1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 31
Текст из файла (страница 31)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.8 / 23Вариация функционалаОпределим понятия дифференциала функционала – вариации.Рассмотрим некоторый функционал J[y] и его приращение:∆J = J[y + h] − J[y]отвечающее приращению на h(x) для «независимой переменной» y(x).Если y(x) фиксировано, то ∆J представляет собой функционал(вообще говоря нелинейный) от h, т.е. ∆J = ∆J[h].Вариацией (дифференциалом) δJ функционала J[y] —называется главная линейная часть приращения ∆J функционала J,т.е. линейный функционал δJhhi, отличающийся от ∆J[h] набесконечно малую величину порядка выше первого по отношению к khk:∆J[h] = δJhhi + ϕ[h]где ϕ[h] – функционал, обладающий свойством:ϕ[h]→ 0 при khk → 0.khkПричем эта вариация «в некоторой точке y(x)».Ясно, что вариация функционала (если есть) определяется однозначно.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.9 / 23Стационарное значение функционалаИспользуем вариацию функционала, чтобы установить необходимыеусловия экстремума (или стационарного значения) функционала.По аналогии с экстремумом функции, скажем, что функционал J[y]– достигает стационарного значения (экстремума) – при y = y0 (x),если разность J[y] − J[y0 ] – сохраняет знак (поэтому и стационарноезначение функционала) в некоторой окрестности кривой y0 (x).ТЕОРЕМА (из вариационного исчисления – без доказательства).Чтобы функционал J[y] при y = y0 (x) достигал стационарного значения(экстремума), необходимо, чтобы его вариация обращалось в ноль:δJ = 0при y = y0 (x).Необходимо, но не достаточно!Вопрос о достаточном условии раскрывается при рассмотрении второйвариации. Однако часто существование и единственность экстремумастановится понятным из физического и геометрического смысла задачи.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.10 / 23Простейшая задача вариационного исчисленияПусть Φ(x, y, z) – некоторая функция, имеющая непрерывные частныепроизводные по всем переменным до второго порядка включительно.Среди всех функций y(x), имеющих непрерывную производную y 0 (x) иудовлетворяющих условию y(a) = A, y(b) = B требуется найти такуюфункцию, которая доставляет стационарное значение функционалу (∗):ZbΦ(x, y(x), y 0 (x))dxJ[y] =(∗)aИначе говоря, простейшая задача вариационного исчисления состоит вотыскании экстремума функционала данного вида на множествегладких кривых, соединяющих две фиксированные точки.Чтобы применить к решению сформулированной задачи условие(необходимое) экстремума, нужно уметь вычислять вариациюфункционалов указанного типа. Выведем соответствующую формулу.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.11 / 23Придадим функции y(x) некоторое приращение h(x). Для того, чтобыфункция y(x) + h(x) по-прежнему удовлетворяла граничным условиям(ведь мы именно среди таких функций ищем нужную) необходимо,чтобы h(a) = h(b) = 0. Вычислим приращение функционала:ZbZbΦ(x, y + h, y 0 + h0 ) dx −∆J[h] =aZb=Φ(x, y, y 0 ) dx =a¡¢Φ(x, y + h, y 0 + h0 ) − Φ(x, y, y 0 ) dx =aZb=¡¢Φy (x, y, y 0 ) · h + Φy0 (x, y, y 0 ) · h0 dx + .
. .aМноготочие обозначает члены порядка выше 1-го относительно h и h0 .Здесь использовано обычное разложение в ряд Тейлора, где Φy и Φy0обозначают производные Φ(x, y, y 0 ) по соответствующим переменным.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.12 / 23Отсюда видно, что первый интеграл представляет собой главную,линейную (относительно h) часть приращения ∆J функционала J, т.е.Zbвариация:¡¢Φy (x, y, y 0 ) · h + Φy0 (x, y, y 0 ) · h0 dxδJhhi =aБолее того, нетрудно видеть, что подынтегральная функция ввариации функционала J представляет собой ничто иное как вариациюили виртуальный дифференциал самой функции Φ(x, y, y 0 ), т.е.δΦ(x, y, y 0 ) = Φy · δy + Φy0 · δy 0где заменено h(x) на привычное обозначение приращения функции δy.Значит для случая простейшей задачи вариационного исчисления стак называемыми закрепленными концами получили:ZbZb0δ Φ(x, y, y ) dx = δJ =δΦ(x, y, y 0 ) dxaaТ.е.
вариация функционала (∗) при закрепленных концах – равнавариации подынтегральной функции.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.13 / 23Обращаясь к вариации δJhhi, выполним для второго слагаемого винтеграле интегрирование по частям и учтем, что h(a) = h(b) = 0:ZbaZb¯b Z b d Φ 0d Φy0¯yΦy0 · h0 dx = Φy0 · h(x)¯ −· h(x) dx = −· h(x)dxdxdxaaТогда вариация функционалаJ(x, y, y 0 )aпримет вид:¶Zb µd Φy 0δJhhi =Φy −· h(x) dxdxaЕсли для какой-то функции y∗ (x) функционал J(x, y, y 0 ) достигаетстационарного значения, то из необходимого условия экстремумафункционала следует, что вариация функционала, а значит и интегралсправа – равны нулю при y = y∗ (x):¶Zb µd Φy 0Φy −· h(x) dx = 0dxaБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.14 / 23Теперь пользуясь основной леммой вариационного исчисленияполучим, что:dдля y = y∗ (x)Φy −Φy 0 = 0− уравнение ЭйлераdxТ.е. фактически мы доказали теорему:ТЕОРЕМА. Для того, чтобы функционал (∗), определенный намножестве непрерывно-дифференцируемых функций y(x),удовлетворяющих условиям закрепленных концов y(a) = A, y(b) = B,достигал на данной функции y∗ (x) стационарного значения,необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера.Интегральные кривые, являющиеся решениями уравнения Эйлера,называются – экстремали. Видно, что уравнения Эйлера имеют видлагранжевых уравнений (если заменить Φ → L, x → t, y(x) → qσ (t),y 0 (x) → q̇σ (t)):∂Ld ∂L−=0(σ = 1, .
. . , n)∂qσdt ∂ q̇σи служат для нахождения функций qσ (t), определяющих прямой путь— экстремаль вариационной задачи.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.15 / 23Задача о брахистохронеДля демонстрации изложенных методов вариационного исчисления,рассмотрим задачу отыскания линии наибыстрейшего спуска(брахистохроны): определить плоскую кривую в вертикальнойплоскости, соединяющую две заданные точки, двигаясь (скатываясь)по которой под действием собственного веса материальная точкапопадает из начальной точки A в конечную точку B из покоя закратчайшее время (трением и сопротивлением среды пренебрегаем).Поместим начало координат в A,Ax ось Ax – по горизонтали вправо,s(t)BMymgvось Ay – по вертикали вниз.Требуется минимизироватьфункционал:ZTT = dt0Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.16 / 23Так как механическая система – консервативная, значит выполняетсязакон сохранения полной механической энергии:1T = mv 2 ,2E = T + Π = constmv 2Π = −mgy⇒−mgy = 02p⇒v = 2gy(т.к. вначалебыл покой)(1)Используя естественное представление движения можем записать:dsA=v(2)xdts(t)где s(t) – дуговая координата,B ds – длина элементарной дуги.MВ декартовых координатах имеемmgqyvds = (dx)2 + (dy)2Будем искать (полагать) функцию y = y(x), тогдаsµ¶2 qdy2ds = (dx) +dx = 1 + (y 0 )2 dxdxБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.(3)17 / 23Теперь из (2) с учётом (1) и (3) получаем:sp021 + (y ) dxds11 + (y 0 )2√dt ===√dxvy2gy2gТаким образом, необходимо минимизировать функционалsZxB11 + (y 0 )2J[y] = √dxy2g0на путях, проходящих через положения A = (0, 0) и B = (xB , yB ).Используем уравнение Эйлера как необходимое условие экстремумафункционала:sd1 + (y 0 )2Φy −Φy0 = 0гдеΦ(x, y, y 0 ) =dxyОбратим внимание, что в этой задаче Φ(y, y 0 ) – не зависит явно от x.Оказывается, что в этом случае уравнение Эйлера допускает интеграл.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2018 г.18 / 23Действительно, дифференцируя второе слагаемое уравнения Эйлераимеем:¡¢dΦy −Φy0 = Φy − Φy0 y · y 0 + Φy0 y0 · y 00 = 0dxУмножая это выражение на y 0 получим:¡¢Φy y 0 − Φy0 y · y 0 + Φy0 y0 · y 00 y 0 =¢ ¡¡¢= Φy y 0 + Φy0 y 00 − Φy0 y 00 − Φy0 y · y 0 + Φy0 y0 · y 00 y 0 =¢d ¡=Φ − y 0 Φy0 = 0dxОтсюда:sΦ − y 0 Φy0 = const⇒(y 0 )21 + (y 0 )2−p=Cyy (1 + (y 0 )2 )Приводя подобные слагаемые, получим:1py (1 + (y 0 )2 )Батяев Е.
А. (НГУ)=C⇒ЛЕКЦИЯ 19¡¢y 1 + (y 0 )2 = C1Новосибирск, 2018 г.19 / 23¡¢y 1 + (y 0 )2 = C1Введём параметр t, полагая y 0 = ctg t. Тогда получим:y=C1C1= C1 sin2 t =(1 − cos 2t)1 + ctg2 t2dx =⇒dy = 2 C1 sin t cos t dtdy2 C1 sin t cos t dt== 2 C1 sin2 t dt = C1 (1 − cos 2t)dt0yctg tИнтегрируя последнее выражение от начального положения (x(t0 ) = 0)до некоторого текущего положения (x(t)), получим1C1x = C1 (t − sin 2t · ) + C2 =(2t − sin 2t) + C222Итак, в параметрической форме уравнение кривой имеет вид:x − C2 =Батяев Е. А. (НГУ)C1(2t − sin 2t),2ЛЕКЦИЯ 19y=C1(1 − cos 2t)2Новосибирск, 2018 г.20 / 23Преобразуем параметр подстановкой 2t = θ и учтём, что дляначального положения A: x = 0, y = 0 т.е.−C2 =C1(θ0 − sin θ0 ),20=C1(1 − cos θ0 )2Ясно, что C1 6= 0, потому что иначе получим C1 = C2 = 0 и решениебудет тривиальным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
