1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 34
Текст из файла (страница 34)
. , n)вдоль которой удовлетворяются дифференциальные уравнениядвижения назовем — прямым путем системы.На прямом пути функция Гамильтона постоянна и равна h, гдевеличина h определяется начальными условиями. Наряду спрямым путем рассмотрим другие кинематически возможныепути (т.е. связи не нарушаются), бесконечно близкие к прямому.Эти пути будем называть — окольными, если:1) проходят через одни и те же начальное и конечноеположения A0 и A1 ;2) вдоль каждого окольного пути функция Гамильтона постояннаи равна величине h, отвечающей прямому пути.При таком – изоэнергетическом варьированиивремя (t1 − t0 )перехода системы из начального в конечное положение –не обязательно одинаково для прямого и окольных путей.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.3 / 24Пример: пусть материальная точка массой m движется поинерции, т.е. в отсутствие активных сил в плоскости Oxy.За движение по прямому пути примем прямолинейное движениевдоль оси Ox. В начальный момент t = 0 точка находилась вначале координат O. Тогда из закона сохранения энергии имеем:rrmv 22h2hΠ=0T + Π = h −−→= h → ẋ =→ x=t2mmС другой стороны для всех окольных путей из интеграла энергии:rrrm (ẋ2 + ẏ 2 )2h2h2h= h → ẋ =− ẏ 2 <→ x<t2mmmЗначит по окольному пути невозможно прийти за одинаковоевремя t1 , в то же положение, что и на прямом пути – еслипостоянная h одинакова для прямого и окольного пути.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.4 / 24Рассмотрим сейчас так называемый принципМопертюи–Лагранжа, который дает критерий, позволяющийвыделить прямой путь среди всех окольных, удовлетворяющихупомянутым выше свойствам движения 1 и 2.Поскольку он примени́м только к консервативным (обобщенноконсервативным) системам, то он, конечно, обладает меньшейобщностью, чем принцип Гамильтона-Остроградского. Однако ониграет важную роль при рассмотрении различных вопросовфизики, например в гидродинамике и теории относительности.При заданной постоянной энергии h уравнения движенияконсервативной или обобщенно-консервативной системы могутбыть записаны в форме уравнений Якоби:µ¶dqσd ∂P∂P0=0(σ = 2, 3, .
. . , n)qσ =−dq1 ∂qσ0∂qσdq1Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа 2-го рода,где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби P , ароль независимой переменной t играет обобщенная координата q1 .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.5 / 24По аналогии с действием по Гамильтону S введем1Zq1P (q2 , .
. . , qn , q20 , . . . , qn0 , q1 , h)dq1W =−действиепо Лагранжуq10Ранее мы показали, что уравнения Лагранжа 2-го рода эквивалентныпринципу Гамильтона-Остроградского, выражающемуся встационарности действия по Гамильтону на прямом пути.Аналогично уравнения Якоби эквивалентны условию стационарностидействия по Лагранжу:δW = 0Принцип Мопертюи-ЛагранжаСреди всех кинематически возможных путей голономнойконсервативной системы (или обобщенно-консервативной) сидеальными связями – между двумя заданными конфигурациями(положениями) и с одинаковой полной (обобщенной) механическойэнергией, прямой путь выделяется тем, что для него действие поЛагранжу принимает стационарное значениеБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.6 / 24Лагранж использовал другой вид действия W . А именно – вспомним,что для случая консервативной системы функция Якоби имела вид:1L+H2T=P =q̇1q̇1Zq1⇒W =q102Tdq1 =q̇1Zt1Zt12T dt⇒W =t02T dtt0Зачастую именно такое выражение используют для обозначениядействия по Лагранжу. Оно очевидно совпадает с выше указаннымдля консервативной системы.Связь между действием по Лагранжу и действием по ГамильтонуL = T −Π и T +Π = h⇒Zt1⇒W =Zt12T dt =t0и L = 2T −hZt1(L + h)dt =t0⇒Батяев Е. А. (НГУ)Π = h−TZt1Ldt +t0hdtt0W = S + h(t1 − t0 )ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.7 / 24Принцип Мопертюи–Лагранжа по своей конструкции схож спринципом Гамильтона-Остроградского.Однако это существенно разные принципы, поскольку действие поЛагранжу имеет вообще иной вид, чем действие по Гамильтону.Кроме того, в принципе Мопертюи-Лагранжа сравниваютсядвижения (пути) с одной и той же полной механической энергией,а в принципе Гамильтона–Остроградского эти движенияпроисходили за одно и то же время.Вопрос об экстремальных свойствах действия по Лагранжурешается точно так же, как и для принципаГамильтона–Остроградского при помощи рассмотрениякинетически сопряженных фокусов.
Т.е. действие по Лагранжудостигает на прямом пути наименьшее значение по сравнению сего значениями на окольных путях, если прямой путь несодержит сопряженного начальной точке кинетического фокуса.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.8 / 24Отметим, что в действии по Лагранжу полностью исключеновремя и принцип содержит только геометрические элементы.В такой форме принцип Мопертюи-Лагранжа впервые былпредставлен Якоби, поэтому приведенную выше форму действияпо Лагранжу вместе с формулировкой принципаМопертюи-Лагранжа часто в литературе называютпринципом наименьшего действия Якоби.Еще раз отметим: при применении принципаМопертюи–Лагранжа следует помнить, что время t1 – нефиксируется, а может изменяться при переходе от прямого путик окольному, или от одного окольного пути к другому (т.е.
здесьфиксируются только начальное и конечное положения иначальное время). Но полная механическая энергия системы, дляконсервативных систем, E = T + Π — одинакова на всехсравниваемых путях.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.9 / 24Механический смысл действия по ЛагранжуДействие по Лагранжу можно представить в форме Мопертюи,которая допускает механическое истолкование.Представим удвоенную кинетическую энергию системы в виде:NNXXdsν22T =mν v ν =mν vνdtν=1ν=1где sν – дуговая координата.s1νN ZXТогда действию по ЛагранжуW =mν vν dsνможно придать видν=1 0sν– не содержащий явно время:Видно, что подынтегральные выражения в этой сумме представляютсобой произведения вектора количества движения ν-ой точки системы(q̄ ν = mν v̄ ν ) на ее элементарное перемещение dr̄ ν , т.е.
условнодля консервативной механической системы действие по Лагранжуравно суммарной работе векторов количеств движения точексистемы на соответствующих их перемещенияхБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.10 / 24Пример. Движение материальной точки в однородномполе тяжести (баллистическая задача).Для иллюстрацииx v0применения принциповmgГамильтона–Остроградскогоaи Мопертюи–Лагранжа, а такжеOпредставления разницы междуB yними, рассмотрим движение материальной точки массой m,брошенной под углом α к горизонту с начальной скоростью v0 .Из классических дифференциальных уравнений движенияматериальной точки известно, что ее траекторией будет парабола:¾¾ẋ = ẋ0 = v0 cos αmẍ = 0⇒ẏ = −gt + ẏ0 = −gt + v0 sin αmÿ = −mg¾x = v0 cos α t⇒y = −gt2 /2 + v0 sin α tБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.11 / 24Из них понятно, что в точку B (yB = 0) движущаяся точкапопадет за время t1 :0=−gt21+ v0 sin α t12⇒t1 =2 v0 sin αgа пройденное ею расстояние по горизонтали:OB = v0 cos α t1 =2 v02 sin α cos αgТаким образом, в рассматриваемом примерепрямой путь, по которому двигается точка, является — парабола,преодолеваемая за время t1 .Будем сравнивать это движение спрямолинейным равномерным (v 0 = const) движениемточки из начального положения O в положение B.То есть окольный путь — является отрезок OB = v 0 t01 оси Ox.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.12 / 24В принципе Гамильтона–Остроградского – время движения изначального положения системы в ее конечное положение для прямогои окольного путей должно быть одинаковым, т.е. t1 = t01 = const.Тогда для рассматриваемого окольного пути при равномерном ипрямолинейном движении по нему скорость v 0 должна быть равнаv 0 t1 = v0 cos α t1⇒v 0 = v0 cos αДля обоих движений потенциальная энергия: Π = mgy.Функция Лагранжа для параболического движения:¢¢1 ¡m¡ 2L = T −Π = m ẋ2 + ẏ 2 −mgy =v0 cos2 α + (v0 sin α − gt)2 −mgy =22·µ¶¸m 2gt22222 2=v cos α + v0 sin α − 2gv0 sin α t + g t − 2g v0 sin α t −=2 02¤m£ 2=v0 − 4gv0 sin α t + 2g 2 t22Функция Лагранжа для прямолинейного равномерного движения:11L = T − Π = m(v 0 )2 = mv02 cos2 α22Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.13 / 24Определим действие по Гамильтону для рассматриваемойконсервативной системы на прямом (Sпр ) и окольном (Sок ) путях.Действие по Гамильтону для параболического движения:Zt1Zt1¤m£ 2Sпр = Ldt =v0 − 4gv0 sin α t + 2g 2 t2 dt =2t00·¸·¸m 222m=v0 t1 − 2gv0 sin α t21 + g 2 t31 = t1 v02 − 2gv0 sin α t1 + g 2 t21 =2323"#µ¶m 2 v0 sin α 22 v0 sin α 2g 2 2 v0 sin α 2=v0 − 2gv0 sin α+=2gg3g·¸·¸mv0 sin α 28mv03 sin α4=v0 − 4v02 sin2 α + v02 sin2 α =1 − sin2 αg3g3Действие по Гамильтону для прямолинейного равномерного движения:Zt1Zt1mm2 v0 sin αm 2Sок = Ldt =v0 cos2 α dt = v02 cos2 α t1 = v02 cos2 α=222gt00¤m v03 sin αm v03 sin α £=cos2 α =1 − sin2 αggБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.14 / 24Таким образом имеем:·¸mv03 sin α4 2Sпр =1 − sin α ,g3Sок =¤m v03 sin α £1 − sin2 αgОтсюда видно, что при любом угле α 6= 0 (в том числе и придостаточно малых, когда прямой и окольный пути могут бытьсколь угодно близки) первая величина всегда меньше второй,т.е. действие по Гамильтону на прямом пути меньше, чем наокольном: Sпр < Sок .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.15 / 24Теперь найдем действия по Лагранжу на этих путях.Будем считать α малым, так что прямой и окольный пути близкидруг к другу.Так как для консервативной системы полная механическая энергияT + Π должна быть одинаковой для прямого и окольного путей,а в начальный момент оба пути начинаются в положении O, гдеΠ = 0, значит и кинетическая энергия точки для них должнабыть одинаковой, а следовательно и начальные скорости точкидля обоих движений одинаковы и равны v0 :v 0 = v0Но если на прямом пути время движения t1 определяетсявыражением выше, то для окольного пути оно будет иным ивычисляется по формуле (т.к. движение равномерное ипрямолинейное):t01 =OB2 v0 sin α cos αOB==0vv0gБатяев Е.
А. (НГУ)<ЛЕКЦИЯ 21t1 =2 v0 sin αg(α 6= 0)Новосибирск, 2018 г.16 / 24Удвоенная кинетическая энергия для параболического движения:¡¢¡¢2T = mv 2 = m ẋ2 + ẏ 2 = m v02 cos2 α + (v0 sin α − gt)2 =¡¢= m v02 − 2v0 g sin α t + g 2 t2Удвоенная кинетическая энергиядля прямолинейного равномерного движения: 2T = m(v 0 )2 = mv02Действие по Лагранжу для параболического движения Wпр :Zt1Zt1¡¢Wпр = 2T dt = m v02 − 2v0 g sin α t + g 2 t2 dt =µt00¶g2 2− v0 g= mt1− v0 g sin α t1 + t1 ==m3"#µ¶22 v0 sin α g 2 2 v0 sin α2 v0 sin α 2=mv0 − v0 g sin α+=gg3g··¸¸4 22 22m v03 sin α2m v03 sin α21 − 2 sin α + sin α =1 − sin α=g3g3v02 t1Батяев Е.
А. (НГУ)sin α t21g2+ t313¶ЛЕКЦИЯ 21µv02Новосибирск, 2018 г.17 / 24Действие по Лагранжу для прямолинейного равномерного движения Wок(за время – t01 ):0Zt1Zt12 v0 sin α cos αWок = 2T dt = mv02 dt = mv02 t01 = mv02=gt002 mv03 sin α p1 − sin2 α =gg¸·32 mv0 sin α1 41 2=1 − sin α − sin α − . . .g28многоточием указаны члены выше 4-ой степени относительно sin α.=2 mv03sin αcos α =Тогда при достаточно малых α, величина действия по Лагранжудля прямого пути Wпр меньше для окольного пути Wок : Wпр < WокОтметим, что аналогичные выражения действий по Лагранжуполучаются из связи с действием по Гамильтону W= S +h(t1 − t0 ),учитывая что интеграл в Sок следует брать за промежутоквремени t01 от соответствующей функции L = T = m(v 0 )2 /2.Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
