1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Следовательно, справедливинтеграл энергии: E = T + Π = constБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.10 / 1912E = T + Π = ml2 [ θ̇2 + sin2 θ ϕ̇2 ] + mgl cos θ = h | ·2ml⇒l [ θ̇2 + sin2 θ ϕ̇2 ] + 2g cos θ = hТакже видно, что T и Π а значит L = T − Π, от ϕ не зависит.Следовательно, ϕ является циклической координатой этой системы,значит, справедлив циклический интеграл:pϕ =∂L= const∂ ϕ̇Так как Π = Π(θ) – от скоростей не зависит, то поскольку L = T − Πполучим:pϕ =∂L∂T== ml2 sin2 θ ϕ̇∂ ϕ̇∂ ϕ̇⇒Отсюда имеемpϕ = ml2 α и ϕ̇ =Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9sin2 θ ϕ̇ = α = constαsin2 θНовосибирск, 2018 г.11 / 19Можно рассмотреть функцию Рауса: R = pϕ · ϕ̇ − L == ml2 α ·ml2 α2 ml2 2 ml2 2 2α−T+Π=−sin θ ϕ̇ + mgl cos θ =θ̇ −22sin2 θsin2 θml2 α2 ml2 2 ml2 2=−θ̇ −sin θ22sin2 θ⇒R=−µαsin2 θ¶2+ mgl cos θml2 2 ml2 α2+ mgl cos θθ̇ +22 sin2 θУравнения Рауса определённые только для позиционной координаты θ:d ∂R ∂R−=0dt ∂ θ̇∂θотвечают какой-то иной системе – как будто с одной степенью свободы(c обобщённой координатой θ) потому что координата ϕ – игнорируется.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.12 / 19Анализируя слагаемые в выражении для R нетрудно установить, что первоеслагаемое, зависящее от скорости θ̇ соответствует кинетической энергии - T∗ ,а все остальные слагаемые – потенциальной энергии Π∗ этой новой системы.Т.е. представляя функцию Рауса для уравнений Рауса по позиционнойкоординате в виде:R = −(T∗ − Π∗ ) = −L∗(по аналогии с функцией Лагранжа L = T − Π для уравнений Лагранжаd ∂L ∂L−= 0, где «−» присутствует для обеспечения соответствияdt ∂ θ̇∂θ∂(−R) ∂L∂(−R)∂L=и=)pθ =∂θ∂θ∂ θ̇∂ θ̇уравнения Рауса от этого «−» не изменятся в силу их однородности:d ∂(T∗ − Π∗ ) ∂(T∗ − Π∗ )−=0dt∂θ∂ θ̇но здесь уже стоит другая функция Лагранжа L∗ = T∗ − Π∗ некоторой новойприведенной системы, причём консервативной системы (у которой T = T2 )с кинетической энергией T∗ и приведенным потенциалом, называемымтакже потенциалом Рауса Π∗ :T∗ =Батяев Е.
А. (НГУ)ml2 2θ̇ ,2Π∗ =ml2 α2+ mgl cos θ2 sin2 θЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.13 / 19В действительности же нам нет необходимости рассматривать уравнениеРауса, которое является дифференциальным уравнением движения системы– 2-го порядка. У нас же есть интегралы (диф.уравнения 1-го порядка):lθ̇2 + l sin2 θ ϕ̇2 + 2g cos θ = h,sin2 θ ϕ̇ = αИсключим из интеграла энергии пользуясь циклическим интегралом ϕ̇ =α:sin2 θlα2+ 2g cos θ = hsin2 θЭто нелинейное дифференциальное уравнение для θ. Введем обозначение:lθ̇2 +u = cos θ⇒u̇ = − sin θ θ̇,sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 − u2Подставляя эту замену в интеграл энергии (после умножения на sin2 θ) имеем:lθ̇2 sin2 θ + lα2 + 2g cos θ sin2 θ = h sin2 θ⇒⇒lu̇2 + lα2 + (2gu − h) sin2 θ = 0u̇2 =h − 2gu(1 − u2 ) − α2lВыражение сложное, является нелинейным дифференциальным уравнениемна u(t), но его уже можно анализировать.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.14 / 19µ¶µ¶ghgghОбозначим: u̇2 = G(u) =− 2 u (1−u2 )−α2 = 2 u −(u2 −1)−α2 =lllllµ¶µ¶ghh=2u −(u2 − 1) − α2 ⇒ G(u) = 2u −(u2 − 1) − γ 2lgglG(u) G(+¥)где γ 2 = α2 . Тогда обозначая u1 , u2 , u3 корниg3уравнения G(u) = 0 (т.к. G(u) многочлен 3-ей степени,2значит имеет 3 корня) можем представить G(u) в виде:G(u) = 2(u − u1 )(u − u2 )(u − u3 )1u*Видно: G(+∞) = +∞, G(−∞) = −∞, G(±1) = −γ 2 6 0.Т.к. G(u) – непрерывная функция, то хотя бы-g-g-1один из корней, например u3 , должен быть не меньше 1.Но на отрезке −1 6 u 6 1, который нас и интересует-2(так как |u| = | cos θ| 6 1) должны быть значения u,при которых G(u) положительна или хотя бы обращается-3gв ноль, т.к. в противном случае равенство u̇2 = G(u)G(-¥) -4lневозможно для действительных значений u. Величина же u обязательнодолжна быть действительной, так как движение маятника, безусловно,физически существует.
Таким образом, вытекает, что G(u) имеет ровно двавещественных корня u1 , u2 на отрезке −1 6 u 6 1 и один корень u3 > 1.-120u1 u2u12u32Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.15 / 19Так как для реального движения G(u) > 0, то интересующий нас интервализменения u определяется неравенством u1 6 u 6 u2 , ему соответствуетобласть изменения угла: θ2 6 θ 6 θ1 (т.к. u = cos θ убывающая функция),отвечающая реальному движению маятника.hОбозначим: β = , т.е. G(u) = (2u − β)(u2 − 1) − γ 2 . Рассмотрим движение,gотвечающее различным значениям постоянных γ и β. Сразу отметим, что изусловий G(u) > 0, −1 6 u 6 1 следует, что величина β не может быть совсемпроизвольной, а должна удовлетворять неравенству β > −2 .
В самом деле(2u − β)(u2 − 1) > γ 2 > 0⇒2u − β 6 0⇒β > 2uЕсли β = −2 ⇒ G(u) = 2(u + 1)(u2 − 1) − γ 2 > 0, ⇒0 > 2(u + 1)(u2 − 1) > γ 2 > 0 ⇒ γ = 0, u = −1 ⇒ α = 0, θ = π,что соответствует положению равновесия в вертикальном нижнем положении.Найдем максимум u∗ функции G(u): G0 (u) = 2(u2 − 1) + (2u − β)2u = 0⇒u2 − 1 + 2u2 − βu = 03u2 − βu − 1 = 0pβ ± β 2 + 1222D = β + 4 · 3 = β + 12 ⇒ u =6½−2 ± 41/3, не подходит;если β = −2 ⇒ u ==−1, подходит.6Батяев Е. А. (НГУ)⇒ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.16 / 19Итак: u∗ =β−pg2β 2 + 126Обозначим G(u∗ ) = f (β) − γ 2 , гдеf (β) = (2u∗ − β)(u2∗ − 1) = (β − 2u∗ )(1 − u2∗ ).Для реального движения необходимо, чтобывыполнялось неравенство G(u∗ ) > 0, т.е.
чтобыf (β) > γ 2 > 0Учитывая, что 1 − u2∗ > 0,функция f (β) монотонно возрастает с ростом β.На плоскости параметров (β, γ 2 ) значения γ, β, удовлетворяющие последнемунеравенству соответствуют незаштрихованной области (включая границы).Верхняя граница области задается уравнением γ 2 = f (β); она касается оси βв точке (−2, 0), а при β → ∞ ⇒ u∗ → 0 ⇒ f (β) ∼ β имеет асимптоту γ 2 = β.Для классификации движения маятника рассмотрим 3 возможных случая.1.
γ = α = 0, тогда из циклического интеграла ϕ̇ sin θ = 0 ⇒ ϕ ≡ ϕ0 = constи мы приходим к задаче о движении математического маятника в плоскостиϕ = ϕ0 (γ 2 = 0 – нижняя граница области);VIDEOБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.17 / 192. γ 2 = f (β) – верхняя граница области, т.е.G(u∗ ) = 2(u∗ − u1 )(u∗ − u2 )(u∗ − u3 ) = 0 откуда неизбежно вытекаетu1 = u2 = u∗ , то есть корни u1 , u2 совпадают и мы приходим к задаче оконическом маятнике. Угол θ ≡ θ∗ = arccos u∗ > π/2 – постоянен.Материальная точка движется по окружности радиусом l sin θ∗ вгоризонтальной плоскости z = z∗ = l cos θ < 0;VIDEO3.
0 < γ 2 < f (β), тогда угол θ меняется в промежутке θ2 6 θ 6 θ1 . На сферерадиусом l с центром в точке подвеса маятника значения θ = θ1 , θ = θ2выделяют 2 круга, лежащих в параллельных плоскостях z = z1 = l cos θ1 ,z = z2 = l cos θ2 . Материальная точка, закрепленная на конце стержня,движется по сфере между плоскостями z = z1 и z = z2 , попеременно касаясьэтих двух плоскостей.VIDEOzâèä ñâåðõóOaa2b2a1Батяев Е. А. (НГУ)b1z=z2z=z1ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.18 / 19Причем среднее положение точки всегда находится ниже горизонтальнойплоскости, проходящей через Oa (точку подвеса маятника), то естьz1 + z2 < 0 или u1 + u2 < 0.
Чтобы убедиться в этом приравняемкоэффициенты при 1-ой степени u в выражениях G(u):G(u) = (2u − β)(u2 − 1) − γ 2=G(u) = 2(u − u1 )(u − u2 )(u − u2 )⇓−2⇒u3 = −1 + u1 u2,u1 + u2⇓=т.к. u3 > 1 > 0,2(u1 u2 + u1 u3 + u2 u3 )|u1 u2 | < 1⇒u1 + u2 < 0αвидно, что угол ϕ в рассмотренном случае либоsin2 θмонотонно возрастает (α > 0), либо монотонно убывает (α < 0). На рисункепоказана проекция траектории материальной точки на горизонтальнуюплоскость для движения соответствующего объемной картинке, когда z1 и z2лежат ниже точки подвеса (принято α > 0). Эта проекция поочереднокасается окружностей ρ1 = l sin θ1 , ρ2 = l sin θ2 и напоминает собой движениепо эллипсу, большая полуось которого вращается в горизонтальнойплоскости в направлении движения. Для полного интегрирования уравненийдвижения используется техника с участием эллиптических функций.Из соотношения ϕ̇ =Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.19 / 19ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 10ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА(ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ)СКОБКИ ПУАССОНАКРИТЕРИЙ ИНТЕГРАЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2018 г.1 / 17Законы сохранения энергии, импульсов — являются в математическомсмысле интегралами движения (обобщённый интеграл энергии,циклические импульсы). Наличие у системы интегралов движения(законов сохранения) позволяет существенно упростить задачуинтегрирования системы дифференциальных уравнений движения.Пуассон указал способ определения интегралов каноническихуравнений, основанный на исследовании системы двух и болееизвестных интегралов этих уравнений.Для начала немного общих сведений. Функция f (t, q, p)называется — интеграл канонических уравнений:∂Hdqσ=,dt∂pσ∂Hdpσ=−dt∂qσ(σ = 1, .
. . , n)(1)если она сохраняет своё постоянное значение на любом решенииэтих уравнений qσ = qσ (t), pσ = pσ (t):f (t, qσ (t), pσ (t)) = constНередко именно это соотношение и называют интегралом.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2018 г.2 / 17Иначе говоря, для того чтобы функция f (t, q, p) былаинтегралом, необходимо и достаточно чтобы её полнаяпроизводная по времени, с учетом уравнений Гамильтона (1)(то есть на решении (1)) тождественно равнялась нулю:df≡0dtПримерами интегралов могут служить функция ГамильтонаH(q, p) для обобщённо-консервативных систем (обобщённыйинтеграл энергии) и циклический импульс pα (для системы сциклической координатой qα ).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2018 г.3 / 17Легко видеть, что для всякой совокупности интегралов{f1 , . .
. , fm } интегралом будет также и любая функция этихвеличин. Поэтому представляют интерес только независимыеинтегралы (т.е. не выражающиеся друг через друга).Система интеграловfi (t, q, p) = ci(i = 1, . . . , m 6 2n)(2)— независимая - если прямоугольная функциональная матрица:∂f1 /∂q1 · · · ∂f1 /∂pn......F =...∂fm /∂q1 · · ·∂fm /∂pnимеет ранг равный m (аналогично свойству при введенииобобщённых координат).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
