1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 17
Текст из файла (страница 17)
. , qn )=0∂qσпри qσ = qσ∗(σ = 1, . . . , n)где Π = Π(q1 , . . . , qn ) – потенциальная энергия системы, котораяв случае консервативной системы не зависит явно от времени.Т.е. в положении равновесия q1∗ , . . . , qn∗потенциальная энергия достигает экстремума.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.2 / 21Без нарушения общности будем считать, что рассматриваемоеположение равновесия находится в начале координат, т.е. qσ∗ = 0(σ = 1, . .
. , n), является заданным положением равновесия,определяемым из системы уравнений∂Π(0, . . . , 0)=0(σ = 1, . . . , n)∂qσ(может быть несколько решений этой системы, т.е. положенийравновесия). Тогда координаты любого другого положения системыq1 , . . . , qn характеризуют отклонения этого положения от положенияравновесия и потому сами называются — отклонения системы.Если же рассматриваемое положение равновесия не в началекоординат – сдвинем начало в положение равновесия.Если систему вывести из положения равновесия, сообщив её точкамкакие-то малые начальные отклонения от положений равновесия ималые начальные скорости, то в последующем движении точкисистемы, либо всё время остаются вблизи положений равновесия,либо удаляются от этих положений.
В первом случае положениеравновесия будет устойчивым, а во втором – неустойчивым.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.3 / 21Дадим строгое определение устойчивости положения равновесия.Положение равновесия q1 = . . . = qn = 0 (или состояниеравновесия qσ = q̇σ = 0) называется — устойчивым, если придостаточно малых начальных отклонениях qσ0 = qσ (t0 ) идостаточно малых начальных скоростях q̇σ0 = q̇σ (t0 ) в начальныймомент времени t0 , система за всё время движения, не выходитиз пределов сколь угодно малой (заданной наперёд!) окрестностиположения равновесия, имея при этом сколь угодно малыескорости q̇σ (σ = 1, .
. . , n). Иными словами для любого числаε > 0 можно указать такое число δ > 0 (т.е. δ = δ(ε)), что длявсех моментов времени t > t0 выполняются неравенства:|qσ (t)| < ε,|q̇σ (t)| < ε(σ = 1, . . . , n)(∗)при условии, что в начальный момент t = t0 :|qσ0 | < δ,Батяев Е. А. (НГУ)|q̇σ0 | < δЛЕКЦИЯ 11(σ = 1, .
. . , n)Новосибирск, 2018 г.(∗∗)4 / 21Определение удобно геометрическиинтерпретировать в 2n-мерномпространстве состояний {qσ , q̇σ }На рисунке для случаяn = 1 изображены 2 окрестностиначала координат, задаваемыенеравенствами (∗)-(∗∗). В случаеустойчивого состояния равновесиялюбое движение, начинающеесяв момент t0 внутри квадратасо стороной 2δ, будет происходить всёвремя внутри квадрата со стороной 2ε.∀ε>0 ∃δ>0 :если |qσ (t0 )| < δ, |q̇σ (t0 )| < δ⇒ |qσ (t)| < ε, |q̇σ (t)| < ε ∀ t > t0Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.5 / 21Примеры1. Тяжёлый шарик может двигаться по ободу,имеющему форму окружности и расположенномув вертикальной плоскости . Имеются 2 положенияравновесия: наинизшая и наивысшая точкиокружности. Из них первое представляетсобой устойчивое, второе – неустойчивоеположение равновесия – это очевидно.cq2.
Линейный осцилятор – груз массы m на пружине жёсткости c,двигается по горизонтальной прямой q.mcT = q̇ 2 , Π = q 2 , дифференциальное уравнениe движения:22q̇0mq̈ + cq = 0 имеет решение q = q0 cos ωt − sin ωt (начальныйωмомент времени t0 = 0). Поэтому положение равновесия устойчиво:1|q(t)| 6 |q0 | + |q̇0 | < ε, |q̇(t)| 6 ω|q0 | + |q̇0 | < ε для любого t,³ ε ωε ´ω.если только |q0 | < δ, |q̇0 | < δ, где, например δ = min,2ω 2Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.6 / 21В последнем примере устойчивость положения равновесияустанавливалась с помощью конечных уравнений, полученных путёминтегрирования дифференциальных уравнений движения.Эти уравнения движения дали нам зависимость отклонений q иобобщённых скоростей q̇ от времени t и начальных данных q0 , q̇0 .В более сложных (например в нелинейных) задачах определение такихконечных уравнений движения и их исследование весьма затруднительно.Поэтому представляют интерес такие критерии устойчивостиположения равновесия, которые не требуют предварительногоинтегрирования дифференциальных уравнений движения системы.Ещё Торричелли (1644 год) было известно, что положение системытел, находящихся под действием сил тяжести, будет устойчивым, еслицентр тяжести этой системы занимает наинизшее из возможныхположений.
Лагранж обобщил этот принцип Торричелли на случайпроизвольных потенциальных сил и установил следующий критерийустойчивости положения равновесия консервативной системы.На самом деле это достаточное условие устойчивости (не необходимое).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.7 / 21Теорема Лагранжа. Если в положении равновесияконсервативной системы её потенциальная энергия имеет строгийлокальный минимум, то это положение равновесия устойчиво.Замечание: иногда фразу «локальный» заменяют на«изолированный», т.е.
считается, что в окрестности рассматриваемогоположения равновесия нет других положений равновесия.Доказательство.1. Как уже отмечалось, без ограничения общности, можем считать,что рассматриваемое положение равновесия находится в началекоординат, т.е. все обобщённые координаты равны нулю:q1 = . . . = qn = 02. В силу того, что потенциальная энергия Π(q1 , . . . , qn ) определяетсяс точностью до произвольной аддитивной постоянной (до постоянногослагаемого) примемΠ(0, . .
. , 0) = 0,т.е. в положении равновесия потенциальная энергия тоже ноль(подберём эту константу должным образом).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.8 / 21Так как в положении равновесия, по условию теоремы, функцияΠ(q1 , . . . , qn ) имеет строгий локальный минимум, то в некоторойокрестности этого положения равновесия, определяемой числом ∆:|qσ | < ∆(σ = 1, .
. . , n)(1)выполняется строгое неравенство:Π(q1 , . . . , qn ) > Π(0, . . . , 0) = 0(2)если хотя бы одна из величин qσ – не равна нулю.Составим выражение для полной механической энергииконсервативной системы:n1 XE(q1 , . . . , qn , q̇1 , . . . , q̇n ) = T +Π = T2 +Π =aσρ q̇σ q̇ρ +Π(q1 , . . .
, qn )2σ,ρ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.9 / 21Как известно, квадратичная форма кинетической энергии T2 являетсяположительно-определённой функцией обобщённых скоростей, т.е.T = T2 > 0, если хотя бы одна из обобщённых скоростей q̇σ – не равнанулю. Тогда из (2) следует, что полная механическая энергияE = T + Π, при выполнении неравенства (1) строго положительна:E>0если только величины qσ , q̇σ (σ = 1, . . .
, n) не равны все одновременнонулю. А т.к. при qσ = q̇σ = 0 имеем E(0, 0) = 0, то функция E вначале координат 2n-мерного пространства состояний {qσ , q̇σ } имеетстрогий локальный минимум, равный нулю.Выберем теперь произвольно число ε, подчинив его лишьограничению 0 < ε < ∆, и рассмотрим значения полной энергииE(qσ , q̇σ ) на границе ε-окрестности, определяемой неравенствами:|qσ | < ε,Батяев Е. А. (НГУ)|q̇σ | < εЛЕКЦИЯ 11(σ = 1, . .
. , n)Новосибирск, 2018 г.10 / 21Поскольку эта граница представляетсобой замкнутое ограниченноемножество точек, то непрерывнаяфункция E достигает на этой границесвоего минимума(точной нижней грани) E ∗ .Т.к. на границе ε-окрестности всезначения E положительны,то положителен и минимум E ∗ .Таким образом, на границеε-окрестности имеем:E > E∗ > 0В силу того, что в начале координат qσ = q̇σ = 0 непрерывная функцияE имеет строгий локальный минимум, равный нулю (E(0, 0) = 0),следует что можно найти такое число δ (0 < δ 6 ε), что внутри этойδ-окрестности, где |qσ | < δ, |q̇σ | < δ, будет выполняться неравенство:E < E∗Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.11 / 21Пусть теперь функции qσ = qσ (t) удовлетворяют дифференциальнымуравнениям движения системы. Тогда, если начальные данныеудовлетворяют|qσ0 | < δ,|q̇σ0 | < δ(σ = 1, . . . , n)(∗∗)то во всё время движения выполняются неравенства|qσ (t)| < ε,|q̇σ (t)| < ε(σ = 1, . . . , n)(∗)Действительно, при условии (∗∗) начальная полная энергия равна E0и E0 < E ∗ , а т.к. при движении консервативной системы её полнаяэнергия постоянна, то при всех t > t0 имеем E = E0 < E ∗ . Поэтомупри движении системы, изображающая это движение точка впространстве состояний qσ (t), q̇σ (t) (σ = 1, . .
. , n) не может достигнутьграницы ε-окрестности (∗) поскольку на ней E > E ∗ , а, следовательно,всегда находится внутри этой границы, т.е. |qσ (t)| < ε, |q̇σ (t)| < ε. ¥Данную теорему, изложенную Лагранжем в его «Аналитическоймеханике», нередко связывают с именем (Лежена) Дирихле, которыйвпервые дал её полное и строгое доказательство.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.12 / 21Влияние гироскопических и диссипативныхсил на устойчивость равновесия.Замечание.
Предположим, что изучаемая механическаясистема – неконсервативна, но получается из консервативнойдобавлением гироскопических или диссипативных сил или и техи других вместе. Пусть им отвечают силы Q∗σ (qρ , q̇ρ ). Тогдамощность этих сил:∗N =nXQ∗σ q̇σ 6 0(|qσ | < ∆, |q̇σ | < ∆)σ=1Покажем, что обобщённые силы Q∗σ , удовлетворяющие этомунеравенству, обращаются в ноль, когда все обобщённые скоростиq̇σ равны нулю.Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
