1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 30
Текст из файла (страница 30)
. . , n)то окольные пути получаются из прямого при помощи виртуальныхперемещений δqσ (t) (вариаций координат) и задаются уравнениямиqσ0 = qσ (t) + δqσ (t),где δqσ (t0 ) = 0,δqσ (t1 ) = 0 (σ = 1, . . . , n)Величины δqσ (t) считаем дважды непрерывно-дифференцируемымифункциями от t, удовлетворящими равенствам аналогичным (2) оdперестановочности:δ q̇σ (t) = δqσ (t)dtБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.11 / 19Принцип Гамильтона–ОстроградскогоИтак, рассмотрим прямой путь и совокупность окольных путей,получающихся из прямого пути при помощи синхронноговарьирования и совпадающего с ним в начальный t0 и конечныйt1 моменты времени.Пусть mν – масса точки Pν , а F̄ ν – равнодействующая всехактивных сил, приложенных к ней (ν = 1, . .
. , N ). Интегрированиеобщего уравнения динамики за все время движения системы,которое справедливо для каждого конкретного момента времени:NX¡¢F̄ ν − mν āν δr̄ ν = 0ν=1даёт равенство:Zt1 XNt0Батяев Е. А. (НГУ)ν=1F̄ ν δr̄ ν dt −NXZt1mνν=1ЛЕКЦИЯ 18āν δr̄ ν dt = 0(∗)t0Новосибирск, 2018 г.12 / 19Рассмотрим разность между значениями кинетической энергиисистемы в момент t на окольном и прямом путях, т.е. T 0 (t) и T (t):NT 0 (t) − T (t) =1=2N¡¢2 1 X1Xmν r̄˙ ν + δ r̄˙ ν −mν r̄˙ 2ν =22ν=1NXNXν=1ν=1mν r̄˙ 2ν +mν r̄˙ ν δ r̄˙ ν +ν=1NX12ν=1Nmν δ r̄˙ 2ν −1Xmν r̄˙ 2ν2ν=1Вводя обозначение δT (t) для этой разности, с точностью до величинпервого порядка малости включительно относительно |δr̄ ν |, получаемвыражение:NXδT (t) = T 0 (t) − T (t) =mν r̄˙ ν δ r̄˙ νν=1которое по сути является синхронной вариацией кинетической энергии.Интегрируя данное выражение на всём времени движения системы,имеемZt1Zt1NXδT (t)dt =mν r̄˙ ν δ r̄˙ ν dtt0Батяев Е.
А. (НГУ)ν=1ЛЕКЦИЯ 18t0Новосибирск, 2018 г.13 / 19Используя свойство (2) перестановочности операций варьирования идифференцирования по времени и производя интегрирование почастям, преобразуем интеграл справа к виду:Zt1Zt1r̄˙ ν δ r̄˙ ν dt =t0t0dr̄˙ ν δr̄ ν dt =dtZt1¯t1 Zt1¯r̄˙ ν dδr̄ ν = r̄˙ ν δr̄ ν ¯ − ¨r̄ ν δr̄ ν dtt0t0t0Но поскольку δr̄ ν (t0 ) = 0 и δr̄ ν (t1 ) = 0, окончательно получим:Zt1δT (t)dt = −NXZt1t0āν δr̄ ν dtmνν=1t0Полученное соотношение позволяет переписать (∗) в следующем виде:!Zt1 ÃNXF̄ ν δr̄ ν dt = 0δT +(∗∗)t0ν=1Это равенство является математическим выражением принципаГамильтона–Остроградского.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.14 / 19Учитывая определение виртуальной работы системы сил:NXδA =F̄ ν δr̄ ν , выражение (∗∗) можно переписать в ином виде:ν=1Zt1(δT + δA) dt = 0(∗ ∗ ∗)t0Принцип Гамильтона–Остроградского(для голономных систем, подчиненных идеальным связям)Прямой путь системы между двумя заданными конфигурациями(положениями в расширенном координатном пространстве)выделяется среди всех других допустимых путей между этими жеконфигурациями за один и тот же промежуток времени, темсвойством, что для него равен нулю интеграл (∗∗) или (∗ ∗ ∗)Замечание: К сравнению с прямым путём допускаются толькоокольные пути, полученные синхронным варьированием из прямого иδr̄ ν (t0 ) = δr̄ ν (t1 ) = 0.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.15 / 19Таким образом, на прямом пути голономной системы интеграл (∗ ∗ ∗)равен нулю. Покажем, что, наоборот, если на каком-то кинематическивозможном пути интеграл (∗ ∗ ∗) равен нулю, то этот путь – прямой.Для этого достаточно убедиться в том, что из принципа Гамильтона–Остроградского следуют уравнения Лагранжа второго рода.Для начала докажемОсновная лемма вариационного исчисленияесли Φ(x) – непрерывная функция на отрезке x0 6 x 6 x1 иZx1Φ(x) · h(x)dx = 0x0для любой непрерывной функции h(x) на этом же интервале,имеющей непрерывную производную и удовлетворяющую условиюh(x0 ) = h(x1 ) = 0, тогда Φ(x) ≡ 0 (на этом отрезке).Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.16 / 19Доказательство: Пусть в некоторой точке x∗ внутри отрезка(x0 < x∗ < x1 ): Φ(x∗ ) 6= 0, например Φ(x∗ ) > 0. Тогда из непрерывностиΦ(x) следует, что найдется интервал ξ1 < x∗ < ξ2 , содержащийся в(x0 , x1 ), в котором Φ(x∗ ) > 0, т.е. сохраняет свой знак.Укажем функцию h(x) также сохраняющую знак в интервалеξ1 < x < ξ2 такой же как у Φ(x) и h(x) = 0 вне этого интервала.(h(x) =(ξ1 − x)2 (ξ2 − x)2 для x ∈ (ξ1 , ξ2 )0для x ∈/ (ξ1 , ξ2 )h(x)0x1x2x– очевидно она непрерывна и имеет непрерывную производную.
ТогдаZξ1Zx1Φ(x)(ξ1 − x)2 (ξ2 − x)2 dx > 0Φ(x)h(x)dx =x0ξ0потому что подынтегральная функция - непрерывная и положительная.Получим противоречие доказанной лемме.¥Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.17 / 19Возвращаясь к исходным выражениям, заметим, что:δA =NXF̄ ν δr̄ ν =ν=1nXQσ δqσδT =σ=1n µX∂Tσ=1∂Tδqσ +δ q̇σ∂qσ∂ q̇σ¶где Qσ – обобщенные силы, соответствующие обобщённымкоординатам qσ и перепишем интеграл (∗∗) в виде:Zt1 Xn ·t0 σ=1∂Tδ q̇σ +∂ q̇σµ¶¸∂T+ Qσ δqσ dt = 0∂qσСнова используем перестановочность операций варьирования идифференцирования по t, интегрируя по частям, с учетом того, чтоδqσ (t0 ) = δqσ (t1 ) = 0, получим:Zt1t0∂Tδ q̇σ dt =∂ q̇σZt1t0¯t 1∂T∂T d¯δqσ dt =δqσ ¯ −∂ q̇σ dt∂ q̇σt0Zt1t0d ∂Tδqσ dt = −dt ∂ q̇σZt1t0d ∂Tδqσ dtdt ∂ q̇σПодставляя это в предыдущий интеграл, имеем:Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.18 / 19¸n Zt1 ·X∂Td ∂T−− Qσ δqσ dt = 0dt ∂ q̇σ∂qσσ=1 t0Величины δqσ – независимы и произвольны. Тогда полагая однуδqk 6= 0, а остальные δqσ = 0, σ = 1, . . . , n, σ 6= k получимZt1 ·t0¸d ∂T∂T−− Qk δqk dt = 0dt ∂ q̇k∂qk(k = 1, . . . , n)Применяя к этому интегралу основную лемму вариационногоисчисления (h(x) = δqk (t)), получим уравнения Лагранжа второго родаd ∂T∂T−= Qkdt ∂ q̇k∂qk(k = 1, . . . , n)Таким образом, из принципа Гамильтона–Остроградского следуютуравнения Лагранжа 2-го рода. Следовательно, этот принцип можетбыть положен в основу динамики голономных систем.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2018 г.19 / 19ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 19ФУНКЦИОНАЛВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛАСТАЦИОНАРНОЕ ЗНАЧЕНИЕ(ЭКСТРЕМУМ) ФУНКЦИОНАЛАУРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И ЭКСТРЕМАЛЬЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.1 / 23Будем говорить, что нам задан функционал, если каждой функции(или кривой) из некоторого класса, поставлено в соответствиеопределенное число.Таким образом, можно сказать, что функционал J[y] – это функция, вкоторой роль независимого переменного играют кривые и функции y(x).Примеры: пусть y(x) – произвольная, непрерывно-дифференцируемаяфункция на интервале [a, b]Zbq• длина кривой, описываемой функциейJ[y] =1 + (y 0 (x))2 dxy(x), на интервале x ∈ [a, b]:a• максимум функции y(x) на интервале x ∈ [a, b]:• ордината центра тяжести – как дляоднородной цепной линии:J[y] = max y(x)a6x6bZb qJ[y] = y 1 + (y 0 )2 dxa• площадь под кривой, описываемой функциейy(x), на интервале x ∈ [a, b]:Здесьy 0 (x)ZbJ[y] =– обозначает производную функции y(x):Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19y(x)dxa0y (x) =dy.dxНовосибирск, 2018 г.2 / 23ФункционалРассмотрим более общий случай. Пусть Φ(x, y, z) – некотораянепрерывная функция трех переменных x, y, z. ВыражениеZbΦ(x, y(x), y 0 (x))dxJ[y] =(∗)aгде y(x) – всевозможные непрерывно-дифференцируемые функции,определенные на отрезке [a, b] — представляет собой функционал.Выбирая ту или иную функцию Φ(x, y, z), мы будем получатьразличные функционалы.
Например, еслиZbq√Φ(x, y, z) = 1 + z 2 → J[y] =1 + (y 0 (x))2 dx — длина кривой,Zb aΦ(x, y, z) = y → J[y] = y(x)dx — площадь под кривой.aФункционалы вида (∗) мы и будем рассматривать дальше.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.3 / 23Отдельные задачи, связанные с понятием функционала,рассматривались около 400 лет назад.Первые важные результаты здесь были получены еще Эйлером.Тем не менее, до сих пор еще не существует достаточно общихметодов «исчисления функционалов», аналогичныхклассическому анализу («исчислению функций»).Наиболее разработанными являются методы нахождениянаибольших и наименьших значений функционалов.
Этотнаиболее разработанный раздел «исчисления функционалов»называется вариационным исчислением, поскольку понятиевариации функционала играет здесь основную роль.Однако вариация функционала далеко не исчерпываетсяприменением только к задачам на отыскание экстремумовфункционалов.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.4 / 23Примеры вариационных задачЗадачи определения наибольших и наименьших значенийфункционалов• Среди всех плоских кривых, соединяющих две фиксированные точкиA и B найти, которая имеет наименьшую длину. Иначе говоря найтитакую кривую, описываемую функцией y(x),Rbpдля которой функционал1 + (y 0 (x))2 dx достигает минимума.aЯсно, что искомой линией будет отрезок прямой, соединяющий A и B.• Л. Эйлером было дано решение следующей вариационной задачи:среди всех замкнутых кривых, имеющих данную длину S, найти ту,которая ограничивает наибольшую площадь.
Решение этой задачи былоизвестно уже в древней Греции – этой кривой является окружность.А дополнительное условие постоянства длины, т.е. периметра кривой,послужило основой к определению названия класса вариационныхзадач на «условный экстремум функционала» – изопериметрические.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.5 / 23• Задача о брахистохроне.Брахистохроной называется кривая, расположенная в вертикальнойплоскости и соединяющая две заданные точки A и B, двигаясь покоторой из состояния покоя, без трения, под действием силы тяжести,материальная точка приходит из начального положения A в конечноеположение B за минимальное время.Т.е.
брахистохрона – это линия наискорейшего спуска (ската), покоторой точка скатывается быстрее всего.Эта задача была поставлена в 1696 г. И. Бернулли и сыграла важнуюроль в развитии вариационного исчисления.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.6 / 23Для функционалов, так же как и для обычных функций классическогоанализа, важную роль играет понятие непрерывности (т.е. если любыедва элемента из области определения функции – близки, тогда изначения функции в этих элементах тоже должны быть близки).Для этого необходимо сформулировать сначала это понятие близостиэлементов в функциональном пространстве, где определен функционал.Поскольку нас интересуют функционалы вида (∗), т.е. зависящие отфункций y(x) и их производных y 0 (x) (и от переменной x), то следуетрассмотреть пространство непрерывно-дифференцируемых функций, вкотором введено естественным образом понятие нормы:ky(x)k = max |y(x)| + max |y 0 (x)|a6x6ba6x6bТаким образом, близость функций в пространстве с такой нормой:ky1 (x) − y2 (x)k < ε – означает, что близки значения самих функций иих производных для всех точек из области определения функций.Легко проверить, что все аксиомы линейного нормированногопространства для такой нормы – выполнены.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.7 / 23Функционал J[y] называется – непрерывный в «точке» y0 излинейного нормированного пространства, если для любого числа ε > 0существует число δ > 0 такое,что для¯ всех y, для которых¯ky − y0 k < δ следует, что ¯J[y] − J[y0 ]¯ < ε.Функционал Jhyi называется – линейный в линейном нормированномпространстве если он:1) Jhyi – непрерывен,2) для любых y1 и y2 из функционального пространства выполняетсяJhα1 y1 + α2 y2 i = α1 Jhy1 i + α2 Jhy2 i(α1 , α2 − постоянные).(Угловые скобки h. . .i – обозначают линейность функционала.)Очевидно, что функционалы вида:ZbJhyi = f (x)y(x) dxилиaZbJhyi = f (x)y 0 (x) dxaгде f (x) – фиксированная функция — являются линейными, а видаZbJ[y] = y 2 (x)dx – нелинейный функционал.aБатяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
