1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. , n)(1)во-вторых, существует обобщённый интеграл энергии, т.е. функцияГамильтона (обобщенно-механическая энергия)H(q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) = h(2)где h – произвольная постоянная, определяемая начальнымиусловиямиh = H(q10 , . . . , qn0 , p01 , . . . , p0n )Отметим, что H явно от времени не зависит.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.2 / 18В 2n-мерном пространстве {q1 , .
. . , qn , p1 , . . . , pn }, которое называется —фазовое пространство, уравнение (2) задаёт гиперповерхность.Будем рассматривать только такие движения изображающей точки вфазовом пространстве, которые соответствуют этой гиперповерхности.Иначе говоря, рассмотрим движение системы на фиксированномизоэнергетическом уровне, определяемом уравнением (2)(т.е. только такие состояния системы, для которых величина H(qσ , pσ ) –обобщённо-механическая энергия – постоянна).Покажем, что движение системы на изоэнергетическом уровне описываетсясистемой дифференциальных уравнений, порядок которой равен (2n − 2),причём эта система опять-таки может быть записана в каноническом виде.Предположим, что в некоторой области фазового пространства (данногоизоэнергетического уровня) выполняется неравенство:∂H6= 0∂p1(p1 взято для удобства и не уменьшая общности).
Тогда в этой областиравенство (2) разрешимо относительно p1 :p1 = −K(q1 , . . . , qn , p2 , . . . , pn , h)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8(«−» взят для удобства)Новосибирск, 2018 г.(3)3 / 18Перепишем систему уравнений Гамильтона (1) отделив 2 уравнения,соответствующих значению σ = 1, от остальных (2n − 2) уравнений:∂Hdq1=,dt∂p1dp1∂H=−dt∂q1dqj∂Hdpj∂H=,=−(j = 2, . .
. , n)dt∂pjdt∂qjПоделив почленно уравнения для j = 2, . . . , n на первое уравнение получим:dqj∂H/∂pj=,dq1∂H/∂p1dpj∂H/∂qj=−dq1∂H/∂p1(j = 2, . . . , n)(4)Подставляя величину p1 , задаваемую равенством (3) в левую частьобобщённого интеграла энергии (2) – получим тождество:H(q1 , . . . , qn , −K(q1 , . . . , qn , p2 , . . .
, pn , h), p2 , . . . , pn ) ≡ h(5)Дифференцируя его по qj и pj имеем:dH∂H ∂H ∂K=−=0dqj∂qj ∂p1 ∂qj=⇒∂H∂H ∂K=∂qj∂p1 ∂qjБатяев Е. А. (НГУ)dH∂H ∂H ∂K=−=0dpj∂pj ∂p1 ∂pj∂H∂H ∂K=∂pj∂p1 ∂pjЛЕКЦИЯ 8(j = 2, . . . , n)(j = 2, . . . , n)Новосибирск, 2018 г.4 / 18подставляя в (4) окончательно получим:Уравнения Уиттекера∂Kdqj=,dq1∂pjdpj∂K=−dq1∂qj(j = 2, . .
. , n)(6)Уравнения (6) описывают движение системы при H = h = const.Они имеют форму канонических уравнений, где роль функции Гамильтона(H) играет функция K из (3), а роль времени – координата q1 .Система (6), состоящая из (2n − 2) уравнений – замкнута и её можноинтегрировать независимо от других уравнений.Проинтегрировав уравнения Уиттекера, найдём функции:qj = qj (q1 , h, c1 , . . . , c2n−2 ),pj = pj (q1 , h, c1 , .
. . , c2n−2 ) (j = 2, . . . , n) (7)где c1 , . . . , c2n−2 – произвольные постоянные интегрирования.Подставляя (7) в выражение для p1 = −K из (3) получим:p1 = p1 (q1 , h, c1 , . . . , c2n−2 )(8)Равенства (7) и (8) задают геометрический характер движения: ониопределяют уравнения траекторий в фазовом пространстве (точнее нагиперповерхности фазового пространства H = h).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.5 / 18Для нахождения закона движения вдоль траекторий, т.е. зависимостикоординаты от времени рассмотрим первое уравнение из гамильтоновойсистемы∂Hdq1=dt∂p1Используя тождество (5) дифференцируя его по h получим:µ¶µ¶−1∂H∂K∂H∂Kdq1dH=−=1⇒= −=dh∂p1∂h∂p1∂hdtТак как в функции ∂K/∂h все переменные выражаются через q1 из (7) и (8),то зависимость между координатой q1 и временем t устанавливается спомощью квадратуры (выражение в виде интеграла стандартных функций):Z∂Kt=−dq1 + c2n−1(9)∂hРазрешив (9) относительно q1 получим: q1 = q1 (t, h, c1 , .
. . , c2n−1 ).Зависимости (7)-(9) определяют уравнения движения системы.Таким образом, интегрирование гамильтоновой системы уравнений дляобобщённо-консервативной системы (благодаря существованию обобщённогоинтеграла энергии) свелось к интегрированию системы уравнений Уиттекера,имеющей такой же вид, но порядок на 2 единицы ниже, чем у исходной.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.6 / 18Уравнения Уиттекера имеют структуру уравнений Гамильтона. Их можнозаписать также и в форме уравнений Лагранжа II рода.В самом деле, уравнения Гамильтона мы получали при помощи теоремыd ∂L∂LДонкина из уравнений Лагранжа:−= 0 (σ = 1, . . . , n) вводяdt ∂ q̇σ∂qσ∂Lи при условии на гессиан L по q̇σ :обобщённые импульсы pσ =∂q̇σ°° 2° ∂ L °°det °° ∂ q̇σ ∂ q̇ρ ° 6= 0, тогда существовало обратное преобразование Лежандра:nP∂Hq̇σ =, где H(t, q, p) =pσ q̇σ − L(t, q, q̇). Но отсюда видно, что∂pσσ=1nPpσ q̇σ − H(t, q, p)=⇒ L(t, q, q̇) =σ=1и поэтому можно рассматривать теорему Донкина наоборот, т.е.
при∂Hналичии преобразования Лежандра q̇σ =и условия на гессиан H по pσ :∂pσ°° 2° ∂ H °∂L°det °° ∂pσ ∂pρ ° 6= 0, существует обратное преобразование: pσ = ∂ q̇σгде L – приведённая выше порождающая функция, для которых исправедливы уравнения Лагранжа II рода.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.7 / 18Сделаем подобные обратные рассуждения для уравнений Уиттекера с учётом,что роль времени t играет координата q1 и количество уравнений (2n − 2):∂Kдля лежандровского преобразования переменных qj0 =(j = 2, .
. . , n)∂pjу которогопорождающей функции K по pj отличен от нуля:° 2 гессиан°° ∂ K °n°det °6= 0, существует порождающая функция P , обратного° ∂pi ∂pj °i,j=2∂Pпреобразования переменных лежандровского типа pj = 0 , имеющая вид:∂qjP = P (q2 , . . . , qn , q20 , . . . qn0 , q1 , h) =nXqj0 pj − KФункция Якобиj=2dqj.
При помощи данной функции P уравненияdq1Уиттекера (6) могут быть записаны в следующей эквивалентной форме:где обозначено qj0 =∂Pd ∂P−=0dq1 ∂qj0∂qj(j = 2, . . . , n)Уравнения ЯкобиЭто уравнения типа Лагранжа, а их количество (n − 1).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.8 / 18Роль функции Лагранжа в уравнениях Якоби играет функция P , а рольвремени, как и в уравнениях Уиттекера (6) – координата q1 .Преобразуем выражение для функции P , учитывая чтоnXdq1H+L =pσ q̇σиp1 = −K(q1 , .
. . , qn , p2 , . . . , pn , h),q10 =≡1dq1σ=1P=nXj=2qj0 pj −K =nXqj0 pj +p1 =j=2nXqj0 pj =j=1⇒nXpjj=1P =n1 XH +Ldqj dt=pj q̇j =dt dq1q̇1 j=1q̇1H +Lq̇1Если система консервативна можно получить особенно простую форму для P .В таком случае L = T − Π, H = T + Π и справедлив закон сохраненияполной механической энергии T + Π = h, тогдаH + L = 2T = 2(h − Π)⇒P =2(h − Π)2T=q̇1q̇1Но в консервативной системе:nn1 X1 XT = T2 =aσρ q̇σ q̇ρ = q̇12aσρ qσ0 qρ0 = q̇12 G(q1 , . . . , qn , q20 , . . .
, qn0 ) ⇒2 σ,ρ=12 σ,ρ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.9 / 18r⇒q̇1 =T=Grh−ΠGгде G =n1 Xaσρ qσ0 qρ02σ,ρ=1Окончательно имеем выражение P для консервативной системы:pP = 2 G(h − Π)Интегрируя уравнения Якоби, находим функцииqσ = qσ (q1 , h, c1 , . . . , c2n−2 ) (σ = 2, . . . , n), которые определяют(2n − 1) - параметрическое семейство траекторий в n-мерномкоординатном пространстве. Закон движения изображающей точкивдоль траектории также устанавливается с помощью квадратуры из:dq1=dtrБатяев Е. А. (НГУ)h−ΠGZ r⇒t=ЛЕКЦИЯ 8Gdq1 + c2n−1h−ΠНовосибирск, 2018 г.10 / 18Системы с циклическими и позиционными координатамиНаряду с обобщённо-консервативными системами понизить порядоксистемы уравнений движения можно для другого класса систем – сциклическими координатами.
Обобщённая координата называется— циклическая – если она не входит явно в функцию Лагранжа L, и— позиционная – если она участвует в выражении этой функции.Значит для циклической координаты qα и для позиционной qσ имеем:∂L∂L= 0,6= 0∂qα∂qσПри выводе уравнений Гамильтона было установлено равенство:∂H∂L=−∂qα∂qαОтсюда ясно, что если координата qα – циклическая, то она не входитявно не только в функцию Лагранжа L, но и в функцию Гамильтона H(последнее может быть взято в качестве определения циклическойкоординаты, т.к. согласно свойству теоремы Донкина эти определения– эквивалентны).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.11 / 18Однако в этом случае соответствующее уравнение Гамильтона длясопряженного qα импульса — циклический импульсdpα∂H=−=0dt∂qαдаёт интеграл pα = const — циклический интеграл.Он выражает постоянство циклического импульса.Пусть у системы:q1 , .
. . , qmqm+1 , . . . , qn– позиционные координаты, m – штук,– циклические координаты, (n − m) – штук.Тогда гамильтоновы уравнения определяют (n − m) циклическихимпульсов:∂Hṗα = −=0⇒pα = cα = const(α = m + 1, . . . , n)∂qαЦиклические координаты не входят явно в функцию Гамильтона, асоответствующие (сопряженные) им импульсы (циклические) –постоянны, поэтому функция Гамильтона имеет в этом случае вид:H = H(t, q1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
