1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 22
Текст из файла (страница 22)
. , n) (координаты = отклонения)• потенциальная энергия в положении равновесия достигаетстрогого минимума (теорема Лагранжа об устойчивостиравновесия);• потенциальная энергия в положении равновесия обращается вноль: Π(0) = 0.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.3 / 21Как уже говорилось будем рассматривать движение системы околоданного устойчивого положения равновесия, считая обобщённыекоординаты и скорости малыми по величине всё время движения (∀ t):|qσ (t)| ¿ 1,|q̇σ (t)| ¿ 1т.е.
рассмотрим случай – малых движений (колебаний) системы.Линеаризуем выражения для функций T (q, q̇) и Π(q).Разложим коэффициенты aσρ (q1 , . . . , qn ) в выражении T по степенямкоординат в окрестности начала координат, т.е. в ряд Тейлора вокрестности нуля (ряд Маклорена):nX∂aσρaσρ (q1 , . . . , qn ) = aσρ (0, . . . , 0) +(0) · qi + .
. .∂qii=1Обозначая aσρ (0, . . . , 0) = aσρ = const, устанавливаем, что с точностьюдо квадратичных членов со скоростями кинетическая энергия имеет вид:T =n1 Xaσρ q̇σ q̇ρ2σ,ρ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.4 / 21Аналогично разложим в ряд по степеням координат в окрестностиначала координат и потенциальную энергию:Π(q1 , . . . , qn ) = Π(0) +nnX∂Π1 X ∂2Π(0) · qσ +(0) · qσ qρ + . .
.∂qσ2∂qσ ∂qρσ=1σ,ρ=1Многоточие здесь как и ранее для T обозначает сумму членов 3-го ивыше порядков относительно qσ . Поскольку Π(0) = 0 (по условию) и∂Π(0) = 0 (по определению положения равновесия), то разложение∂qσпотенциальной энергии начинается с квадратичных, относительнокоординат, членов. Пренебрегая членами третьего и более высокихпорядков, считая их гораздо меньше квадратичного члена, получим:n1 XΠ=cσρ qσ qρ2σ,ρ=1где обозначено: cσρ =Батяев Е. А.
(НГУ)∂2Π(0) = const.∂qσ ∂qρЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.5 / 21Таким образом, T и Π приближённо представимы в видеквадратичных форм с постоянными коэффициентами.Причём из определения указанных коэффициентов ясно, чтоматрицы коэффициентов – будут симметричными:aσρ = aρσ ,cσρ = cρσ(σ, ρ = 1, . . . , n)Из физического смысла кинетической энергии ясно, что T > 0– всегда. Более того T > 0, если только не все обобщённыескорости равны одновременно нулю:nXaσρ q̇σ q̇ρ > 0 приσ,ρ=1nXq̇σ2 > 0σ=1следовательно квадратичная формаnX2T =aσρ q̇σ q̇ρ – положительно определена.σ,ρ=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.6 / 21Что касается квадратичной формы потенциальной энергии покоординатамnX2Π =cσρ qσ qρσ,ρ=1то она тоже положительно определена в силу предположений одостижении строгого минимума в начале координат – котороеявляется положением равновесия – достаточный признак изтеоремы Лагранжа, и имеющая значение ноль в этом положении:nXcσρ qσ qρ > 0 приσ,ρ=1Батяев Е.
А. (НГУ)nXqσ2 > 0σ=1ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.7 / 21Составим уравнения Лагранжа, пользуясь полученнымивыражениями кинетической T и потенциальной Π энергий:d ∂T∂T∂Π−=−dt ∂ q̇σ ∂qσ∂qσ(σ = 1, . . . , n)⇒nX(aσρ q̈ρ + cσρ qρ ) = 0ρ=1уравнения малых колебанийВеличины aσρ называются — инерционные коэффициенты,Величины cσρ называются — коэффициенты жёсткости (иликвазиупругие коэффициенты).Величины aσρ – определяют инерционные свойства системы,Величины cσρ – определяют квазиупругие свойства системы.Таким образом задача определения движения в окрестностиположения равновесия свелась к решению системы обыкновенныхлинейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка.Эти линейные уравнения получены из полных уравненийЛагранжа после замены T и Π их приближёнными выражениями.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.8 / 21Теория малых колебаний консервативной системы вблизи устойчивогоположения равновесия опирается на такую линеаризацию ирассматривает приближённые выражения для T и Π в видеквадратичных форм с постоянными коэффициентами – как точные.Когда говорят «малые колебания», то обычно имеют в виду движенияописываемые системой дифференциальных уравнений, полученной врезультате линеаризации полных (нелинейных) уравнений движения.
Вслучае движений в окрестности положения равновесия консервативнойсистемы, линеаризация сводится, как мы видим, к получению T и Π ввиде квадратичных форм (приближённых выражений).Для упрощения записи полученные уравнения удобнопредставить в векторно-матричной форме. Введём обозначения:a11 · · · a1nc11 · · · c1nq1.. C = .. . ... q̄ = .. ..A = .........an1 · · ·anncn1 · · ·cnnqnпричём A и C – симметричные матрицы.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.9 / 21Тогда кинетическая и потенциальная энергии примут форму:1˙T = A q̄˙ q̄,2Π=1C q̄q̄2а уравнения малых колебаний:A ¨q̄ + C q̄ = 0Будем искать частное решение этой линейной системы в виде:q̄ = ū sin(ωt + α)где ū – амплитудный вектор – вектор-столбец с постояннымикоэффициентами:u1ū = ... unω и α – параметры, т.е. в виде гармонических колебаний с одной и тойже частотой – ω, и начальной фазой – α, для всех координат qσ ,но с различными амплитудами uσ .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.10 / 21Подстановка этого выражения в нашу систему приводит к следующейсистеме алгебраических уравнений, линейных относительно амплитуд:(C − λA)ū = 0(λ = ω 2 )Поскольку все амплитуды uσ из ū не должны одновременнообращаться в ноль, т.е. для существования ненулевого решения этойсистемы – должен быть равен нулю определитель:det(C − λA) = 0После раскрытия этого определителя получим алгебраическоеуравнение n-ой степени относительно λ, т.е.
квадрат частоты ω 2 = λдолжен удовлетворять этому уравнению, точнее определяться из него.Поэтому это уравнение называютуравнение частот (вековое, характеристическое)Каждому корню λ этого уравнения соответствует частное решениеуказанного выше вида (при произвольном√ α) системыдифференциальных уравнений, при ω = λ.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.11 / 21Свойство корней λ уравнения частот выражаетТеорема. Корни уравнения частот λ – вещественны и положительны.Доказательство.Пусть λ – комплексный корень, т.е. решение (корень) уравнения частотdet(C − λA) = 0Тогда ему соответствует комплексный, вообще говоря, вектор ū,определяемый из уравнения:(C − λA)ū = 0В таком случае, λ – комплексно сопряжённый, также является корнемуравнения частот, что легко понять взяв сопряжение от уравнениячастот и учесть, что A и C являются вещественными матрицами:det(C − λA) = det(C − λA) = det(C − λA) = 0Соответствующий λ амплитудный вектор является ū – сопряжённый ū(также получающийся из сопряжения системы уравнений ивещественности A и C):(C − λA)ū = (C − λA)ū = 0Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.12 / 21Умножая уравнение (C − λA)ū = 0 скалярно на ū, а уравнение(C − λA)ū = 0 на ū, получим систему двух скалярных уравнений:(C − λA)ū · ū = 0,(C − λA)ū · ū = 0C ū · ūC ū · ū,λ=Aū · ūAū · ūВ силу симметрии матриц справедливы перестановочные равенства:nnXXC ū · v̄ =cσρ uσ vρ =cρσ vρ uσ = C v̄ · ūиAū·v̄ = Av̄·ūоткуда имеем:σ,ρ=1λ=ρ,σ=1Поэтому правые части последних выражений для λ и λ равны,следовательно λ = λ, т.е.
λ – вещественный.Теперь для вещественного λ система определяет только вещественныйамплитудный вектор ū (может быть так выбран). Тогда из выраженияC ū · ūвыше: λ =(с учётом ū = ū) и положительной определённостиAū · ūnnXXквадратичных формaσρ uσ uρ > 0,cσρ uσ uρ > 0 следует, чтоσ,ρ=1σ,ρ=1¥λ > 0 – положительность этого корня.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.13 / 21Таким образом, уравнение частот имеет n корней: λ1 , . .
. , λn .Каждому корню λσ соответствует действительная положительная√частота ωσ = λσ , — собственная частота системы,и действительный амплитудный вектор ūσ , определяемыйсистемой(C − λσ A)ūσ = 0т.е. тем самым определяется частное решение исходной системыуравнений малых колебаний (A¨q̄ + C q̄ = 0):q̄ σ = ūσ sin(ωσ t + ασ )Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.14 / 21Далее рассмотрим сначала случай, когда все корни λσ уравнениячастот – различные: λσ 6= λρ , ∀ σ 6= ρ (тогда различны и ūσ ).Т.к. исходная система дифференциальных уравнений движения –линейная, то линейная комбинация её частных решений спостоянными коэффициентами Cσ – является решением системы:q̄ =nXCσ ūσ sin(ωσ t + ασ )σ=1⇔q̄ =nXCσ q̄ σ(∗)σ=1при произвольных постоянных Cσ и ασ является решениемисходной системы. Покажем, что эта формулаохватывает все движения системы, т.е. является общим решением.Т.е.
удовлетворяет не только дифференциальным уравнениямдвижения, что мы уже показали, но и любым начальнымусловиям (т.е. Cσ и ασ (σ = 1, . . . , n) можно так выбрать).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.15 / 21Предварительно установим следующее свойство:Свойство 1.Aūσ ūρ = 0,σ 6= ρбилинейная форма с матрицей A для различных амплитудныхвекторов обращается в ноль.Действительно, имеем для различных σ 6= ρ, т.е.
по предположениюλσ 6= λρ , равенства:(C − λσ A)ūσ = 0 | · ūρC ūσ · ūρ = λσ Aūσ · ūρ⇒(C − λρ A)ūρ = 0 | · ūσC ūρ · ūσ = λρ Aūρ · ūσУчитывая доказанное ранее свойство симметричных матриц онезависимости соответствующих им билинейных форм от порядкаумножения векторов:Aū · v̄ = Av̄ · ū,C ū · v̄ = C v̄ · ūПосле вычитания имеем:(λσ − λρ )Aūσ · ūρ = 0откуда в виду λσ 6= λρ получим требуемое свойство.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.¥16 / 21Замечание: билинейная форма – если ū, v̄ – разные: Aū · v̄квадратичная форма – если ū, ū – одинаковые: Aū · ūСвойство 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
