1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 12
Текст из файла (страница 12)
, n) c одинаковыми индексаминазываются — канонически сопряженные.Метод Гамильтона описания движения натуральной системы состоит вполучении уравнений для координат qσ и импульсов pσ ,рассматриваемых как функции времени.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.7 / 19Для получения уравнений Гамильтона будем исходить из лагранжевыхуравнений 2-го рода:d ∂L∂L−=0(σ = 1, . . . , n)dt ∂ q̇σ∂qσВ переменных Гамильтона эти уравнения запишутся в виде:dpσ∂L=(σ = 1, .
. . , n)dt∂qσ∂L∂ q̇σ(σ = 1, . . . , n) можно смотреть как на преобразование Лежандралагранжевых переменных {t, qσ , q̇σ }, порождаемое функцией ЛагранжаL, при котором переменные t и qσ играют роль параметров. Посколькугессиан функции Лагранжа по обобщённым скоростямот нуля° 2 отличен°° ∂ L °°(det kaσρ k 6= 0 для натуральных систем, или det °° ∂ q̇σ ∂ q̇ρ ° 6= 0 длясистем общего типа), то для этого преобразования будет справедливатеорема Донкина. В соответствии с этой теоремой, обратноепреобразование переменных имеет вид:На формулы, определяющие обобщённые импульсы: pσ =Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.8 / 19q̇σ =∂H∂pσ(σ = 1, . . . , n)с порождающей функциейH(t, q, p) =nXpσ q̇σ − L(t, q, q̇)Функция Гамильтона(гамильтониан)σ=1При этом производные по параметрам t и qσ от функций L и Hсвязаны зависимостями:∂L∂H∂L∂H=−,=−(σ = 1, . . . , n)∂t∂t∂qσ∂qσВозвращаясь к лагранжевым уравнениям в переменных Гамильтонавидно:∂H∂L=−(σ = 1, . . .
, n)ṗσ =∂qσ∂qσ∂Hобразуют замкнутую систему, уже не∂pσn уравнений 2-го порядка, а 2n уравнений, но 1-го порядка:Эти уравнения вместе с q̇σ =Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.9 / 19Канонические уравнения Гамильтонаdqσ∂H=,dt∂pσdpσ∂H=−dt∂qσ(σ = 1, . . . , n)Уравнения Гамильтона служат для определения зависимостей qσ (t), pσ (t),определяющих движение системы.Обратим внимание, что уравнения Гамильтона имеют замечательныйсимметричный вид: правые части уравнений являются производными поискомым величинам от одной и той же функции H. Эти особенностиструктуры уравнений позволяют развить для них эффективные методыинтегрирования.∂L∂H ∂L∂H=−Отметим, что попутно мы получили равенства:=−,∂t∂t ∂qσ∂qσ(σ = 1, .
. . , n) которые будут использованы в дальнейшем. В частности,легко видеть, что если функция Лагранжа не зависит явно от какой-либопеременной (координаты) qα или от времени t, то и функция Гамильтона небудет явно зависеть от этой переменной или времени∂H∂L∂H∂L=0=−=0=−∂qα∂qα∂t∂tБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.10 / 19Механический смысл функции ГамильтонаДля выяснения физического смысла функции Гамильтона рассмотримнатуральные системы (т.е.
с обычным Π(t, q) или обобщённым V (t, q, q̇)потенциалом). Тогда, функция Лагранжа L(t, q, q̇) является квадратичнойфункцией скоростей: L = L2 + L1 + L0 , и согласно определению, функцияГамильтона H будет равна:nnnXXX∂L∂L2∂L1H=q̇σ − L(t, q, q̇) =q̇σ +q̇σ − (L2 + L1 + L0 )∂q̇∂q̇∂ q̇σσσσ=1σ=1σ=1Но по теореме Эйлера об однородных функциях:nX∂L1σ=1∂ q̇σnX∂L2σ=1∂ q̇σq̇σ = 2L2 ,q̇σ = L1 , поэтому окончательно для натуральной системы имеем:H = 2L2 + L1 − L2 − L1 − L0 = L2 − L0Ранее было выяснено, что L2 = T2 , L0 = T0 − Π (или L0 = T0 − V0 ), гдеT2 – квадратичная функция кинетической энергии, Π – потенциал обычныхсил, V0 – не зависящее от скоростей q̇σ слагаемое обобщённого потенциала.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.11 / 19Тогда для натуральных систем имеем:H = T2 − T0 + Πдля обычных потенциальных сил с потенциалом ΠH = T2 − T0 + V0для сил с обобщённым потенциалом V = V1 + V0Данные выражения показывают, что хотя H имеет размерностьэнергии, она вообще-то не совпадает с полной механической энергиейE = T + Π (или E = T + V0 ) т.к. (T2 − T0 ) не является кинетическойэнергией. По этой причине функция Гамильтона H(t, q, p) называетсяобобщённая механическая энергияЕсли же система склерономна, то, как указывалось T1 = T0 = 0,T = T2 , тогдаH =T +Π=EилиH = T + V0 = Eт.е. для склерономной системы функция Гамильтона представляетсобой реальную полную механическую энергию – выраженную впеременных Гамильтона.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.12 / 19Обобщённый интеграл энергии (интеграл Якоби)Найдём полную производную по времени от функции Гамильтона, используяканонические уравнения Гамильтона:XdH(t, q, p)=dtσ=1nX∂H∂H∂Hq̇σ +ṗσ +=∂qσ∂pσ∂tσ=1n∂H ∂H∂H∂H∂H ∂H−+=∂qσ ∂pσ∂pσ ∂qσ∂t∂tТ.е.
полная производная функции Гамильтона по времени тождественноравна её частной производной:dH∂H=dt∂tМеханическая система называется — обобщённо-консервативная –∂Hесли её функция Гамильтона не зависит явно от времени:≡ 0.∂t∂H∂L=−≡ 0 легко видеть, чтоВспоминая свойство из теоремы Донкина:∂t∂tдля обобщённо-консервативной системы время явно не входит и в функциюЛагранжа. Итак, для обобщённо-консервативной системы имеем:dH∂H=≡0dt∂tБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.13 / 19Т.е. при движении такой системы функция Гамильтона – сохраняетпостоянное значение:H(q, p) = h = constТ.к. H не содержит q̇ или ṗ, но включает постоянную h, поэтому, с учётомфизического смысла H (обобщённая механическая энергия), это выражениеназывается — обобщённый интеграл энергии (или интеграл Якоби).Для натуральной системы с обычным Π(t, q) или обобщённымV (t, q, q̇) = V1 (t, q, q̇) + V0 (t, q) потенциалом сил имеем:T2 − T0 + Π = hилиT2 − T0 + V0 = h(при этом функция слева не должна явно зависеть от времени).∂TЕсли система склерономна (T1 = T0 = 0, T = T2 ,= 0 – т.е.
кинетическая∂tэнергия не зависит явно от времени), а силы только потенциальные, причёмΠ = Π(q) тоже не зависит от времени, т.е. в случае обычнойконсервативной системы обобщённый интеграл энергии переходит визвестный интеграл (или закон) сохранения полной механической энергии:E =T +Π=hТаким образом, консервативная система является частным случаемобобщённо-консервативной с обычным интегралом энергии.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.14 / 19ywПример 1: Гладкая трубка вращаетсяв горизонтальной (вертикальной) плоскостис заданной постоянной угловой скоростью ω.Внутри трубки движется шарик массой m.jСчитаем шарик материальной точкой.Угол ϕ между горизонтальной прямой xи осью трубки изменяется по закону: ϕ = ωt.Положение шарика задаём координатой r(t) – обобщённая координата.rmxПотенциальная энергия шарика:Π = 0,− горизонтальная плоскостьΠ = mgy = mgr sin ωt, − вертикальная плоскость.Кинетическая энергия шарика:11111T = mv 2 = m(vr2 + vϕ2 ) = m(ṙ2 + (rω)2 ) = mṙ2 + mr2 ω 222222Из сопоставления с формой T = T2 + T1 + T0 имеем:11T2 = mṙ2 ,T1 = 0,T0 = mr2 ω 222Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.15 / 19Обобщённая механическая энергия (функция Гамильтона):H = T2 − T0 + Π11H = mṙ2 − mr2 ω 2 ,− горизонтальная плоскость;2211H = mṙ2 − mr2 ω 2 + mgr sin ωt, − вертикальная плоскость.22Для случая горизонтальной плоскости H явно от времени не зависит,поэтому для него справедлив обобщённый интеграл энергии:1 2 1 2 2mṙ − mr ω = h = const22Для случая вертикальной плоскости H от времени зависит явно,поэтому интеграл энергии для него не выполняется.Будет ошибкой принимать за интеграл энергии (в горизонтальномслучае) полную механическую энергию: E = T + Π = h, т.к.рассматриваемая система (шарик во вращающейся трубке) неявляется консервативной системой: система не склерономна –геометрическая связь в виде трубки нестационарна.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.16 / 19djydrjrdrrj Mmg xПример 2: Та же невесомая трубка, изпредыдущей задачи к которой приложенпостоянный вращающий момент сил M ,внутри трубки – шарик массой m.Потенциал момента сил: ΠM = −M ϕ.Его надо добавить к потенциалуиз предыдущей задачи.Здесь ϕ - ещё одна обобщённая координата, т.е. в данном случае ушарика 2 степени свободы и обобщённых координаты r и ϕ:Потенциальная энергия шарика:Π = −M ϕ,− горизонтальная плоскость;Π = mgr sin ϕ − M ϕ, − вертикальная плоскость.11Кинетическая энергия шарика: T = mṙ2 + mr2 ϕ̇222Из сопоставления с формой T = T2 + T1 + T0 имеем:11T2 = mṙ2 + mr2 ϕ̇2 = T,T1 = T0 = 022Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.17 / 19Данная механическая система (шарик + трубка) – являетсяконсервативной, для которой выполнены все условия: связи (толькошарнир) геометрические и стационарные, т.е.
система – голономная исклерономная, а значит кинетическая энергия заведомо не зависит отвремени (это и так видно из выражения T ), все силы потенциальные:вес и момент сил – постоянные (т.е. от времени не зависят).Поэтому обобщённая энергия равна полной механической энергии:H = E = T + Π и для каждого случая справедлив закон сохраненияполной механической энергии:m 2(ṙ + r2 ϕ̇2 ) − M ϕ = h,− горизонтальная плоскость;2m 2(ṙ + r2 ϕ̇2 ) + mgr sin ϕ − M ϕ = h, − вертикальная плоскость.2Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.18 / 19ДополнениеПолучение потенциала в предыдущих задачах, выраженного в обобщённыхкоординатах r и ϕ через работу сил на возможных перемещенияхδr = 0,δϕ 6= 0δA = δA(M )+δA(P̄ ) = M δϕ+P̄ ·δr̄ ϕ = M δϕ−P r cos ϕδϕ = (M −mgr cos ϕ)δϕ⇒∂Π⇒ Π = −M ϕ + mgr sin ϕ + f (r)∂ϕпроизвольная функция после интегрированияQϕ = M − mgr cos ϕ = −f (r)−δr 6= 0,δϕ = 0δA = δA(M ) + δA(P̄ ) = M δϕ + P̄ · δr̄ r = 0 + P δr sin ϕ = −mg sin ϕ δr⇒ Qr = −mg sin ϕ = −⇒∂Πdf (r)df (r)= −mg sin ϕ−⇒= 0 ⇒ f (r) ≡ const∂rdrdrΠ = −M ϕ + mgr sin ϕ + constБатяев Е.
А. (НГУ)const – можно положить равной нулюЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2018 г.19 / 19ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 8УРАВНЕНИЯ УИТТЕКЕРА И ЯКОБИСИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИКООРДИНАТАМИИГНОРИРОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХКООРДИНАТЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.1 / 18Рассмотрим движение некоторой обобщённо-консервативной системы.Т.е. движение произвольной (не обязательно натуральной) системы,для которой функция Гамильтона не зависит явно от времени. Тогда,во-первых, движение системы описывается каноническимиуравнениями Гамильтона:dqσ∂H=,dt∂pσdpσ∂H=−dt∂qσ(σ = 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
