1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 25
Текст из файла (страница 25)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.22 / 241. Пусть сопротивление велико настолько, что для всех µσ : β 2 > 4αγ.Тогда корни µσ будут действительны и отрицательны (εσ = 0, δσ < 0).2nИ решение имеет вид:Xq̄ =eδσ t v̄ σ Cσ(c)σ=1т.е. со временем убывает до нуля. Такое движение имеет затухающийапериодический характер – частный случай затухающего колебательногодвижения, при котором собственно колебательного движения не можетразвиться и система, выведенная из положения своего устойчивогоравновесия, приближается к нему с убывающей скоростью без колебаний.2.
Пусть сопротивление мало настолько, что для всех µσ : β 2 < 4αγ.Тогда решение имеет общий вид и движение будет затухающим колебанием.В частном случае: когда сопротивление отсутствует, это означает, чтокоэффициенты bσρ = 0 в функции Релея, т.е. R = 0, B = 0, тогда β = 0, икорни будут чисто мнимыми, а вековое уравнение: det(Aµ2 + C) = 0 √переходит в уравнение частот: det(C − λA) = 0, если положить: µ = i λ.Такой случай соответствует консервативной системе, уравнение частоткоторой имеет вещественные и положительные корни (λ > 0).
Решениеимеет гармонический характер, т.е. незатухающие колебания.3. Промежуточные случаи сопротивления, отвечают затухающим движениям,и являются комбинацией апериодических движений и затухающих колебаний.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.23 / 24Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.24 / 24ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 16УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЙМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВАИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИНЕВОЗМУЩЁННОГО ДВИЖЕНИЯЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2018 г.1 / 24Известно, что при достаточно гладких силах дифференциальные уравненияопределяют движение системы из любого начального состояния. Однако, опытпоказывает, что не все теоретически возможные движения в действительностиреализуются. Причины кроются в том, что требуемые начальные условия всегдаосуществляются, не вполне строго, а лишь с некоторой точностью. Этообусловлено, как физической невозможностью абсолютно точно реализовать этиусловия, так и тем, что к возмущению начальных условий фактически сводитсявлияние второстепенных и случайных факторов, не учтённых при схематизацииявления.
При малых же начальных возмущениях, для одних движений –отклонения от невозмущённого движения всегда остаются малыми, так чтофактическое движение происходит вблизи требуемого, для других – отклонения современем становятся либо большими, но конечными, либо неограниченновозрастают, и, фактическое движение значительно отличается от требуемого.Тогда первые движения относят к классу устойчивых, а вторые – к неустойчивым.Проблемы устойчивости движений возникают как в технических, так и вестественно-научных вопросах. К их числу относятся исследования движениягироскопических систем, автоматического регулирования, движений самолетов,снарядов, ракет: в небесной механике – при рассмотрении вопроса о сохраненииструктуры Солнечной системы.Понятию устойчивости движения можно придавать разный смысл.
Наиболееобщим и важным по своим приложениям является понятие устойчивостидвижения по Ляпунову.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2018 г.2 / 24Постановка задачи об устойчивости движенияПредположим, что движение механической системы определяетсядифференциальными уравнениями (каноническая система)dyk (t)= Yk (t, y1 , . . . , ym ),(k = 1, . . . , m)(1)dtПравые части которых являются аналитическими функциями переменныхt, y1 , . .
. , ym . Это могут быть:yk → qσ , q̇σ (m = 2n) − уравнения Лагранжа,yk → qσ , pσ (m = 2n) − уравнения Гамильтона.Пусть известно некоторое частное решение этой системы:yk = fk (t)(k = 1, . . . , m)(2)(k = 1, . . . , m)(3)отвечающее начальным условиям:yk0 = fk (t0 )Определяемое им движение называют — невозмущённым движением.Нас интересует вопрос о движении системы при отклонении начальныхусловий yk0 от условий (3).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2018 г.3 / 24По отношению к невозмущённому движению другие решения системы (1):yk = yk (t)(k = 1, . . . , m)определяют так называемые — возмущённые движения.Возмущённые движения происходят под действием тех же сил, что иневозмущённые, а различие между ними состоит в изменении, или,как говорят, в возмущении начальных условий (3).Разности значений величин yk для возмущённых и невозмущённыхдвижений обозначим как:xk (t) = yk (t) − fk (t)(4)и будем называть — возмущениями или отклонениями.Т.к. невозмущённое движение задано (известно), то отклонения вполнеопределяют возмущённое движение. Ясно, что отклонения обращаютсяв ноль при совпадении возмущённого движения с невозмущённым т.е.невозмущённому движению соответствуют нулевые отклоненияx1 = . .
. = xm = 0Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2018 г.4 / 24Уравнения движения системы (1) можно представить в форме уравненийдля отклонений. Учитывая, что уравнения невозмущённого движенияявляются решением (1):dfk= Yk (t, f1 , . . . , fm ),(k = 1, . . . , m)dtпочленно вычитая их из (1), с учетом (4) получимУравнения возмущённого движениягдеdxk= Xk (t, x1 , . .
. , xm ),dt(k = 1, . . . , m)(5)Xk (t, x) = Yk (t, f (t) + x) − Yk (t, f (t))Xk (t, x) подобно Yk (t, y), аналитичны по t и x.Xk (t, 0) ≡ 0,Очевидно, справедливо:(k = 1, . . . , m)значит система уравнений возмущённого движения в отклонениях (5) имеетчастное тривиальное решение, отвечающее невозмущённому движениюxk = 0,(k = 1, . . . , m)Таким образом, задача об определении устойчивости заданногоневозмущённого движения приводится к задаче об определенииустойчивости нулевого решения уравнений возмущённого движения.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2018 г.5 / 24В терминах отклонений сформулируем определения устойчивостидвижения.Невозмущённое движение x1 = 0, . . . , xm = 0 называется устойчивымпо отношению к переменным yk (k = 1, . . . , m), если для любого скольугодно малого числа ε > 0 можно указать такое положительное числоδ = δ(ε) > 0, что для всех возмущённых движений, для которых вначальный момент времени t0 выполняются неравенства: |xk (t0 )| < δ,при любом времени t > t0 будут выполняться неравенства: |xk (t)| < ε.В противном случае невозмущённое движение называетсянеустойчивым.Другими словами, устойчивость невозмущённого движения означает,что можно обеспечить достаточную малость отклонений в любоймомент путем выбора достаточно малых начальных отклонений.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2018 г.6 / 24Важный класс устойчивых движений составляют асимптотическиустойчивые движения. Дадим определение асимптотическойустойчивости в смысле Ляпунова.Невозмущённое движение x1 = 0, . . . , xm = 0 называетсяасимптотически устойчивым по отношению к переменным yk(k = 1, . . . , m), если оно устойчиво и найдется такое положительноечисло δ0 , что для всех отклонений, удовлетворяющих в начальныймомент времени t0 неравенствам: |xk (t0 )| < δ0 , с неограниченнымвозрастанием времени будут выполняться условия: lim |xk (t)| = 0.t→∞Т.е. при достаточно малых по абсолютной величине начальныхотклонениях, во время движения отклонения не только остаются взаданных малых пределах, но убывают до нуля.
Таким образом, охарактере устойчивого невозмущённого движения судят по поведениюотклонений, т.е. возмущённых движений.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2018 г.7 / 24Геометрическая интерпретацияx2x2PP0Ox1P¥OP0d0deex1Рассмотрим m-мерноепространство возмущений,где координатыизображающейточки P – возмущения(x1 , . . . , xm ). Началоотсчета O соответствуетневозмущённомудвижению.Устойчивость (обыкновенная) невозмущённого движения – означает, чтолюбая траектория изображающей точки P , начавшись внутри куба сцентром O, и ребром 2δ остается внутри такого же куба с ребром 2ε, т.е.находится в ε-окрестности начала О.Асимптотическая устойчивость невозмущённого движения – означает, чтотраектория изображающей точки P , начинающаяся внутри δ0 -окрестностиначала O, в дальнейшем не только остается внутри ε-окрестности (обычнаяустойчивость), но и, с неограниченным ростом времени t, асимптотическиприближается к O.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2018 г.8 / 24Условная устойчивостьКак уже отмечалось, величинами yk , для которых написана исходнаясистема уравнений (1) могут служить все функции, определяющиедвижение, например, все координаты и скорости qσ , q̇σ (σ = 1, . . .
, n),при этом k = 1, . . . , 2n. Однако, с более общей точки зрения под ykможно понимать только часть определяющих величин или, в ещеболее общем случае, некоторые функции этих величин, являющиесяхарактеристиками движения:yk = yk (t, qσ , q̇σ )(k = 1, . . . , m 6 2n)и обсуждать вопрос об устойчивости по отношению только к такимхарактеристикам. При этом ясно, что невозмущённое движение можетбыть устойчивым по отношению к одним и неустойчивым поотношению к другим характеристикам.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2018 г.9 / 24Следует отметит, что определение устойчивости в смысле Ляпуновавообще содержит очень сильные требования.
При этом неустойчивыми,в этом смысле, оказываются многие практически важные движения.Так, возможны случаи, когда нельзя найти положительного числа δ,удовлетворяющего поставленному в определении устойчивоститребованию, если рассматривать любые возможные возмущенияx01 , . . . , x0m , и такое число указать можно, если на начальныевозмущения наложить некоторые ограничения, подчинив из условиямвидаF (x01 , . . . , x0m ) = 0илиF (x01 , . .
. , x0m ) > 0тождественно выполняющиеся при x01 = . . . = x0m = 0.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2018 г.10 / 24Поэтому в ряде случаев целесообразно несколько ослабить требованияустойчивости по Ляпунову. Во-первых исследовать устойчивостьдвижения по отношению не ко всем величинам – координатам искоростям, а по отношению только к некоторым функциям от них и,во-вторых, наложив только некоторые ограничения на начальныевозмущения. В этом случае говорят об условной устойчивости илиустойчивости невозмущённого движения для возмущений,подчиненных определённым условиям.Отметим, что система уравнений (1), сформулированная для функцийyk , зависящих от qσ , q̇σ , с необходимостью должна быть автономной(замкнутой), т.е. не зависеть от других неизвестных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
