1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Но из физических соображений понятно, чторешение существует. Значит из последнего уравнения следует, чтоначальному положению соответствует значение параметра θ0 = 0.Таким образом получаем C2 = 0. Тогда уравнение экстремали – линиинаискорейшего спуска, принимает окончательный вид:x=Батяев Е. А. (НГУ)C1(θ − sin θ),2y=ЛЕКЦИЯ 19C1(1 − cos θ)2Новосибирск, 2018 г.21 / 23x=p/2R=0.2500.511.5C1(θ − sin θ),2y=C1(1 − cos θ)2p3p/2 x pR=0.5R=0.75R=1y2Эти уравнения представляют собой семейство циклоид, т.е.
кривых,описываемых точкой на колесе радиуса R = C1 /2.Из второго краевого условия, т.е. условия прохождения брахистохронычерез точку B = (xB , yB ), однозначно определяется постояннаяC1 = 2R и соответствующее значение параметра θB .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.22 / 23Действительно, пусть колесо с радиусом R катится по поверхности.Точка A на колесе в начальный момент занимает место, где колесокасается поверхности. Через время t колесо без скольженияперекатится в другое положение и точка A (зафиксированная наколесе) займёт положение B.
Введём угол ϕ – поворота колеса завремя движения t. Координаты точки B в этом положении в момент t:A’Ax = xC − R sin ϕxj Cy = R − R cos ϕt=0где (xC , R) – координатыцентра колеса.tyBТ.к. движение колеса происходит без проскальзывания, очевидно, чторасстояние AA0 равно дуге A0 B: AA0 =_ A0 B. НоAA0 = xC ,_ A0 B = Rϕ⇒xC = RϕЗначит уравнения траектории точки A на ободе колеса имеют вид:x = R(ϕ − sin ϕ),y = R(1 − cos ϕ)которые совпадают с уравнениями брахистохроны.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.23 / 23ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 20ДЕЙСТВИЕ ПО ГАМИЛЬТОНУПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА-ОСТРОГРАДСКОГО(ДЛЯ НАТУРАЛЬНЫХ СИСТЕМ)ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВОДЕЙСТВИЯ ПО ГАМИЛЬТОНУДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИПО ИНЕРЦИИ НА СФЕРЕЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.1 / 22Вернемся к принципу Гамильтона-Остроградского.Zt1(δT + δA)dt = 0t0Он позволяет выделять прямой путь из всех кинематическидопустимых между одними и теми же конфигурациями врасширенном координатном пространстве, т.е. для одинаковыхначального и конечного положений голономной системы вмоменты t0 и t1 . Связи – идеальные геометрические.В этом выражении:δT – вариация кинетической энергии системы,NnXXδA =F̄ ν δr̄ ν =Qσ δqσ – элементарная работа активных силν=1Батяев Е. А. (НГУ)σ=1на виртуальных перемещениях системы.ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.2 / 22Рассмотрим частный случай сил – потенциальных: Qσ = −∂Π.∂qσТогда, как мы уже показывали¶nn µXX∂ΠδA =Qσ δqσ =−δqσ = −δΠ(t, qσ )∂qσσ=1σ=1где Π(t, qσ ) – потенциальная энергия механической системы.nX∂ΠЗдесь δΠ(t, qσ ) =δqσ – вариация (синхронная) или∂qσσ=1виртуальный дифференциал потенциальной энергии.
Тогда получимвыражение из принципа Гамильтона-Остроградского в виде:Zt1Zt1(δT − δΠ)dt =t0δ(T − Π)dt = 0t0Учитывая, что T − Π = L – функция Лагранжа, отсюда имеем:Zt1δL dt = 0t0Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.3 / 22Теперь введём в рассмотрение следующий интеграл:Zt1S=L(t, q, q̇) dt−действие по Гамильтону(L – функция Лагранжа)t0Очевидно, что для вычисления величины S необходимо задатьфункции qσ (t) (σ = 1, . . .
, n) в промежутке t0 6 t 6 t1 , т.е. действиеS является – функционалом, зависящим от движения системы.Тогда из теоремы о стационарном значении функционала, заключаем,что на пути, который является экстремалью такого функционала(доставляет ему стационарное значение), его вариация равна нулю:δS = 0Получаемый из этого условия путь в точности совпадает с прямымпутём из принципа Гамильтона-Остроградского, потому что присинхронном варьировании на множестве функций с закреплённымиконцами:Zt1Zt1δS = δ L dt =δL dt = 0t0Батяев Е. А. (НГУ)t0ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.4 / 22Равенство δS = 0 выражаетПринцип Гамильтона–Остроградскогодля натуральных систем(не только потенциальных, но и обобщенно-потенциальных сил)Действительное движение системы (прямой путь)выделяется среди других допустимых движений между теми жеконфигурациями за тот же промежуток времени тем свойством,что для него действие S имеет стационарное значение.И это значение будет минимальным при условии отсутствия вокрестности прямого пути сопряженных кинетических фокусов.Напомним, что все пути, используемые в данном интегральномпринципе получены с помощью синхронного варьирования междуфиксированными положениями системы в одни и те же моментывремени.
Т.е. пути бесконечно мало отличаются друг от друга навеличину виртуальных перемещений, за исключением концов.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.5 / 22Экстремальное свойство действия по ГамильтонуРассмотрим окрестность начального положения системы, достаточномалую, чтобы в ней отсутствовали сопряженные кинетические фокусы.Делается это для того, чтобы за заданное время t1 − t0 система моглаперейти из своего начального положения в конечное положение,расположенное в выбранной окрестности, только по единственномупрямому пути.Покажем, что в этом случае действие по Гамильтону на прямом путибудет наименьшим по сравнению с его значениями любых на окольныхпутях системы.Для доказательства применим геометрический метод Жуковского Н.Е.Сначала получим одно вспомогательное равенство.Будем рассматривать траектории точек Pν (ν = 1, .
. . , N ) натуральноймеханической системы в трехмерном евклидовом пространстве.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.6 / 22Пусть aν – начальное положение точки Pν , а fν и cν – её положения накаких-либо двух различных кинематически возможных путях, покоторым система за одно и тоже время (t − t0 ) переходит изначального положения в положение, отвечающее моменту времени t.При этом t0 < t < t1 , а сам промежуток времени(t − t0 ) вообще говоря мал, чтобы за это времясистема не могла выйти из выбранной малойокрестности ее начального положения.vnfn, tОбозначим [af ] и [ac] – действие по Гамильтонуна этих путях системы:Zt[af ] =t0[ac] =drncn, tan, t0Zt(T − Π) dt,a(T − Π) dtt0причём первый [af ] и второй [ac] интегралы вычисляются на путях, покоторым точки системы Pν переходят из начальных положений aν вначальный момент t0 в положения fν и cν в момент t, соответственно.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.7 / 22Определим их разность [ac] − [af ] с точностью до величин второго ивыше порядков относительно |δr̄ ν | и |δ r̄˙ ν |:¶Zt XN µ∂Π[ac] − [af ] =mν v̄ ν δv̄ ν −δr̄ ν dt∂r̄ νt0 ν=1∂Π– вычисляются на пути aν fν , а вектор виртуального∂r̄ νперемещения δr̄ ν – соединяет точки fν и cν . Учитывая, что в∂Πпотенциальном поле сил= −F̄ ν , используя перестановочное∂r̄ νсоотношениеи дифференцированием поµ между варьированием¶dвремени δv̄ ν = δr̄ ν и интегрируя по частям первое слагаемое,dtучитывая, что δr̄(t0 ) = 0 (начальное положение закреплено) получимгде v̄ ν и[ac] − [af ] =NXν=1Батяев Е.
А. (НГУ)Zt XN¢¡mν v̄(t)δr̄ ν (t) +F̄ ν − mν āν δr̄ ν dtt0 ν=1ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.8 / 22Пользуясь общим уравнением динамики для второго слагаемого, т.е.полагая сейчас, что aν fν – часть прямого пути, запишем этовыражение в следующем виде:[ac] − [af ] =NXmν vν δsν cos αν(∗)ν=1Здесь v̄ ν – скорость точки Pν в момент времени t,когда она занимает положение fν – на прямом пути,αν – угол между v̄ ν и δr̄ ν ,δsν – длина дуги fν cν , т.е. δsν = |δr̄ ν |.При этом путь aν cν ,может быть частью совершенно любого пути:частью какого-то другого прямого или окольного.Формула (∗) от этого не зависит.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20vnfn, tadrncn, tan, t0Новосибирск, 2018 г.9 / 22Пусть теперь bν – положение точки Pν вbn, t1конечный момент времени t1 движения системы,а γν и γν0 – кривые, по которым перемещаетсяen, t+dtточка Pν при движении системы соответственноfn, tпо прямому пути и любому из окольных путей.Сравним действие по Гамильтонуdrncn, tна прямом и окольном путях.Для этого возьмем на окольном пути γν0 точку cν , gngn’отвечающую моменту времени t, где t0 < t < t1 ,0а также на γν бесконечно близкую ей точку eν ,an, t0отвечающую моменту t + dt (dt – бесконечномалая, но положительная величина).Проведем траектории aν cν – некоторого вспомогательногодействительного движения точек Pν , при котором они за время t − t0приходят из начальных положений aν в их положения cν ,расположенные на кривой γν0 , отвечающей окольному пути.Аналогично, пусть кривые aν eν будут траекториями еще одногодействительного движения, при котором точки Pν за время t + dt − t0приходят из начального положения aν в положения eν на кривой γν0 .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2018 г.10 / 22Т.е. проведем прямые пути aν cν и aν eν .(но сами концы cν и eν – лежат накривой γν0 , которая является окольнымпутем для прямого γν ).И вообще, проведем траектории такихвспомогательных действительных движений(вспомогательные прямые пути) для всехположений точек Pν на кривой γν0 (ν = 1, . . .
, N ).Пусть fν – положение, которое занимаетточка Pν в момент времени t, при её движениипо вспомогательной действительной траектории(вспомогательному прямому пути) aν eν .bn, t1en, t+dtfn, tcn, tdrngngn’an, t0Таким образом, дуги aν fν и aν cν двух вспомогательных прямых путейи дуга aν cν , которая является частью кривой γν0 , отвечающейокольному пути, проходятся точкой Pν за одно и то же время t − t0 .Поэтому дуга fν eν на вспомогательном прямом пути и дуга cν eνкривой γν0 проходятся также за одинаковое время, причём это времяравно dt.Батяев Е. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
