̄ 0 |e(−α+2µ+2η)(t−t0 )где z̄ 0 = z̄(t0 )Выберем µ:−α + 2µ < 0Выберем ε:−α + 2µ + 2η < 0Тогда получим:lim |z̄| = 0t→∞Так как z̄, ȳ и x̄ связаны линейными преобразованиями, то решениеуравнений возмущённого движения x̄(t) ведёт себя аналогично, азначит невозмущенное движение x̄ = 0 – асимптотически устойчиво. ¥Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.20 / 25Критерии асимптотической устойчивостилинейных системВыше установлено, что в стационарном случае решение x̄ = 0нелинейных уравнений для возмущений асимптотическиустойчиво, если все корни характеристического уравнения длялинейного приближения, записанного в виде многочлена ∆(λ):det(A−λI) = ∆(λ) = a0 λm +a1 λm−1 +.

. .+am−1 λ+am = 0(a0 > 0)имеют отрицательные вещественные части. Поэтому большуюпрактическую значимость приобретают необходимые идостаточные условия, чтобы все корни алгебраическогоуравнения с вещественными коэффициентами имелиотрицательные вещественные части.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.21 / 25Предложение. Необходимым условием отрицательностидействительных частей корней характеристического уравненияявляется положительность коэффициентов многочлена ∆(λ)a1 > 0,a2 > 0,...,am > 0.Действительно, пусть известныλi = µi−вещественные корни, i = 1, . .

. , g, µi < 0m−g, µj < 0λj = µj ± iνj − комплексные корни, j = 1, . . . ,2m−gm2YY⇒ det(A − λI) = a0 (λ − λi ) ·(λ − µj − iνj )(λ − µj + iνj ) =i=1j=1m−gm2YY= a0 (λ − µi ) ·(λ2 − 2λµj + µ2j + νj2 )i=1j=1В силу отрицательности вещественных частей корней этого уравнения,каждый множитель в последней части равенства имеет положительныекоэффициенты, поэтому в ∆(λ) все коэффициенты – положительны.¥Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.22 / 25Критерий Рауса–Гурвица.Что касается необходимых и достаточных условий «устойчивости»многочлена ∆(λ), то они устанавливаются более сложным путём.Такие условия найдены в 1875 году Раусом и, независимо от него, в1895 году Гурвицем; приведем их без доказательства.Критерий Рауса–Гурвица. Чтобы все корни характеристическогоуравнения для линейного приближения имели отрицательныедействительные части, необходимо и достаточно, чтобы былиположительны следующие определители Гурвица:¯¯¯ a1 a3 a5 . . .

a2m−1 ¯¯¯¯¯¯ a0 a2 a4 . . . a2m−2 ¯¯ a1 a3 ¯¯¯¯ > 0, . . . , ∆m = ¯ 0 a1 a3 . . . a2m−3 ¯ > 0∆1 = a1 > 0, ∆2 = ¯¯¯¯¯a0 a2¯ ....................... ¯¯¯¯ 0 0 0 ...am ¯Отметим, что когда в определителе появляется коэффициент ap синдексом большим m, то его следует заменить нулем.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.23 / 25При числовых коэффициентах характеристического уравнениятребования критерия Рауса–Гурвица легко проверяются.Затруднения появляются в случае, когда эти коэффициентысодержат параметры, при вычислении определителей высокогопорядка. Представляют поэтому интерес более простые условия,установленные в 1914 г. Льенаром и Шипаром, которые содержатменьше детерминатных неравенств.

Приведём их также бездоказательства.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.24 / 25Критерий Льенара–ШипараКритерий Льенара–Шипара. Чтобы многочлен ∆(λ) при a0 > 0имел все корни с отрицательными вещественными частями,необходимо и достаточно, чтобы:• все коэффициенты многочлена ∆(λ) были положительныa1 > 0,a2 > 0,..., am > 0.• имели место детерминатные неравенства:∆m−1 > 0,∆m−3 > 0,...Как и ранее, через ∆α обозначен определитель Гурвица порядка α.Видно, что критерий Льенара–Шипара является комбинациейнеобходимого условия трицательности действительных частей корнейхарактеристического уравнения и критерия Рауса–Гурвица.

Причёмвторое требование содержит в два раза меньше детерминатныхнеравенств чем критерий Рауса–Гурвица.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2018 г.25 / 25ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 18ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИПРЯМОЙ И ОКОЛЬНЫЙ ПУТИГОЛОНОМНОЙ СИСТЕМЫПРИНЦИПГАМИЛЬТОНА–ОСТРОГРАДСКОГОЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.1 / 19До сих пор мы имели дело только с дифференциальными вариационнымипринципами механики, которые дают критерий, позволяющий выделитьистинное (действительное) движение механической системы среди другихкинематически возможных ее движений – для данного момента времени(фиксированного, но произвольного).Теперь мы рассмотрим альтернативу дифференциальным принципам (какоснове механики) – интегральные вариационные принципы.Отличие интегральных вариационных принципов от дифференциальныхсостоит в том, что они дают критерий истинного движения системы не дляодного какого-то момента времени, а для некоторого конечного промежуткаt0 6 t 6 t1 .

Характеристики

Список файлов лекций