1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 35
Текст из файла (страница 35)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.18 / 24Связь движений системы и геодезических линий1Zq1Вернемся к рассмотрению движенияконсервативной системы, определяемойW = P dq1с помощью действия по Лагранжу в форме Якоби:q10Вспомним, что раньше мы получалиpпредставление функции Якоби в форме: P = 2 G(h − Π)¶µn1 Xdqσ0 00где функция G =aσρ qσ qρ qσ =.2 σ,ρ=1dq1Нетрудно видеть, что действие по Лагранжу тогда имеет вид:v1uXZq1 pu nW =2(h − Π) · taσρ qσ0 qρ0 dq1σ,ρ=1q10Здесь интегрирование совершается вдоль траектории движенияизображающей точки в координатном пространстве {q1 , .
. . , qn }между ее начальным и конечным положением, задаваемомточками P0 = (q10 , q2 (q10 ), . . . , qn (q10 )) и P1 = (q11 , q2 (q11 ), . . . , qn (q11 ))Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.19 / 24Как уже говорилось, якобиева форма действия удобна тем, что онаимеет чисто геометрический характер, поскольку время и скорости вней исключены. Рассмотрим движение несвободной системы приотсутствии активных сил, т.е. при Π = 0, которое называют ещёинерционным. Тогда действие W принимает более простой вид:q11 vu n√ Z uXW = 2h taσρ qσ0 qρ0 dq1q10σ,ρ=1Введем в координатном пространстве {q1 , . .
. , qn } – метрику.Пусть P и P 0 – две близкие точки координатного пространства,задаваемые набором координат (q1 , . . . , qn ) и (q1 + dq1 , . . . , qn + dqn ).Зададим метрику, определив квадрат расстояния ds2 между точками Pи P 0 с помощью положительно определенной квадратичной формы G:nX2ds =aσρ dqσ dqρ(∗)σ,ρ=1То что эта форма положительно определена мы показывали ранее.После этого координатное пространство {q1 , . .
. , qn } становитсяримановым (метрическим).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.20 / 24Тогда действие√ W только постоянныммножителем 2h будет отличаться от длины_дуги P0 P1 траектории изображающей точки(где P0 – начальное, P1 – конечное положение):Сам принцип наименьшего действияв форме Якоби принимает вид:W =√ZP12hdsP0ZP1δds = 0P0Таким образом задача об определении инерциального движенияконсервативной системы свелась к нахождению минимумаRP1интеграла ds, то есть к известной задаче дифференциальнойP0геометрии о нахождении геодезической линии в координатномпространстве с метрикой (∗). Отсюда заключаем, чтоинерционное движение консервативной системы происходиттаким образом, что изображающая точка движется погеодезической линии координатного пространства с метрикой (∗).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.21 / 24Более того, из выражения кинетической энергии системы врассматриваемом случае, имеем:µ ¶2nn1 X1 X1 dsT =aσρ q̇σ q̇ρ =aσρ dqσ dqρ =2 σ,ρ=12(dt)2 σ,ρ=12 dtТ.e. в данной метрике кинетическая энергия системы равнакинетической энергии изображающей точки в координатномпространстве, если считать что эта точка обладает единичноймассой. Кроме того, из интеграла энергии в инерциальномдвижении следует, чтоT =hт.е. постоянная кинетическая энергия. Тогда получаем, чтоскорость изображающей точки тоже постоянна:√ṡ = 2hзначит её движение по геодезической линии –√равномерное!Действие по Лагранжу принимает вид: W = 2h s = 2h(t1 − t0 ).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.22 / 24Если же рассмотреть общий случай консервативной системы сΠ(q1 , . . . , qn ) 6= 0, тогда введем другую метрику в координатномпространстве, определив квадрат расстояния dσ 2 между двумяблизкими точками P и P 0 по формуле:dσ 2 = (h − Π)nXaσρ dqσ dqρσ,ρ=1Так сделать можно, поскольку область возможного движения вкоординатном пространстве определяется очевиднымнеравенством Π 6 h (поскольку T + Π = h и T > 0).При этом легко видеть, что на границе области возможногодвижения эта метрика имеет особенность: чем ближе кривая кгранице, тем меньше ее длина. В частности, длина любой кривойна границе, равна нулю. Если Π < h, то метрика не имеетособенностей.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.23 / 24Тогда имеем:P1√ ZW = 2 dσP0И задача нахождения траекторий снова свелась к нахождениюгеодезических линий в координатном пространстве, но уже вRP1другой метрике (δW = 0 ⇒ δ dσ = 0).P0Эта идея, что движение консервативной системы всегда можнорассматривать как инерционное движение изображающей точкипо геодезической линии в римановом пространстве – составляетоснову общей теории относительности.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2018 г.24 / 24ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 22ДИНАМИКА НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.1 / 17Будем рассматривать систему N точек Pν (ν = 1, .
. . , N ) самого общего вида,движение которой ограничено g геометрическими связями и k (k 6= 0)кинематическими связями (неинтегрируемыми дифференциальными),выполняющимися в любой момент времени t:fα (t, r̄ ν ) = 0 (α = 1, . . . , g)(1)NXl̄βν v̄ ν + Dβ = 0 (β = 1, . . . , k)(2)ν=1где векторы l̄βν и скаляры Dβ являются заданными функциями от t иr̄ 1 , . . . , r̄ N .Приведенный вид кинематических связей, в виде линейной комбинацииотносительно скоростей, является общеупотребительным для подавляющегочисла практических задач. Попытки построить искусственно примерынелинейных кинематических связей успеха не имели.Относительно всех связей, естественно полагаем, что они независимы.Геометрические связи накладывают ограничения на возможные положенияточек системы, определяя их радиус-векторы r̄ ∗ν и на скорости:NX∂fα∂fα= 0 (α = 1, .
. . , g)(3)v̄ ν +∂r̄∂tνν=1которые, вместе с кинематическими связями (2), определяют возможныескорости точек v̄ ∗ν — в момент t∗ .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.2 / 17Возможные перемещения – ∆r̄ ν за время ∆t (∆r̄ ν = v̄ ∗ν ∆t) и виртуальныеперемещения – δr̄ ν , точек системы в момент времени t∗ , из возможногоположения системы r̄ ∗ν , удовлетворяют (определяются) уравнениями:NNXX∂fα∂fα∂fα∆r̄+∆t=0δr̄ ν = 0(α = 1, .
. . , g)ν∂r̄∂t∂r̄ ννν=1ν=1(4)NNXXl̄βν ∆r̄ ν + Dβ ∆ t = 0l̄βν δr̄ ν = 0(β = 1, . . . , k)ν=1ν=1∂fα ∂fα,вычисляются при t∗ , r̄ ∗ν .∂r̄ ν ∂tКомпоненты виртуальных перемещений (δxν , δyν , δzν ) = δr̄ ν – вариациикоординат.Количество независимых вариаций, согласно уравнениям для виртуальныхфункции l̄βν и Dβ и частные производныеперемещений (4), есть n = 3N − (g + k) – число степеней свободы системы.°°° ∂fα °°Учитывая только геометрические связи (1), при условии, что rang °° ∂r̄ ν ° = g,можно ввести m = 3N − g – обобщенных координат q1 , . .
. , qm , выразивчерез них все координаты, т.е. радиус-векторы точек системы: r̄ νr̄ ν = r̄ ν (t, q1 , . . . , qm )(ν = 1, . . . , N )(5)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.3 / 17Выразим через обобщенные координаты все кинематические величины:скорости v̄ ν , виртуальные перемещения δr̄ ν , ускорения āν точек системы:mmXX∂r̄ νdr̄ ν∂r̄ ν∂r̄ ν=q̇σ +,δr̄ ν =δqσ(6)v̄ ν =dt∂qσ∂t∂qσσ=1σ=1µ¶mmXXdv̄ ν∂r̄ νd ∂r̄ νd ∂r̄ νāν ==q̈σ +q̇σ +,(7)dt∂qσdt ∂qσdt ∂tσ=1σ=1При этом уравнения геометрических связей в обобщенных координатахстановятся тождествами (автоматически всегда выполняются) относительнообобщенных координат:NX∂fα∂fα ∂r̄ νfα (t, r̄ ν (q1 , . .
. , qm )) ≡ 0 ⇒==0(8)∂qσ∂r̄ ν ∂qσν=1что позволяет при дальнейших рассуждениях, в терминах обобщенныхкоординат, не учитывать геометрические связи.Из (6)-(7) нетрудно видеть, что скорости, ускорения и виртуальныеперемещения линейно зависят от обобщенных скоростей q̇σ , обобщенныхускорений q̈σ и вариаций обобщенных координат δqσ , соответственно.Причем справедливы важные соотношения (∀ ν = 1, . . .
, N ; σ = 1, . . . , m):∂ v̄ ν∂r̄ ν∂ v̄ νd ∂r̄ ν∂ āν==,=(9)∂ q̈σ∂ q̇σ∂qσ∂qσdt ∂qσБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.4 / 17Запишем в обобщенных координатах уравнения кинематических связей (2),подставив в них выражения r̄ ν (t, q1 , . . . , qm ) и v̄ ν (t, q1 , . . . , qm , q̇1 , . . . , q̇m ) из(5)-(6):NNmNXXXX∂r̄ ν∂r̄ νl̄βν v̄ ν + Dβ =l̄βνq̇σ +l̄βν+ Dβ = 0∂q∂tσν=1ν=1σ=1ν=1mX=⇒hβσ q̇σ + hβ = 0(β = 1, . .
. , k)(10)σ=1где обозначеноhβσ (t, q1 , . . . , qm ) =NX∂r̄ νν=1∂qσ· l̄βν ,hβ (t, q1 , . . . , qm ) =NX∂r̄ νν=1∂t· l̄βν +Dβ (11)Здесь в векторных функциях l̄βν и скалярных функциях Dβ величины r̄ νзаменены на их выражения в обобщенных координатах из (5).Для голономной системы обобщенные скорости q̇σ (σ = 1, . . . , m)независимы и совершенно произвольны. В неголономной системеобобщенные координаты qσ , как и в голономной системе, могут приниматьпроизвольные значения, но их производные по времени, обобщенныескорости q̇σ , уже не будут независимы – они связаны g соотношениями (10).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.5 / 17Аналогично, после подстановки выражения виртуальных перемещенийточек через вариации обобщенных координат из (6) в уравнениякинематических связей для виртуальных перемещений (4), получимусловия вида (геометрические связи тождественно выполняются):ÃN!NmNmXXXXX∂r̄ ν∂r̄ νl̄βν δr̄ ν =l̄βνδqσ =l̄βνδqσ = 0∂qσ∂qσν=1ν=1=⇒σ=1mXσ=1hβσ δqσ = 0ν=1(β = 1, .
. . , k)(12)σ=1Т.е. для неголономной системы, вариации обобщенных координат, каки обобщенные скорости, тоже не могут быть произвольными (как вголономной системе), а связаны k cоотношениями (12).Следовательно число степеней свободны неголономной системыn = 3N − g − k (при k 6= 0) меньше чем число обобщенных координатm = 3N − g на количество кинематических связей k: n = m − k .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.6 / 17Вывод уравнений движения неголономныхсистем с множителями связейПусть все связи, наложенные на систему (геометрические и кинематические)– являются идеальными, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
