1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 18
Текст из файла (страница 18)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.13 / 21Выберем, как и ранее, за начало координат пространства состоянийположение равновесия и предположим, что при каких-либо значенияхqσ0 (σ = 1, . . . , n) обобщённых координат хотя бы одна из обобщённыхсил Q∗σ не равна нулю при всех нулевых обобщённых скоростях, т.е.Q∗k (qσ0 , 0) 6= 0(k 6 n)Тогда, в силу непрерывности существует некоторая окрестность точки(qσ = qσ0 , q̇σ = 0), в которой Q∗k (qσ , q̇σ ) 6= 0 и, следовательно, еёзначения имеют один и тот же знак. Но посколькувеличины qσ и q̇σ – независимы (σ = 1, .
. . , n), то их значения вуказанной окрестности пространства состояний можно выбрать так,nPчтоQ∗σ (qρ , q̇ρ )q̇σ > 0 (т.е. q̇σ имеют одинаковый с Q∗σ знак), а этоσ=1противоречит условию на мощность непотенциальных сил.Таким образом, все Q∗σ (qσ0 , 0) = 0 при нулевых обобщённых скоростях,а, следовательно, и в начале координат, т.е. в положении равновесия,значит добавление (наличие) гироскопических и диссипативных силне нарушает равновесия.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.14 / 21Т.к. интеграл энергии (закон сохранения) E = T + Π = constсохраняется и при гироскопических силах (при отсутствиидиссипативных), то приведённое выше доказательство теоремыЛагранжа остаётся без изменений и при наличии гироскопических сил.Если же существуют диссипативные силы (или диссипативные игироскопические одновременно), полнаяэнергия E¶= T + Π неµdEвозрастает при движении системы= N ∗ 6 0 и следовательноdtво время движения вместо равенства E = E0 имеет место неравенствоE 6 E0 .
Но тогда отсюда следует, что во всё время движения E 6 E ∗если E0 < E ∗ . Следовательно опять при всех t > t0 справедливынеравенства (∗) и характер равновесия не меняется. Таким образом:теорема Лагранжа остаётся справедливой для неконсервативнойсистемы, полученной из консервативной путём добавлениягироскопических и диссипативных сил.Если имеет место строгое неравенство: dE/dt = N ∗ < 0 (т.е. системаопределённо-диссипативная), тогда можно доказать, чтоE −−−→ 0 ≡ {qσ = q̇σ = 0} — асимптотическая устойчивость.t→∞Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.15 / 21Признаки неустойчивости положения равновесияконсервативной системыТеорема Лагранжа даёт только достаточные условия устойчивостиположения равновесия: если в положении равновесия достигаетсястрогий минимум потенциальной энергии Π(qσ ), то оно устойчиво.Теорема не исключает других устойчивых положений равновесия,в которых функция Π(qσ ) не имеет строгого минимума.Необходимые и достаточные условия устойчивости равновесияявляются весьма сложным вопросом и до сих пор на него неполучено исчерпывающего ответа.В этой связи представляют интересдостаточные условия неустойчивости равновесия.Первые строгие результаты в решении этого вопроса полученыЛяпуновым.
Приведём без доказательства две его теоремы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.16 / 21Будем полагать функцию Π(qσ ) аналитической в окрестностиположения равновесия q1 = . . . = qn = 0. Тогда Π(qσ ) может бытьразложена в ряд Тейлора в окрестности нуля (ряд Маклорена):Π(qσ ) = Πm (qσ ) + Πm+1 (qσ ) + . . .где m > 2, а Πk (qσ ) – однородные функции k-ой степениотносительно отклонений qσ . Такое разложение начинается счленов порядка не ниже второго, т.к. Π(0) = 0 – попредположению (за счёт выбора произвольной постоянной), аnX∂ΠΠ1 =(0) · qσ = 0 – в силу уравнений равновесия.∂qσσ=1Теорема Ляпунова 1.
Если потенциальная энергияконсервативной системы в положении равновесия не имеетминимума и это узнаётся уже по членам второго порядка вразложении Π (т.е. Π2 ) в окрестности положения равновесия безнеобходимости рассматривания членов высших порядков, то этоположение равновесия – неустойчиво.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.17 / 21Теорема Ляпунова 2. Если в положении равновесияконсервативной системы потенциальная энергия имеет максимуми это узнаётся по членам наименее высокого порядка, которыедействительно присутствуют в разложении этой функции в ряд вокрестности положения равновесия, то это положение равновесия– неустойчиво.Четаев доказал следующее достаточное условие неустойчивостиравновесия.Теорема Четаева. Если потенциальная энергия Πконсервативной системы является однородной функциейотклонений q1 , .
. . , qn и в положении равновесия q1 = . . . = qn = 0не имеет минимума, то это положение равновесия – неустойчиво.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.18 / 21Пример. Устойчивость равновесия тяжёлого твёрдого тела на гладкойгоризонтальной плоскости.Пусть тело ограниченно какой-тоzвыпуклой поверхностью σ и общая нормальк горизонтальной поверхности (вертикаль)Cи к поверхности σ в точке D∗ содержит центрy тяжести C. Тогда тело на плоскости можетнаходиться в состоянии равновесия, причёмnв точке D∗ поверхность тела σ соприкасаетсяxDс плоскостью. Обозначим Cxyz – жёсткосвязанную с телом систему координат, уD*которой ось Cz содержит отрезок D∗ C, а осиCx и Cy направлены параллельно линиямкривизны поверхности σ в точке D∗ . Тогда уравнение поверхности σ в окрестноститочки D∗ имеет вид:s1f ≡ −h − z +2x2y2+r1r2+ ...
= 0Здесь x, y, z - координаты точки D поверхности σ, которой тело касаетсяплоскости при малом его отклонении от положения равновесия (качнули),h = CD∗ , r1 и r2 – главные радиусы кривизны поверхности σ в точке D∗(т.к. поверхность выпукла и целиком находится выше опорной плоскости, тоr1 > 0, r2 > 0). Многоточие (. . . ) в выражении поверхности означает члены,порядок которых, относительно x, y, выше членов выписанных явно.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.19 / 21Потенциальная энергия тела вычисляется по формуле:Π = mgl−−→где l = −n̄ · CD – является расстоянием от C до касательной плоскости кповерхности тела в точке D, n̄ - единичная внутренняя нормаль (которая будетнормалью к горизонтальной плоскости, т.е. вертикалью, когда тело повернётся к−−→точке D), CD = (x, y, z).∂f ∂f ∂fОпределим n̄ через градиент поверхности в точке D: ∇f =,,–∂x ∂y ∂zкоторый является внешним нормальным вектором.
Чтобы n̄ была внутренней∇fединичной нормалью необходимо n̄ = −.|∇f|x y∇f =, , −1 – с точностью до членов второго порядка малости.r1 r211 x2y21s= 2 ' 1 − 2 r2 + r2|∇f |12xy21++r12r221xy2xy1 x2y1= − ,− ,1 1 −+ 2 ' − ,− ,1 −2|∇f |r1r22 r1r1r22r2с точностью до членов второго порядка малости ⇒n̄ = −∇f ·−−→l = −n̄·CD =x y1, , −1 +r1 r22Батяев Е. А. (НГУ)y2x2+ 22r1r2·(x, y, z) =ЛЕКЦИЯ 11x2 y 21+ −z 1 −r1 r22y2x2+ 22r1r2y2x2+ 22r1r2Новосибирск, 2018 г.20 / 21Из выражения f (x, y, z) = 0 имеем: z ' −h +l'x2 y 21+ − −h +r1 r22⇒x2y2+r1r2−h2x2y2+ 22r1r212= h+µ12¶x2 y 2+, тогдаr1r2x2y2h+−r1r22·¸mg r1 − h 2 r2 − h 2Π = mgl ' mgh +x +y2r12r22x2y2+ 22r1r2Отсюда и из теоремы Лагранжа следует, что если центр тяжести теланаходится ниже обоих главных центров кривизны поверхности тела вточке его касания с опорной плоскостью (h < r1 , h < r2 ), тоположение равновесия устойчиво (потенциальная энергия достигаетминимума при x = y = 0).
Если же центр тяжести лежит выше хотябы одного из главных центров кривизны, то, согласно теоремам 1 и 2Ляпунова имеет место неустойчивость.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2018 г.21 / 21ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 12ОТНОСИТЕЛЬНОЕДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕНАТУРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ,ВРАЩАЮЩЕЙСЯ РАВНОМЕРНОВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.1 / 18Теорема Лагранжа, определяющая достаточное условиеустойчивости положения равновесия консервативной системы,справедливо только для инерциальной системы отсчёта.Исследование вопроса устойчивости относительного равновесиянатуральных систем, т.е.
равновесия системы по отношению кнеинерциальной системе отсчёта, является важным по причинеусловности самого понятия инерциальности системы отсчёта ибольшого количества подобных случаев движения (напримервращение Земли).Напомним, что движение любой механической системы внеинерциальной системе отсчёта происходит по тем же законамчто и в инерциальной системе, если к обычным силам иреакциям добавить переносные и кориолисовы силы инерции.В качестве наиболее интересного и часто встречающегося случаядвижения неинерциальной системы отсчёта, рассмотрим вращениевокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.2 / 18Рассмотрим движение натуральной системы N точек, котороепредставляется в виде суммы двух составляющих движений:1. переносное движение – равномерное вращение среды S (тела) околонеподвижной в пространстве оси z с постоянной угловой скоростьюe = const — задано;ω2.
относительное движение – движение во вращающейся среде S, (теле)z zSw||rnOxxrnПусть связи, наложенные на системув относительном движении, по отношениюнеинерциальной системе отсчёта Oξηζ,являются геометрическими и стационарными.PnТогда можно так ввести обобщённые координатыrn h q1 , .
. . , qn – задающие относительное движениеточек, что радиус-вектор точки Pν с началомy в точке O на оси вращения не зависит от t:eν (t) = ρeν (q1 (t), . . . , qn (t)) (ν = 1, . . . , N )ρПоскольку система натуральная, значит все силы потенциальные, апотенциальная энергия, может быть выражена как функцияотносительных обобщённых координат:Π = Π(q1 (t), . . .
, qn (t)).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.3 / 18Уравнения Лагранжа движения натуральной системы в инерциальнойсистеме отсчета Oxyz:d ∂T∂T∂Π−=−dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσ(используем такой вид уравнений, он более удобен для дальнейшего).Будем далее использовать для всех векторов только покомпонентноепредставление в сопутствующей (неинерциальной) системе координатOξηζ, которая вращается вокруг неподвижной оси Oζ = Oz:eν ,ρeeν ,verν ,veωВыражения для кинетической энергии T при этом – не изменится,потому что значения скалярных функций, в том числе и скалярноепроизведение векторов – не зависят от выбора системы координат:T =NNNν=1ν=1ν=11X1X1Xeν veνmν vν2 =mν v̄ ν v̄ ν =mν v222Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.4 / 18à !¶ddeпроизводные по времениАбсолютнаяи относительнаяdtdtотносятся только к векторным величинам. Поэтому вид уравненийЛагранжа сохранится и после этого изменения в покомпонентномпредставлении векторов.µФормула сложения скоростей также останется без изменений:eν = veeν + verνveeν = ωe ×ρeν – переносная скорость точки (вращательная скорость);vµ¶deρνrreν − относительная скорость точки Pν системы veν =vdt⇒erνvν2 = (vνe )2 + (vνr )2 + 2ev eν vКинетическая энергия системы тогда принимает вид:T =NNNNν=1ν=1ν=1ν=1X1X1X1Xeeν verνmν vν2 =mν (vνe )2 +mν (vνr )2 +mν v222Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.5 / 18Введём обозначения:N1Xmν (vνe )2 – переносная кинетическая энергия движения,Te =2Tr =Tc =12ν=1NXmν (vνr )2 – относительная кинетическая энергия движения,ν=1NXeeν verν – добавочная кинетическая энергия движения.mν vν=1Т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
