1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 11
Текст из файла (страница 11)
лагранжевы уравнения для совпадают и в этом случае.⇒Lσ (Φ) =Отмеченные особенности кинетического потенциала могут бытьиспользованы для упрощения составления лагранжевых уравнений.Именно, постоянный множитель или аддитивный член, являющийсяполной производной по времени от функции времени и координат,либо просто функцией времени в выражении функции Лагранжа могутотбрасываться без ущерба для уравнений Лагранжа.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.19 / 23Дополнение: ГИРОСКОППокажем, что силы, приложенные к вращающемуся гироскопу,совершающему регулярную прецессию, являются гироскопическими (откудаи происходит термин «гироскопические силы»).Гироскоп — это твёрдое тело, движущееся вокругj2 x3фиксированной в нём точки для которой эллипсоидx3инерции тела является эллипсоидом вращения.w1Т.е.
гироскоп – тело вращающееся вокругнеподвижной точки O тела, относительно которойw3x2 эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения.Ox2 Это означает, что главными осями инерции гироскопаx1для точки O являются ось этого эллипсоида вращенияx1(Oξ3 ) и любые две взаимно-перпендикулярные оси(Oξ1 и Oξ2 ), лежащие в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.При этом главные осевые моменты инерции гироскопа относительно двухпоследних осей равны (Jξ1 = Jξ2 ).
Тело у которого два главных осевыхмомента равны называют ещё динамически симметричным, а третью осьOξ3 называют осью динамической симметрии. Иначе говоря, гироскоп –это динамически симметричное тело, движущееся вокруг неподвижной втеле точки. Это, например, всем известный волчок или детская юла.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.20 / 23В дальнейшем, оси сопутствующейj2 x3системы координат Oξ1 ξ2 ξ3 , жестко связаннойx3с гироскопом, будем направлять по его главнымw1осям инерции для точки O. Положение системыкоординат Oξ1 ξ2 ξ3 относительно неподвижной Ox1 x2 x3w3x2определяется при помощи углов Эйлера: ϕ1 – уголOпрецессии, ϕ2 – угол нутации, ϕ3 – угол собственногоx2x1вращения, которые вводятся обычным образом.x1Движение твердого тела вокруг неподвижной точки,состоящее из его вращения вокруг оси Oξ3 , неизменно связанной с телом, идвижения, при котором эта ось вращается вокруг пересекающей её оси Ox3 ,неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, называют – прецессией.Угловая скорость вращения тела вокруг оси Oξ3 (ω̄ 3 ) называется – угловойскоростью собственного (чистого) вращения (ось Oξ3 – осьдинамической симметрии), а угловая скорость вращения оси Oξ3 вокруг Ox3(ω̄ 1 ) называется – угловой скоростью прецессии.Если движение тела такое, что оба вращения происходят с постоянными помодулю угловыми скоростями: ω1 = const и ω3 = const, то говорят, что телосовершает регулярную прецессию.
При этом угол нутации ϕ2 между осямиOξ3 и Ox3 тоже постоянен: ϕ2 = const.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.21 / 23Оказывается, что для обеспечения такого движения, главный момент силотносительно неподвижной точки вращения должен иметь вид:·¸ω1основная формулаM̄O = ω̄ 1 × ω̄ 3 Jξ3 + (Jξ3 − Jξ1 )cos ϕ2−гироскопииω3У гироскопов применяемых в современной технике угловая скоростьсобственного вращения обычно значительно превосходит угловую скоростьпрецессии: ω3 À ω1 . Если в этом случае пренебречь вторым слагаемым вквадратных скобках основной формулы гироскопии, то получимM̄O = Jξ3 (ω̄ 1 × ω̄ 3 )−приближенная формула гироскопииЕсли к телу приложена одна сила F̄ , то её момент относительно O равен:M̄O = r̄ × F̄где r̄ – радиус-вектор приложения F̄ .
Таким образом из последних двухформул можно находить ω̄ 3 (ω̄ 1 ) при знании всех остальных величин: силыF̄ и ω̄ 1 (ω̄ 3 ).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.22 / 23Гироскоп, вращающийся вокруг неподвижной точки - склерономная система.Поэтому элементарная работа сил, приложенных к твердому телу:δA = F̄ · v̄ O dt + M̄O · ω̄dtгде F̄ – главный вектор сил, через формулуδA=Ndtопределяет мощность сил, приложенных к телу (эта мощность для обычныхсил совпадает с мощностью, определенной через обобщенные силы, т.к.
длясклерономной системы это одно и то же). Учитывая, что v̄ O = 0 имеем:δA = M̄O · ω̄dt = Jξ3 (ω̄ 1 × ω̄ 3 ) · (ω̄ 1 + ω̄ 3 )dt = 0т.к. ω̄ 1 × ω̄ 3 ⊥ ω̄ 1 , ω̄ 3Таким образом, силы, обеспечивающие регулярную прецессию, т.е.создающие гироскопический момент M̄O = Jξ3 (ω̄ 1 × ω̄ 3 ) – являютсягироскопическими.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.23 / 23ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 7ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖА ИГАМИЛЬТОНАПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРАТЕОРЕМА ДОНКИНАФУНКЦИЯ И УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНАОБОБЩЁННО-КОНСЕРВАТИВНАЯСИСТЕМАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.1 / 19Многие методы исследования дифференциальных уравненийразвиты применительно к системам уравнений первого порядка(например теорема Коши о разрешимости нормальной системыдифференциальных уравнений – сформулирована именно первогопорядка).
НоУравнения Лагранжа II родаявляются дифференциальными уравнениями второго порядка.Далее мы будем рассматривать только голономные системы,движение которых описывается уравнением Лагранжа II рода спроизвольной функцией Лагранжа (в частности это натуральныесистемы)d ∂L∂L−=0(σ = 1, . . . , n)dt ∂ q̇σ ∂qσПривести дифференциальные уравнения движения к системеуравнений первого порядка можно многими способами. Наиболееудобный и полезный из них связан с применениемпреобразования Лежандра (это преобразование переменных).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.2 / 19Преобразование ЛежандраПусть некоторая функция X, зависит от переменных{x1 , . .
. , xn } = x и параметров {α1 , . . . , αm } = α: X = X(x, α).Будем считать, что она обладает непрерывными производнымипо параметрам αi и вторыми непрерывными производными понезависимым переменным xσ .Тогда, можно рассмотреть преобразование к другим независимымпеременным {y1 , . . . , yn } = y, которое задаётся формулами:yσ =∂X∂xσ(σ = 1, . . .
, n)Это преобразование, с помощью которого осуществляетсяпереход к другим переменным, называется — преобразованиеЛежандра, а используемая в нём функция X — порождающаяОдно из свойств преобразования Лежандра выражается теоремойБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.3 / 19Теорема ДонкинаПусть дана некоторая функция X(x, α), гессиан° которой° по° ∂ 2 X °n°переменным {x1 , . . . , xn } отличен от нуля: det °° ∂xσ ∂xρ °6= 0, иσ,ρ=1пусть имеется преобразование Лежандра, порождаемое этой∂Xфункцией: yσ =(σ = 1, . .
. , n), осуществляющее преобразование∂xσпеременных от {x1 , . . . , xn } к {y1 , . . . , yn }.Тогда существует обратное (по отношению к прямому) преобразованиепеременных (т.е. от {y1 , . . . , yn } к {x1 , . . . , xn }) также в видепреобразования Лежандра, которое порождается некоторой функцией∂Y(σ = 1, . . . , n), где функция Y связана с XY (y, α): xσ =∂yσnXформулой:Y =xσ yσ − Xσ=1причём производные от этих функцийпо любому параметру отличаются только знаком:Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7∂X∂Y=−∂αi∂αiНовосибирск, 2018 г.4 / 19Доказательство. Видно, что гессиан функции X совпадаетà ° с якобианом!µ¶°n° ∂°∂X∂X°правых частей уравнений: yσ =(σ = 1, . . . , n) det °° ∂xρ ∂xσ °∂xσσ,ρ=1Поэтому условие на гессиан означает что эти уравнения можно разрешитьотносительно переменных {x1 , . . . , xn }, выразив их через {y1 , . . .
, yn } в виде:xσ = xσ (y1 , . . . , yn , α) (σ = 1, . . . , n)Возьмём функцию Y , определённую равенством в формулировке теоремы:nPY =xσ yσ − X, и подставим в неё значения {x1 , . . . , xn }, по полученнымσ=1выше формулам. Тогда будем иметь:nXY (y, α) =xσ (y, α) · yσ − X(x(y, α), α)σ=1Продифференцируем полученное уравнение по yρ :nnXX∂Y∂xσ∂X ∂xσ=yσ + xρ −∂yρ∂y∂xρσ ∂yρσ=1σ=1Но согласно преобразованию Лежандра yσ =∂X, поэтому обе суммы∂xσвзаимно сокращаются, и следовательно имеют места равенства: xρ =Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.∂Y.∂yρ5 / 19Если теперь продифференцировать по произвольному параметру αi :à n! n µ¶nX ∂X ∂xσX ∂xσ∂X∂X∂X∂xσ∂Y X ∂xσ=yσ −+=yσ − yσ−=−∂αi σ=1 ∂αi∂x∂α∂α∂α∂α∂α∂ασiiiiiiσ=1σ=1Замечание: при преобразовании переменных от {y1 , . . . , yn } к {x1 , . . . , xn } cпомощью преобразования Лежандра с порождающей функцией Y (y, α),обратное преобразование переменных {x1 , . . . , xn } → {y1 , . .
. , yn } тоже будетnPлежандровским с порождающей функцией X =xσ yσ − Y и только X. ¥σ=1Теперь, приведём уравнения Лагранжа второго рода (являющиесядифференциальными уравнениями 2-го порядка) к системе уравненийпервого порядка, имеющих удобный вид.Согласно методу Лагранжа, уравнения движения натуральной системывполне определяются заданием функции Лагранжа L(t, qσ , q̇σ ).Совокупность переменных {t, qσ , q̇σ }, используемых в выражении L,называются — переменные Лагранжа. Эти переменные задаютмомент времени и кинематическое состояние механической системы,т.е. положения и скорости её точек.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.6 / 19Но состояние можно задавать и при помощи других параметров.Гамильтон предложил характеризовать состояние системы другимивеличинами, введя вместо обобщённых скоростей, так называемые— обобщённые импульсы – согласно формулам:∂Lpσ =(σ = 1, . . . , n)∂ q̇σСовокупность переменных {t, qσ , pσ } называются — переменныеГамильтона.Т.к. якобиан правых частей выражения для импульсов совпадает сотличным от нуля гессианом функции L, то эти уравнения могут бытьразрешены относительно скоростей: q̇σ = q̇σ (t, qρ , pρ ). Следовательно,переменные Лагранжа и Гамильтона выражаются друг через друга.Переменные qσ и pσ (σ = 1, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
