1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 19
Текст из файла (страница 19)
в данных обозначениях:T = Te + Tr + TcОтметим, что рассматриваемая система не является консервативнойпотому что связь, в виде вращающейся заданным (известным) образомсреды S – не является стационарной, т.е. система не склерономна.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.6 / 18Вычислим подробнее Te :NTe =NN1X1X1Xeν )2 =eν )(eeν )mν (vνe )2 =mν (eω×ρmν (eω×ρω×ρ222ν=1ν=1ekνρν=1e⊥ρν,ekνρeν =eν на ось вращения,Представим ρ+где– проекция ρe⊥eρ–проекцияρнаплоскостьперпендикулярнуюоси вращения.ννТак как вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения имеемN1Xk⊥⊥e ×ee ×(ee ×eωρν = ωρν +eρν ) = ωρν⇒ Te =mν (eω ×eρ⊥ω ×eρ⊥ν )(eν)=2ν=1=12NX2e⊥mν (eω×ρν) =ν=112NX2mν (ω · ρ⊥ν) =ν=1Nω2 X2mν (ρ⊥ν)2ν=1Окончательно:Te =где Iz =NX2mν (ρ⊥ν)ν=1Батяев Е.
А. (НГУ)−ω2Iz2осевой момент инерции системыотносительно оси вращения z.ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.7 / 18Причём Iz 6= const в общем случае – он является функцией ρ⊥ν (t) –расстояний точек до оси, т.е. в осях Oξηζ, где декартовы оси Oξ, Oη –перпендикулярны оси вращения Oz = Oζ и вращаются с телом:222(ρ⊥ν ) = ξν + ηνТаким образом Iz = Iz (qσ ), значит Te = Te (qσ ) – является функциейтолько обобщённых координат qσ (t) и не зависит от скоростей q̇σ .Подставляя выражение T в уравнения движения получим∂Tr∂Ted ∂Tc ∂Tc∂Πd ∂Tr−−+−=−dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσdt ∂ q̇σ∂qσ∂qσЗдесь учли, что: Te = Te (qσ ), Tr = Tr (qσ , q̇σ ), Tc = Tc (qσ , q̇σ ).Перепишем уравнения Лагранжа в виде:d ∂Tr∂Tr∂(Π − Te )−=−−dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσµd ∂Tc ∂Tc−dt ∂ q̇σ∂qσ¶Рассмотрим подробнее последнее слагаемое с учётом:nXdeρν∂eρνerν =q̇σv=dt∂qσσ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.8 / 18¾½Nd ∂Tc ∂Tc X∂d ∂erere ]−e ] =−=[ev ·v[ev ·vmνdt ∂ q̇σ∂qσdt ∂ q̇σ ν ν∂qσ ν νν=1"#)(NnXXd ∂∂eρν∂eν ) · verν ] =eν ) ·q̇σ −[(eω×ρ=mν(eω×ρdt ∂ q̇σ∂qσ∂qσν=1σ=1½·¸·µ¶¸¾NXd∂eρν∂eρν∂ev rνreν )e×eν + (eeν )(eω×ρ− ωvω×ρ==mνdt∂qσ∂qσ∂qσν=1¶µ¶¾½µNXρνd ∂eρν∂eρν r∂ev rνdeρν ∂ee×e ×ee×e −(e=+(ωρν )− ω=mν ωvω ×eρν )dt ∂qσdt ∂qσ∂qσ ν∂qσν=1¾½NX∂ev rν∂eρν∂ev rνρνr ∂ereν )eν )e)eν )+ (eω×ρ− (evν × ω− (eω×ρ=ω×vmν (e∂qσ∂qσ∂qσ∂qσν=1здесь использовали свойство перестановочности операцийдифференцирования по времени и по обобщённой координате:ρν∂ deρνd ∂e∂ev rν==dt ∂qσ∂qσ dt∂qσТогда второе и четвёртое слагаемые сократятся и в итоге получим:Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.9 / 18Nd ∂Tc ∂Tc X−=mνdt ∂ q̇σ∂qσν=1½¾ρνρνr ∂er ∂eeν )eν )+ (eω×v(eω×v=∂qσ∂qσ=2NXerν )mν (eω×vν=1∂eρν∂qσТогда получим, вводя дополнительное обозначение:– приведённый (относительный) потенциалΠr = Π − Teуравнения Лагранжа для системы равномерно вращающейся вокругнеподвижной оси:d ∂Tr∂Tr∂Πr−=−+ Q∗σ(∗)dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσгдеQ∗σ= −2NXerν )mν (eω×vν=1Батяев Е. А.
(НГУ)∂eρν∂qσ−обобщённая сила инерцииКориолисаЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.10 / 18В самом деле, если рассматривать обычную силу инерцииКориолиса, действующую на ν-ую точку системы:e c = −mν 2(eer ), то её работа на любом виртуальномJω×vννперемещении системы δeρν , которое является возможнымперемещением системы при замороженных (остановленных)связях, (иначе говоря на относительных возможныхперемещениях системы):NNnXXX∂eρνrec ) =e c · δeeδqσ =δA(JJρ=−2m(eω×v)·ννννν∂qσν=1ν=1σ=1Ã!nNnXXX∂eρe ×verν ) ν δqσ =Q∗σ δqσ−2=mν (ω∂qσσ=1σ=1ν=1Заметим, что сила инерции Кориолиса, как мы уже отмечалиnPранее, – является гироскопической, т.е. N ∗ =Q∗σ q̇σ = 0.σ=1Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.11 / 18В результате у нас получились уравнения движения (∗) для другой,новой, вспомогательной системы, называемой приведённая система,совершающей относительное движение, с кинетической энергиейNTr =1Xmν (vνr )22ν=1и потенциальной энергией:Πr = Π + ΠJΠJ = −Te = −где(приведённый потенциал)ω2Iz2— потенциал переносной (центробежной) силы инерции.Причём для приведённой системы справедлив – закон сохраненияполной механической энергии в относительном движении(хотя в общем случае она не консервативна из-за гироскопическойобобщённой силы инерции Кориолиса):Er = Tr + Πr = constБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.12 / 18В самом деле, анализируя выражение для кинетической энергииисходной системы, из двух альтернативных форм:T = T2 + T1 + T0 = Te + Tr + Tcнетрудно установить соответствие:T2 = Tr – квадратичная форма кинетической энергиипо обобщённым скоростям;T1 = Tc – линейная форма кинетической энергиипо обобщённым скоростям;T0 = Te – форма нулевой степени кинетической энергиипо обобщённым скоростям.Тогда, составляя функцию Гамильтона для исходной системыH = T2 − T0 + Π∂Hубеждаемся, что она явно от времени не зависит:= 0, а поскольку∂tdH∂H== 0 ⇒ H = const∂tdtТ.е.
натуральная исходная система (обладающая потенциалом Π),является обобщённо-консервативной.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.13 / 18Тогда, для приведённой же системы функция Гамильтонапринимает вид с учётом обозначений:H = T2 −T0 +Π = Tr −Te +Π = Tr +(Π−Te ) = Tr + Πr = Er = constДанное выражение можно интерпретировать следующим образом:часть (Te ) кинетической энергии исходной системы переходит впотенциальную энергию приведенной системы (Π − Te ).Т.е.
энергия переносного движения (вращения) исходной системыперешла в потенциальную энергию приведённой системы,которая обладает стационарными связями.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.14 / 18Для силы Кориолиса Q∗σ можно указать случаи, когда она равнанулю:• если у каждой точки системы только одна степень свободы:eµ = ρeµ (qσ )ρNXX¢ de¡ρµ∂eρerν ) ν = −2e ×verµ⇒ Q∗σ = −2mν (eω×vmµ ω∂qσdqσµν=1µ¶Xdeρµdeρµdeρµ deρµe×erµ =q̇σ ⇒ Q∗σ = −2mµ q̇σ ω=0v=dtdqσdqσ dqσµ• • если у всей системы одна степень свободы (частный случай •)• • • если траектории точек в относительном движении лежат вплоскостях, содержащих ось вращения.
Тогда вектора скоростейerν и возможных перемещений δeρν тоже лежат в плоскостяхточек vNNnXXX∗ec ) =e c · δeerν )δeδA(Jδq=−2mν (eω×vρν = 0Jρ=Qννσ σνν=1ν=1σ=1erν ) ⊥ δeerν и δeт.к. (eω×vρν потому что vρν лежат в одной плоскости.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.15 / 18В каждом из данных случаев приведённая система становитсяобычной консервативной и для неё справедливы уравнения:d ∂Tr ∂Tr∂Πr−=−(σ = 1, . . . , n)dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσс кинетической энергией Tr и потенциальной энергией Πr (связигеометрические и стационарные, все силы потенциальные,Tr и Πr от времени не зависят).erν = 0, тоЕсли система находится в относительном покое т.е.
vTr = 0. Тогда, необходимыми и достаточными условиямиотносительного равновесия, являются уравнения∂Πr=0(σ = 1, . . . , n)∂qσДля исследования устойчивости относительного равновесия, врассмотренных случаях консервативной системы, можноиспользовать теорему Лагранжа для приведённого потенциала Πr ,т.е. достаточно чтобы он достигал строгого минимальногозначения в положении относительного равновесия.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.16 / 18Для общего же случая, когда Q∗σ 6= 0 достаточное требованиетеоремы Лагранжа для устойчивости положения относительногоравновесия очевидно – сохраняется, т.к. Q∗σ являетсягироскопической силой, добавление которой (т.е. уже длянеконсервативной приведённой системы, но получаемой изконсервативной путём добавления гироскопических сил)– не изменяет ни положения равновесия, ни характера егоустойчивости.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.17 / 18wПример. Упругое кольцо малой толщины, массой m,радиусом r0 (в недеформированном состоянии)раскручено до угловой скорости ω = constвокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольцаперпендикулярно плоскости кольца. Определить радиус rвращающегося кольца, если коэффициент жёсткости кольца c.c(l − l0 )2 ,2где l и l0 – длины пружины упругого кольца в текущем (растянутом) состоянии инедеформированном, соответственно. С радиусом они связаны соотношениями:Решение.
Потенциальная энергия упругого кольца: Π =Π = 2π 2 c (r − r0 )2ω2Потенциал центробежной силы инерции: ΠJ = − Iz2где Iz = mr2 - осевой момент инерции раскрученного кольца вокруг оси вращения.ω2Тогда приведённый потенциал: Πr = Π + ΠJ = 2π 2 c(r − r0 )2 −mr22Относительное равновесие кольца при заданном вращении с ω = const достигаетсяпри∂Πr=0∂rгде r – рассматривается как обобщённая координата. Отсюда:4π 2 c r04π 2 c (r − r0 ) − ω 2 mr = 0 ⇒ r(4π 2 c − ω 2 m) = 4π 2 c r0 ⇒r=4π 2 c − ω 2 mУсловие устойчивости 4π 2 c − ω 2 m > 0, очевидно, всегда выполняется.l = 2πr, l0 = 2πr0Батяев Е.
А. (НГУ)⇒ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2018 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 13ПРИВЕДЁННАЯ СИСТЕМАПОТЕНЦИАЛ РАУСАСТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯКОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ СЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИИ ИХ УСТОЙЧИВОСТЬТЕОРЕМА РАУСАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2018 г.1 / 21Рассмотрим движение голономной (с геометрическими связями)склерономной (связи стационарны) системы с потенциальными силами.Пусть у системы n степеней свободы, т.е. n обобщенных координат q1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
