1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 20
Текст из файла (страница 20)
, qn .Рассмотрим общий случай, когда у системыпервые m координат – позиционные: qi (i = 1, . . . , m),остальные n − m координат – циклические: qα (α = m + 1, . . . , n), т.е.которые не входят явно в выражения потенциальной и кинетической энергий:Π = Π(t, q1 , . . . , qm ),T = T2 =n1 Xaσρ (q1 , . . . , qm )q̇σ q̇ρ2 σ,ρ=1Найдём выражение для кинетической энергии в переменных Рауса:{t, qi , q̇i , pα } (qα – явно не входят никуда).Для этого выразим все q̇α через pα используя исходные соотношения:pα =mnXX∂L∂T==aαi q̇i +aαβ q̇β∂ q̇α∂ q̇αi=1β=m+1ndet kaαβ kα,β=m+1Напомним, что определитель6= 0 т.к.
полная матрицакоэффициентов kaσρ knσ,ρ=1 является невырожденной, симметрической ипорождает положительно-определенную квадратичную форму, поэтому изкритерия Сильвестра и следует это свойство.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2018 г.2 / 21Тогда из данного соотношения выражаем:Ã!nmXXq̇α =bαβ pβ −aβi q̇ii=1β=m+1гдеnkbαβ kα,β=m+1n– обратная матрица для kaαβ kα,β=m+1 , причём bαβ = bβα .ОбозначаяnXbαβ aβi = γαiβ=m+1перепишем полученное соотношение в виде:nmXXbαβ pβ −γαi q̇iq̇α =β=m+1(1)i=1при этом все коэффициенты bαβ и γαi здесь являются функциями толькопозиционных координат: bαβ = bαβ (q1 , .
. . , qm ), γαi = γαi (q1 , . . . , qm ).Подставляя полученное выражение для q̇α в исходную формулу T , получимвыражение кинетической энергии в переменных Рауса, так называемое«союзное» выражение для T , которую обозначим Tb:mnmnXX1 X ∗1 X∗bT =a q̇i q̇j +aαβ pα pβ +a∗iα q̇i pα2 i,j=1 ij2α=m+1i=1α,β=m+1Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2018 г.3 / 21Замечательным является то обстоятельство (на него обратил внимание ещеРаус), что в этой формуле все a∗iα = 0 (i = 1, . . . , m; α = m + 1, . . . , n).Действительно:nn2bXX∂∂T∂q̇∂∂Tβ=pβ · bβα = 0a∗iα ==∂ q̇i ∂pα∂ q̇i∂ q̇β ∂pα∂ q̇iβ=m+1β=m+1– т.к. bαβ – зависят только от позиционных координат qi (i = 1, . . . , m), апеременные Рауса {t, qi , q̇i , pα } – рассматриваются как независимыеотносительно друг друга.
Следовательно, выражение Tb является суммойквадратичной формы относительно позиционных скоростей q̇1 , . . . , q̇m иквадратичной формы относительно обобщенных циклических импульсовpm+1 , . . . , pn . Вычислим еще коэффициенты a∗αβ :a∗αβ =nnXX∂∂T ∂ q̇γ∂∂ 2 Tb==pγ · bγβ = bαβ∂pα ∂pβ∂pα γ=m+1 ∂ q̇γ ∂pβ∂pα γ=m+1Таким образом, имеем следующее выражение для кинетической энергии Tb:m1 X ∗1Tb =a q̇i q̇j +2 i,j=1 ij2Батяев Е. А.
(НГУ)nXbαβ pα pβ(2)α,β=m+1ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2018 г.4 / 21Коэффициенты a∗ij – вычисляются просто, но несколько громоздко.Мы просто будем помнить, что они получаются из обычного выражениякинетической энергии после перехода к переменным Рауса как коэффициентыпри произведениях позиционных скоростей q̇i и q̇j (i, j = 1, . . . , m).Отметим еще раз, что все коэффициенты в (2) являются функциями толькопозиционных координат qi .
Причём Tb явно от времени не зависит.Определим теперь функцию Рауса, пользуясь (1) и учитывая, что впеременных Рауса L(t, qi , q̇i , pα ) = Tb(t, qi , q̇i , pα ) − Π(t, qi ):mnnnXXXXbαβ pβ −γαi q̇i−Tb+Π =R = R(t, qi , q̇i , pα ) =pα q̇α −L =pα α=m+1=nXmXbαβ pα pβ −α,β=m+1i=1ÃnX!γαi pα q̇i −α=m+1m1 X ∗1=−a q̇i q̇j +2 i,j=1 ij2Батяев Е. А.
(НГУ)α=m+1nXi=1β=m+1m1 X ∗1aij q̇i q̇j −2 i,j=12bαβ pα pβ + Π −α,β=m+1ЛЕКЦИЯ 13mXi=1ÃnXbαβ pα pβ +Π =α,β=m+1nX!γαi pαq̇iα=m+1Новосибирск, 2018 г.5 / 21Для дальнейшего будет удобнее использование функции −R, которое сточки зрения уравнений Рауса для позиционных координат:d ∂R ∂R−=0(i = 1, . . . , m)dt ∂ q̇i∂qiимеющих вид лагранжевых уравнений ничего не меняет из-за их однородности(функция −R здесь выступает как функция Лагранжа L).Причём эти уравнения, с учётом постоянства циклических импульсов:pα = p0α = const(α = m + 1, . . . , n)образуют автономную систему, т.е. которая не зависит от каких-то другихдополнительных неизвестных функций.Введём обозначения:T∗ =Π∗ = Π +12nXbαβ pα pβm1 X ∗a q̇i q̇j2 i,j=1 ij−α,β=m+1V ∗ = Π∗ −mXa∗i q̇iгде a∗i =nXγαi pαα=m+1i=1Батяев Е.
А. (НГУ)потенциал Рауса(приведённый потенциал)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2018 г.6 / 21Тогда получим следующее выражение для функции Рауса:−R = T ∗ − V ∗ ,после подстановки которого в автономные уравнения Рауса для позиционныхкоординат получим:∂T ∗d ∂V ∗∂V ∗d ∂T ∗−=−dt ∂ q̇i∂qidt ∂ q̇i∂qi(i = 1, . . . , m)т.е. фактически полученные уравнения позволяют определять изменениеобобщенных координат qi (t) для некоторой новой вспомогательнойнатуральной склерономной системы с m степенями свободы (т.е. у которойнет циклических координат) имеющей кинетическую энергию T ∗ иобобщенный потенциал V ∗ , а потенциальной энергией этой системыявляется потенциал Рауса Π∗ . При этом нетрудно убедиться, что полныемеханические энергии исходной системы и вспомогательной совпадают:E = T + Π = Tb + Π =Батяев Е.
А. (НГУ)m11 X ∗a q̇i q̇j +2 i,j=1 ij2ЛЕКЦИЯ 13nXbαβ pα pβ + Π = T ∗ + Π∗α,β=m+1Новосибирск, 2018 г.7 / 21Полученную вспомогательную систему будем называть – приведённой.Когда функции qi (t) (i = 1, . . . , m), определяющие движение приведённойсистемы, найдены, то изменение со временем циклических координат qα (t)определяется из уравнений Гамильтона или из (1) (α = m + 1, . .
. , n):mnmXXdqα∂R∂∂Π∗ X0= 0 = 0 (V ∗ − T ∗ ) =−γq̇=bp−γαi q̇iαiiαββdt∂pα∂pα∂p0αi=1i=1β=m+1∗при помощи квадратур, т.е. через интегралы (T и Π от p0α – не зависят).Обозначим по аналогии с ранее рассмотренными случаями:V1∗=−mXa∗i q̇ii=1– часть обобщенного потенциала – линейная относительно обобщенныхскоростей. ТогдаV ∗ = Π∗ + V1∗а уравнения Лагранжа для приведённой системы перепишутся в виде(учитывая, что Π∗ не зависит от обобщенных скоростей q˙i ):µ¶d ∂T ∗∂T ∗∂Π∗d ∂V1∗∂V1∗−=−+−(i = 1, .
. . , m)dt ∂ q̇i∂qi∂qidt ∂ q̇i∂qiБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2018 г.8 / 21Выясним физическую сущность последнего слагаемого – подставляя V1∗m∗X∂a∂V1∗dd ∂V1∗j−= (−a∗i ) − −q̇j =dt ∂ q̇i∂qidt∂qij=1=−mX∂a∗ij=1Обозначая:∂qjq̇j +mX∂a∗jj=1∂qiq̇j =m µX∂a∗jj=1∂a∗− i∂qi∂qj¶q̇j∂a∗j∂a∗∗− i = γijполучим∂qi∂qjmXd ∂V1∗∂V1∗∗−=γijq̇jdt ∂ q̇i∂qij=1Нетрудно видеть, что в ведённых обозначениях∗∗γij= −γji(i, j = 1, . . . , m)что в свою очередь является критерием гироскопических сил.Т.е.
выражение в скобках приводит к появлению гироскопических сил,линейных относительно позиционных скоростей.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2018 г.9 / 21Если выражение кинетической энергии T не содержит смешанныхпроизведений позиционных скоростей q̇i и циклических скоростей q̇α , т.е.если коэффициенты aαi = 0 (∀ α, i; i = 1, . . . , m, α = m + 1, .
. . , n) тогдаγαi =nXbαβ aβi = 0⇒a∗i =nXγαi pα = 0⇒V1∗ = −α=m+1β=m+1mXa∗i q̇i = 0i=1и гироскопические силы в приведённой системе не возникают.В этом случае исходная рассматриваемая система называетсягироскопически несвязанной. Таким образом, если исходнаясистема является гироскопически несвязанной, тогда V ∗ = Π∗ и приведённаясистема имеет обычный потенциал Π∗ (t, qi , pα ). Иными словами, в случаегироскопически несвязанной системы часть кинетической энергии исходнойсистемы переходит в потенциальную энергию приведённой системы:1Tb = T ∗ +2nXbαβ (qi )pα pβ−→α,β=m+1Π∗ = Π +12nXbαβ (qi )pα pβα,β=m+1Все вышесказанное относится и к консервативным системам, у которых∂Π/∂t = 0, т.е.
Π = Π(qi ). Тогда понятно, что если исходная системаявляется консервативной и гироскопически несвязанной, то приведённаясистема также будет консервативной.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2018 г.10 / 21Стационарным движением исходной консервативной системы сциклическими координатами – называют такие ее движения, при которыхвсе позиционные координаты – сохраняют постоянные значения:qi = qi0(i = 1, . . . , m)В таком случае T ∗ = 0 и V1∗ = 0 т.к. q̇i = 0, откуда следует, что стационарныедвижения существуют в том и только в том случае, когда соответствующиеим значения позиционных координат удовлетворяют уравнениям:∂Π∗ (qj0 )=0∂qi(i = 1, . .
. , m)т.е. стационарные движения исходной консервативной системы отвечаютположениям равновесия приведённой, также консервативной системы.Нетрудно установить, что в случае стационарного движения консервативнойсистемы• позиционные импульсы – постоянные (как и циклические),• циклические скорости – постоянны.Наиболее наглядно это продемонстрировать можно используя уравненияГамильтона:Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2018 г.11 / 21∂Hdqσ=,dt∂pσdpσ∂H=−dt∂qσ(σ = 1, . . . , n)где H = H(qi , pi , pα ) – полная энергия системы (функция Гамильтона),причем H имеет следующий вид:H = Tb + Π =n1 Xcσρ (q1 , . . . , qm )pσ pρ + Π(q1 , . . . , qm )2 σ,ρ=1где первое слагаемое – выраженная через импульсы кинетическая энергия:T =nnnXX∂T1 Xaσρ (q1 , . .
. , qm )q̇σ q̇ρ → pσ ==aσρ q̇ρ → q̇σ =bσρ pρ2 σ,ρ=1∂ q̇σρ=1ρ=1⇒Ã!nnnXXX1Tb =aσρ bσρ0 pρ0 bρσ0 pσ02 σ,ρ=100ρ =1σ =1Понятно, что эта квадратичная форма является симметрической (cσρ = cρσ ) иположительно определенной, поскольку выражается из кинетической энергии.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2018 г.12 / 21Тогда первые m уравнений для позиционных скоростей (при стационарномдвижении q˙i = 0) имеют вид:nmXXdqi=0=cij (qk0 )pj +ciα (qk0 )pαdtα=m+1j=1(i = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
