1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Теперь покажем, что в рассматриваемом случае,когда корни уравнения частот различные, n амплитудных векторовūσ – линейно независимы.Действительно, пусть b̄ =nPσ=1Bσ ūσ = 0Покажем что тогда все коэффициенты Bσ = 0 (σ = 1, . . . , n)При любом фиксированном ρ будем иметь:Ã n!nXXBσ ūσ =Aūρ ·b̄ = 0 ⇒ Aūρ ·Bσ Aūρ ·ūσ = Bρ Aūρ ·ūρ = 0σ=1σ=1Но квадратичная форма Aūρ · ūρ > 0, значит Bρ = 0 для всякого ρ.Что доказывает независимость ūσ и соответствующих им решенийq̄ σ = ūσ sin(ωσ t + ασ )Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 14¥Новосибирск, 2018 г.17 / 21Найдём теперь в формуле (∗) значения 2n произвольных постоянныхCσ и ασ (σ = 1, . . . , n) так, чтобы удовлетворялись произвольныенаперёд заданные начальные условияqσ (0) = qσ0 ,q̇σ (0) = q̇σ0(σ = 1, . . . , n)Из формулы (∗) находим:nXCσ sin ασ ūσq̄ 0 =q̄˙ 0 =σ=1⇔nXq̄(0) = q̄ 0 ,˙q̄(0)= q̄˙ 0Cσ ωσ cos ασ ūσσ=1В силу линейной независимости ūσ из данной системы алгебраическихлинейных уравнений однозначно определяются произведения Cσ sin ασи Cσ ωσ cos ασ , а следовательно, т.к. ωσ 6= 0, однозначно определяетсяCσ и ασ (ασ определяется с точностью до слагаемого, кратного 2π).Таким образом, при отсутствии в уравнении частот кратных корней,формула (∗) охватывает все движения систем, которые представляютсобой малые колебания.
В случае, когда уравнение частот имееткратные (одинаковые) корни, оказывается возможным также найти nнезависимых решений в виде колебаний: ūσ sin(ωσ t + ασ ) ипредставить общее решение системы в форме (∗).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.18 / 21Замечание: Частоты ωσ – не зависят от начальных данных иполностью определяются матрицами A и C, т.е. свойствами системы.Это свойство собственных частот малых колебаний называется— изохронность.В заключение отметим, что колебания вида q̄ σ = Cσ ūσ sin(ωσ t + ασ ),из которых складывается произвольное колебание системы называютсяq̄ σ = Cσ ūσ sin(ωσ t + ασ ) — главные колебанияВектор ūσ — амплитудный вектор σ-го главного колебания.Т.е. в σ-ом главном колебании все обобщённые координаты совершаютгармоничные колебания с одной и той же частотой ωσ ! Отношениеамплитуд колебаний отдельных обобщённых координат определяетсяотношением соответствующих компонент амплитудных векторов.Решение (∗) иногда удобнее представить в другом, альтернативномвиде (без начальных фаз ασ , но с косинусами и синусами):q̄ =nX³´ūσ Cσ(s) sin(ωσ t) + Cσ(c) cos(ωσ t)σ=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.19 / 21Отметим, что если в n-мерном координатном пространстве {q1 , . . . , qn }ввести A-метрику (евклидову структуру при помощи удвоеннойкинетической энергии 2T ) — под квадратом длины вектора ūпонимать величину квадратичной формыAū · ū =nXaσρ uσ uρσ,ρ=1т.е. принять за скалярное произведение векторов ū и v̄ величинуnX(Aū, v̄) =aσρ uσ vρ – билинейную форму, где A – положительноσ,ρ=1определённая матрица, т.е. квадратичная форма всегда положительна:nX(Aū, ū) =aσρ uσ uρ > 0,σ,ρ=1тогда равенство Aūσ ūρ = 0 выражает собой свойствоортогональности амплитудных векторов, соответствующих различнымкорням уравнения частот, в A-метрике.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.20 / 21Учитывая однородность уравнений для определения амплитудныхвекторов (C − λσ A)ūσ = 0, умножение на скаляр которого,ничего не меняет, замечаем, что амплитудные вектора ūσопределяются с точностью до постоянного множителя. А этотмножитель, в свою очередь, можно подобрать так, чтобы½0, σ 6= ρ(Aūσ , ūσ ) = 1, т.е. (Aūσ , ūρ ) = δσρ =1, σ = ρгде δσρ – символ Кронекера.
Таким образом, можно сделатьамплитудные вектора ūσ — ортонормированными в A-метрике.Замечание: В силу свойства C ū · v̄ = λAū · v̄, одновременно сравенством Aūσ ūρ = 0 имеет место и равенствоC ūσ ūρ = 0(σ 6= ρ)т.е. ортогональность амплитудных векторов в C-метрике.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 14Новосибирск, 2018 г.21 / 21ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 15НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫВЛИЯНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ИДИССИПАТИВНЫХ ВНЕШНИХ СИЛ НАКОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.1 / 24Составление общего решения системы дифференциальных уравнений малыхколебанийA ¨q̄ +C q̄ = 0(A, C – постоянные матрицы)не зависящего от наличия кратных корней уравнения частотdet(C − λA) = 0основывается на приведении квадратичных форм к сумме квадратов.Из линейной алгебры известно, что две квадратичные формыnnXXAq̄ · q̄ =aσρ qσ qρ ,C q̄ · q̄ =cσρ qσ qρσ,ρ=1σ,ρ=1из которых хотя бы одна, например Aq̄ · q̄, является положительноопределенной (у нас они обе положительно определены), всегда можнонеособенным (невырожденным) преобразованием (заменой) переменныхq̄ = U θ̄ =nXūσ θσ⇔qρ =σ=1det U = det{ū1 , .
. . , ūn } 6= 0,привести к сумме квадратов:nXuρσ θσθ̄ = (θ1 , . . . , θn ) − новые переменныеAq̄ · q̄ =nXσ=1Батяев Е. А. (НГУ)(ρ = 1, . . . , n)σ=1ЛЕКЦИЯ 15θσ2 ,C q̄ · q̄ =nXλσ θσ2σ=1Новосибирск, 2018 г.2 / 24Aq̄ · q̄ =nXθσ2 ,C q̄ · q̄ =σ=1nXλσ θσ2σ=1Причем во второй сумме λσ – это корни уравнения частот. В самом деле:nX∗Aq̄ · q̄ = AU θ̄ · U θ̄ = U AU θ̄ · θ̄ =θσ2⇒U ∗AU = I = diag{1}C q̄ · q̄ = CU θ̄ · U θ̄ = U ∗CU θ̄ · θ̄ =σ=1nXλσ θσ2⇒U ∗CU = diag{λσ }σ=1U ∗ – сопряженная к U матрица (в R сопряжение = транспонированию).
Тогдаdet(U ∗CU − λU ∗AU ) = det(diag{λσ } − λI) = det(diag{λσ − λ}) =nY(λσ − λ)σ=1с другой стороныdet(U ∗CU − λU ∗AU ) = det(U ∗(C − λA)U ) = det U ∗ · det(C − λA) · det UУчитывая, что det U 6= 0 и det U ∗ 6= 0, имеемnYdet(C − λA) =(λσ − λ) = 0σ=1Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.3 / 24Поэтому величины λσ , с точностью до порядка следования, являютсякорнями уравнения частот и однозначно определяются исходнымиквадратичными формами, т.е. не зависят от выбора заменыпеременных q̄ = U θ̄. Причем, как мы показывали, все λσ как корниуравнения частот – вещественны и положительны.Относительно векторов ūσ , из которых в виде столбцов составленаматрица преобразования U , можно сказать, что они – линейнонезависимы, поскольку соответствующий определитель отличен отнуля: det U = det kuσρ knσ,ρ=1 6= 0. Более того, оказывается ониортонормированы в A-метрике:Aūσ · ūρ = δσρ(∀ σ, ρ = 1, .
. . , n)В самом деле:ÃAq̄ · q̄ = AnXσ=1Батяев Е. А. (НГУ)! nnnXXXūσ θσ ·ūρ θρ =Aūσ · ūρ · θσ θρ =θσ2ρ=1σ,ρ=1ЛЕКЦИЯ 15σ=1Новосибирск, 2018 г.4 / 24Нормальные (главные) координатыВернемся к преобразованию. Поскольку оно линейное, то обобщённыескорости q̄˙ и θ̄˙ будут связаны аналогичным соотношением:nX˙q̄ = U θ̄˙ =ūσ θ̇σÃпоэтому в первой из формσ=1nXAq̄ · q̄ =!θσ2можно заменить q̄ и θσ ,σ=1соответственно на q̄˙ и θ̇σ . В результате получим следующие выражениядля кинетической и потенциальной энергий в новых переменных:nn11X 2T = Aq̄˙ · q̄˙ =θ̇σ2211XΠ = C q̄ · q̄ =λσ θσ222σ=1σ=1Обобщённые координаты (переменные) θσ называются —нормальными или главными координатами,в которых T и Π принимают канонический вид.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.5 / 24Используя эти простые выражения для T и Π составим уравненияЛагранжа в нормальных координатах:∂T∂Πd ∂T−=−dt ∂ θ̇σ∂θσ∂θσ⇒θ̈σ + λσ θσ = 0(σ = 1, .
. . , n)таким образом каждое уравнение содержит только одну неизвестнуюфункцию, т.е. система дифференциальных уравнений малыхколебаний в нормальных координатах распадается на отдельныенезависимые уравнения (не связанные друг с другом), чтосущественно облегчает интегрирование этой системы.Т.к. все λσ положительны, то общее решение каждого уравненияописывают гармонические колебания (осцилятора):θσ = Cσ sin(ωσ t + ασ )(σ = 1, . . . , n)√где ωσ = λσ – собственные частоты колебаний.Cσ , ασ – произвольные постоянные.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.6 / 24Подставляя эти выражения в исходную формулу преобразованиякоординат, получим общую формулу решения:nnXXq̄ =ūσ θσ =Cσ ūσ sin(ωσ t + ασ )σ=1σ=1совпадающую с формулой, установленной ранее из других соображений(при различных λσ ).
Причём вектор-столбцы ūσ из матрицыпреобразования U выполняют роль амплитудных векторов,определяемых из системы линейных алгебраических уравнений(C − λσ A)ūσ = 0(σ = 1, . . . , n)получаемых после подстановки решения в виде q̄ = U θ̄ =nXūσ θσσ=1в исходные дифференциальные уравнения малых колебаний:nnnXXXūσ θσ =[Aūσ (−λσ θσ ) + C ūσ θσ ] =A¨q̄ + C q̄ = Aūσ θ̈σ + C=nXσ=1[C − λσ A] ūσ θσ = 0,σ=1σ=1с учётом независимости θσ друг от друга.σ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.7 / 24Таким образом, установлено, что формулаq̄ =nXCσ ūσ sin(ωσ t + ασ )σ=1определяет решение дифференциальных уравнений малых колебаний,и охватывает случай простых и кратных корней уравнения частот.При переходе к нормальным координатам и получении этой формулыслучай кратных корней особо не выделяется.
Если какой-то кореньповторяется p раз, то всегда можно найти p линейно независимыхвекторов ūσ из указанной системы уравнений. Амплитудные векторыиз этой системы находятся с точностью до произвольного множителя,а его выбор можно осуществлять, например, из условия нормировкиAūσ · ūσ = 1(σ = 1, . . . , n)В заключение отметим, что упоминавшиеся ранее главные колебаниясистемы q̄ σ = Cσ ūσ sin(ωσ t + ασ ) представляют собою, очевидно,колебание, соответствующее изменению только одной главной (илинормальной) координаты θσ .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.8 / 24Колебания консервативной системыпод влиянием внешних периодических силПериодические внешние силы могут существенно изменять колебанияконсервативной системы в окрестности устойчивого положенияравновесия, которые оно совершало под действием одних толькопотенциальных сил, и служить источником возникновения такихэффектов как резонанс, биения и т.д. (биения - когда максимальноеколебание переходит от одной части системы к другой и обратно, т.е.происходит обмен энергией).µ¶∂ΠПусть на консервативную систему кроме потенциальных сил −∂qσдействуют также возмущающие внешние силы Qσ (t), периодически2πизменяющиеся со временем с периодом τ =, где Ω – частота силы:ΩQσ (t + τ ) = Qσ (t)(σ = 1, . . .
, n)Эти возмущающие силы обусловлены действием какого-либо внешнегопо отношению к системе, периодически изменяющегося фактора.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.9 / 24Влияние этих сил на колебания системы вблизи устойчивого положенияравновесия удобно исследовать, если воспользоваться главнымикоординатами θ1 , . . . , θn , введенными вышеnnXXq̄ = U θ̄ =ūσ θσто естьqρ =uρσ θσ(ρ = 1, . . . , n)σ=1σ=1Силам Qρ (t), соответствующим обобщённым координатам qρ , отвечаютобобщённые силы Θσ (t) для главных координат θσ . Для определениявеличин Θσ (t) приравняем выражение для элементарной работы этих сил вкоординатах qρ и θσ :δA =nXQρ δqρ =ρ=1nXΘσ δθσσ=1Согласно замене переменных имеем связь между вариациями координат:nXδqρ =uρσ δθσ(ρ = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
