1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Т.е. они характеризуют движение системы в целом, на всемпромежутке времени. При этом действительное движение выделяетсяизо всех остальных, кинематически возможных тем, что доставляетэкстремальное свойство некоторой величине из интегрального принципа.Интегральные вариационные принципы имеют более обозримую икомпактную форму и часто используются в качестве фундамента для новых(неклассических областей механики). Более того, многие задачи механики ифизики в целом иначе как с помощью них сформулировать невозможно. Этов свою очередь сыграло важную роль в развитии такого раздела математикикак вариационное исчисление.
Методы вариационного исчисления широкоиспользуются в различных вопросах физики.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.2 / 19Прямой и окольные пути системыБудем предполагать, что рассматриваемая механическая система илисвободна или подчинена удерживающим связям – геометрическим, т.е.ограничимся рассмотрение только голономных систем, (не обязательносклерономных).Пусть aν и bν – возможные положения точки Pν (ν = 1, . . . , N )механической системы в моменты времени t0 и t1 , соответственно.Положение системы в момент t = t0 {aν } назовем – начальным,а в момент t = t1 {bν } – конечным. Предположим, что в моментвремени t = t0 можно так выбрать скорости точек системы, что приt = t1 точки Pν займут их конечные положения.Совокупность траекторий, которые будут описаны точками системыпри их перемещении из начальных положений {aν } в их конечныеположения {bν }, образуют истинный или действительный путьсистемы.
Его также называют – прямой путь системы.На прямом пути точка Pν системы описывает кривую (траекторию) γν ,соединяющую точки aν и bν .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.3 / 19Совокупность соединяющих точки aν и bν кривых γν0 бесконечноблизких к соответствующим кривым γν (прямым путям) и таких,что движение точки Pν по кривой γν0 может происходить безнарушения связей, называют – окольными путями системы.bnanБатяев Е. А. (НГУ)На рисунке сплошная линия соответствуетпрямому пути, а штриховые – окольным.Дальше будем считать, что движение всехточек Pν по окольным путям начинаетсяодновременно при t = t0 и оканчиваетсяпри t = t1 , т.е.
движение по окольномупути (которое допускается связями)начинается и оканчивается в те жемоменты времени и в тех же положениях,что и движение по прямому пути.ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.4 / 19Для голономной системы прямые и окольные пути удобнопредставлять в расширенном координатном пространстве,где координатами являются обобщенные координаты q1 , .
. . , qn ивремя t. Пусть точка A этого пространства соответствует начальномуположению системы, а B – конечному. Движениям системы из ееначального положения в конечное будут отвечать кривые,соединяющие A и B. На рисунке (для n = 2) сплошной линиейпоказан прямой путь системы, а штриховыми – окольные пути.В расширенном координатномпространстве за окольный путь можетбыть принята любая бесконечно близкаяк прямому пути кривая, соединяющаяA и B. Любая такая кривая представляетAсобой кинематически возможный путь,q2т.к. обобщенные координаты q1 , . . . , qnq1всегда выбирают так, что геометрическиесвязи, наложенные на систему, удовлетворяются тождественно, адругих связей у голономной системы нет.tБатяев Е.
А. (НГУ)BЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.5 / 19Отметим, что задача о построении прямого пути, соединяющегоначальную и конечную точки A и B – не является простой.Она приводит к рассмотрению краевой задачи для системыдифференциальных уравнений, порядка 2n, описывающей движениеизучаемой механической системы.Отличие от того, что мы раньше рассматривали состоит в том, что унас была начальная задача (Коши), в которой задавались начальныеположения q10 , .
. . , qn0 и первые производные по времени q̇10 , . . . , q̇n0 вначальный момент времени t0 для искомых функций q1 (t), . . . , qn (t),движение которых описывалось системой уравнений 2n-го порядка(уравнения Лагранжа 2-го рода, общее уравнение динамики и др.).Здесь же задаются только положения точек (края, концы) – начальноеA и конечное B, которые должна занимать система в начальныйt = t0 и конечный t = t1 моменты времени. Поэтому задача – краевая.Скоростей в начальном задании нет.
Но дифференциальные уравнениядвижения остаются теми же. И если точка A соответствует значениямобобщенных координат q1A , . . . , qnA , а точка B – значениям q1B , . . . , qnB ,то решение qσ (t) дифференциальных уравнений движения системыдолжно удовлетворять краевым условиям: qσ (t0 ) = qσA , qσ (t1 ) = qσB .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.6 / 19Cопряжённые кинетические фокусыКраевая задача может иметь единственное решение, а может не иметьни одного решения; она может иметь несколько или даже бесконечноемножество решений.
Если точки A и B достаточно близки, то решениеупомянутой задачи либо единственно, либо она имеет только конечноечисло решений. Для наших целей второй случай эквивалентен первомув том смысле, что среди конечного числа прямых путей можно взятькакой-то один и рассмотреть его окрестность, достаточно малую,чтобы она не содержала точек других прямых путей, отвечающихзначениям t0 < t < t1 (т.е.
не включая концы A и B). Окольные путизатем следует проводить именно в этой малой окрестностивыбранного прямого пути.При достаточном удалении точки B от точки A может оказаться, чтокраевая задача имеет решения, соответствующие бесконечно близкимпрямым путям, проходимым механической системой за одно и то жевремя t1 − t0 . В этом случае точки A и B расширенного координатногопространства называют – сопряженными кинетическими фокусами.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.7 / 19Пример: одномерный гармонический осциллятор (груз на пружинке вгоризонтальной плоскости), движение которого описываетсядифференциальным уравнением:q̈ + q = 0.Задавая начальные данные:q = 0 при t = 0,получим решение задачи:q = c sin(t), где c − const.Через точки (0, 0) и (0, π) расширенного координатного пространства{q, t} проходят все решения этой задачи (прямые пути), включая иqбесконечно близкиеИ все прямые пути, проходящие черезt(0, 0) и (q, t), где t > π проходят через (0, π). (0,0)(0,p)Эти точки (0, 0) и (0, π) расширенного координатного пространства, иесть – сопряженные кинетические фокусы.Аналогично (0, πk) – тоже сопряженные кинетические фокусы (k ∈ Z).Напротив, через точки (0, 0) и (q 1 , t1 ) при q 1 > 0 и t1 < π можноq1провести только один прямой путь: q =sin(t).sin(t1 )А через точки (0, 0) и (q 1 , π) (q 1 > 0) — не существует прямого пути.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.8 / 19Мы будем далее рассматривать не вообще произвольные окольныепути, а те из них, которые получаются из прямого пути при помощисинхронного варьирования.Пусть gν – положение,которое занимает в момент времениt точка Pν механической системыgn , tdrnbn, t1 при её движении по прямому пути γ ,νgn, tсоединяющему начальные и конечныеположения aν и bν этой точки.nnВ этот момент времени t дадимточке Pν произвольное виртуальноеan, t0перемещение δr̄ ν из ее положения gν .Тогда точка Pν займет положение gν0 .Если эту процедуру проделать для всех положений gν точки Pν накривой γν при t0 < t < t1 и через получающиеся, при такомсинхронном варьировании, точки gν0 провести кривую, соединяющуюположения aν и bν , то эта кривая и будет окольным путем γν0 .Соответствующие одна другой точки gν и gν0 на прямом и окольномпутях проходятся в одни и те же моменты времени.’g’gБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.9 / 19В декартовых координатах положение точки Pν на прямом путизадается радиус-вектором r̄ ν (t), а на окольном – радиус-векторомr̄ 0ν (t) = r̄ ν (t) + δr̄ ν (t)где вектор-функция δr̄ ν (t) – удовлетворяет условию:δr̄ ν (t0 ) = 0,δr̄ ν (t1 ) = 0Будем предполагать, что δr̄ ν (t) – дваждынепрерывно-дифференцируемая функция от t.Нам потребуется сравнить между собой не только прямой и окольныйпути, но и скорости точек Pν : r̄˙ ν (t) = v̄ ν (t) – на прямом пути, ссоответствующими их скоростямиv̄ 0ν (t) = v̄ ν (t) + δv̄ ν (t) = r̄˙ ν (t) + δ r̄˙ ν (t)(1)– на окольном пути — для одного и того же момента времени t.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.10 / 19Покажем, что: операции синхронного варьирования идифференцирования по времени перестановочны, т.е.:dδ r̄˙ ν (t) = δr̄ ν (t)(ν = 1, . . . , N )(2)dtДействительно, по определению скорости, на окольном пути имеем:dddv̄ 0ν (t) = (r̄ 0ν (t)) = (r̄ ν (t) + δr̄ ν (t)) = r̄˙ ν (t) + δr̄ ν (t)dtdtdtСравнивая полученное выражение с (1) устанавливаем (2).Аналогично, если в расширенном координатном пространстве прямойпуть задается уравнениямиqσ = qσ (t),qσ (t0 ) = qσ0 ,qσ (t1 ) = qσ1(σ = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
