1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. . , qm , p1 , . . . , pm , cm+1 , . . . , cn )Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.12 / 18Из структуры функции Н следует, что первая группа уравненийГамильтона:dqσ∂Hdpσ∂H=,=−(σ = 1, . . . , m)dt∂pσdt∂qσпредставляет собой замкнутую систему 2m дифференциальныхуравнений первого порядка с 2m неизвестными функциями qσ (t), pσ (t)(σ = 1, . .
. , m). Проинтегрировав данную систему, найдём:qσ = qσ (t, ci , c0i , cα ),pσ = pσ (t, ci , c0i , cα )где ci , c0i – произвольные постоянные интегрирования (i = 1, . . . , m).После подстановки этих зависимостей для позиционных координат иимпульсов в выражение функции H, она будет зависеть только отвремени t:H = H(t, c , c0 , c )iiαпоэтому оставшиеся гамильтоновы уравненияdqα∂H(α = m + 1, .
. . , n)=dt∂pαопределяют циклические координатыв зависимости от t при помощиZ∂Hквадратур:qα =dt + c0α(α = m + 1, . . . , n)∂cαБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.13 / 18Тем самым уравнения движения полностью проинтегрированы.Таким образом, интегрирование уравнений движения по существусвелось к интегрированию системы, порядок которой 2m – меньшепорядка исходной системы на 2(n − m) единиц, где (n − m) –количество циклических координат. Т.е. наличие (n − m) циклическихкоординат позволило понизить порядок системы.
Более того, приинтегрировании новой системы с позиционными координатами мы какбы забываем о существовании циклических координат, они непринимаются во внимание и в решении не участвуют, т.е.«игнорируются», отсюда происходит название этого метода —игнорирования циклических координатразработанного Раусом (сами циклические координаты называютиногда игнорируемыми или скрытыми). Само название «циклическаякоордината» связано с тем, что во многих задачах механики такаякоордината характеризует движение по замкнутым траекториям(циклам) – например, угловая координата ϕ, явно не входит в L.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.14 / 18Раус много сделал в механике и на следующей лекции мы рассмотримуравнения Рауса и функцию Рауса – аналоги уравнений Лагранжа ифункции Лагранжа – для позиционных координат, т.е. совершимпереход от системы гамильтоновых уравнений движения клагранжевым уравнениям – для позиционных координат (как в случаеобобщённо-консервативной системы мы совершили переход отуравнений Уиттекера (в гамильтоновой форме) к уравнениям Якоби (влагранжевой форме).В заключении заметим, что между обобщённо-консервативнойсистемой (∂H/∂t = 0) и системой с циклической координатой(∂H/∂qα = 0) имеется сходство, состоящее в том, что в обоих случаяхпорядок системы уравнений (в гамильтоновой форме) удаётсяпонизить на 2 единицы.
Отсюда можно заключить, что времяобладает свойствами, аналогичными свойствам координат (в первомслучае мы получили обобщённый интеграл энергии H = h, во второмпостоянство циклического импульса pα = cα ). Эту аналогию междувременем и координатой можно проследить и далее.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.15 / 18Пример.Горизонтальная гладкая невесомая трубказакреплена одним концом с неподвижнымшарниром и вращается вокруг него.Внутри трубки двигается шарик массой m.Считаем шарик материальной точкой.Шарик связан с неподвижным шарниромпружиной жесткости c, имеющей длину l0в недеформированном состоянии.djydrjrdrrjxПоложение трубки определяется углом ϕ(t) между некоторойнеподвижной прямой x и осью трубки.Положение шарика задается расстоянием до шарнира r(t).Механическая система (трубка + шарик) – голономная, с однойстационарной связью – неподвижный шарнир.Значит у системы 2 степени свободы – 2 обобщенных координаты: r, ϕ.Система очевидно консервативная, потому что работает толькопружина, дающая силу, зависящую только от положения шарика.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.16 / 18cПотенциал пружины: Π = (r − l0 )221Кинетическая энергия шарика: T = m(ṙ2 + r2 ϕ̇2 )2ṙ2ϕ̇2cФункция Лагранжа: L = T − Π = m + mr2− (r − l0 )2222Обобщенные импульсы, сопряженные обобщенным координатам r, ϕ:pr =∂L= mṙ,∂ ṙpϕ =∂L= mr2 ϕ̇∂ ϕ̇⇒ṙ =pr,mϕ̇ =pϕmr2Поскольку система консервативна, функция Гамильтона:H = T +Π = mH=ṙ2ϕ̇2 c+ mr2+ (r − l0 )2222p2ϕcp2r+ (r − l0 )2+22m 2mr2Канонические уравненияБатяев Е. А.
(НГУ)– в переменных Лагранжа– в переменных Гамильтона∂Hdqσ,=dt∂pσЛЕКЦИЯ 8dpσ∂H=−dt∂qσ(σ = 1, . . . , n)Новосибирск, 2018 г.17 / 18p2ϕprdprdr= ,= − 3 − c(r − l0 )dtmdtmrpϕdpϕdϕ=,=02dtmrdtВидно, что ϕ – циклическая координата, значит справедливциклический интеграл (в переменных Гамильтона или Лагранжа):pϕ = const = cϕилиmr2 ϕ̇ = cϕвыражающий, по сути, постоянство кинетического момента системыотносительно оси вращения.Кроме того справедлив интеграл энергии:c2ϕp2rc+ (r − l0 )2 = h+22m 2mr2Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2018 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 9УРАВНЕНИЯ РАУСА(ПЕРЕМЕННЫЕ И ФУНКЦИЯ РАУСА)ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА(ОБОБЩЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ,ЦИКЛИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ)Лектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.1 / 19Переменныe, функция и уравнения РаусаИспользуя идеологию с циклическими координатами, Рауспредложил взять в качестве основных переменных для описаниясостояния голономных систем в данный момент времени tкомбинацию из переменных Лагранжа и Гамильтона: часть такихи часть других — переменные Рауса — являются величины:{t, qi , qα , q̇i , pα }(i = 1, . .
. , m; α = m + 1, . . . , n)где m – произвольное фиксированное число меньше n.Для того чтобы от переменных Лагранжа перейти к переменнымРауса необходимо обобщённые скорости q̇α (α = m + 1, . . . , n)выразить через обобщённые импульсы pα , используя для этойцели соотношения:∂Lpα =(α = m + 1, . . . , n)∂ q̇αБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.2 / 19Предположим, что гессиан функции L относительно обобщённыхскоростей q̇α (α = m + 1, . . . , n) («малый» гессиан) отличен отнуля:° 2 °n° ∂ L °°det °6= 0(1)° ∂ q̇α ∂ q̇β °α,β=m+1В общем случае это неравенство не следует из неравенства на° 2 °n° ∂ L °°полный гессиан L: det °6= 0,° ∂ q̇σ ∂ q̇ρ °σ,ρ=1а является дополнительным требованием.Но для натуральной системы это справедливо всегда, посколькуL(t, q, q̇) = T (t, q, q̇) − Π(t, q) = T2 + T1 + T0 − Πи данное неравенство имеет вид:° 2 °n° 2°° ∂ L °° ∂ T 2 °n°°det °= det °= det kaαβ knα,β=m+1 > 0° ∂ q̇α ∂ q̇β °° ∂ q̇α ∂ q̇β °α,β=m+1α,β=m+1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.3 / 19Последний определитель отличен от нуля (положителен) покритерию Сильвестра, так как T2 – положительно определённаяквадратичная форма от обобщённых скоростей.Следовательно, для натуральной системы это неравенство (1)выполняется автоматически.В случае ненатуральной системы это условие являетсядополнительным ограничением на функцию L (к полномугессиану).Тогда применяя доказанную ранее теорему Донкина к указанномупреобразованию переменных, вида преобразования Лежандра, спорождающей функцией L, получим обратное преобразование:∂Rq̇α =где порождающая функция выражается в виде:∂pαnXR=pα q̇α − Lфункция Рауса(2)α=m+1где все q̇α выражены через переменные Рауса {t, qi , qα , q̇i , pα }.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.4 / 19При этом переменные {t, qi , qα , q̇i } следует рассматривать какпараметры и, поэтому, по теореме Донкина, производные по нимот порождающих функций L и R отличаются только знаком:∂L∂R∂L∂R=− ,=−(i = 1, . . . , m)∂qi∂qi∂ q̇i∂ q̇i∂R∂L∂R∂L=−(α = m + 1, . . .
, n)=−∂qα∂qα∂t∂tУравнения Лагранжа для координат qi с учетом этих равенств иоднородности самих уравнений запишутся как:d ∂R ∂R−=0dt ∂ q̇i∂qiВ самом деле:Ã n!X∂∂L∂R=;pα q̇α − R = −∂ q̇i∂ q̇i α=m+1∂ q̇i⇒Батяев Е. А. (НГУ)(i = 1, . . . , m)∂L∂R=−∂qi∂qi(3)⇒d ∂L ∂Ld ∂R ∂R−=−+=0dt ∂ q̇i ∂qidt ∂ q̇i ∂qiЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.5 / 19А уравнения Лагранжа для переменных qα принимают форму:dpα∂L∂R∂R==−, и совместно с теоремой Донкина: q̇α =,dt∂qα∂qα∂pαдают уравненияdqα∂R=,dt∂pαdpα∂R=−dt∂qα(α = m + 1, .
. . , n)(4)Система уравнений (3)-(4) образуют — уравнения РаусаОна состоит из m дифференциальных уравнений второгопорядка типа Лагранжа и 2(n − m) уравнений первого порядкатипа Гамильтона, причём функция Рауса в уравнениях (3) играет∂L∂(−R)роль функции Лагранжа, (точнее −R, так как=и∂qi∂qi∂L∂(−R)pi ==если хотим сохранить связь между∂ q̇i∂ q̇iимпульсами и L), а в уравнениях (4) – роль функции Гамильтона.Т.е. во всех уравнениях стоит одинаковая функция R!Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.6 / 19Уравнения Рауса находят широкое применение при исследованиидвижения систем с циклическими координатами (хотя полученыони без использования этого свойства координат).Предположим, что у системы имеется m – позиционныхкоординат qi (i = 1, .
. . , m) и (n − m) – циклических qα(α = m + 1, . . . , n). Используя свойства из теоремы Донкина,легко видеть, что∂H∂R∂L===0∂qα∂qα∂qαт.е. циклическая координата qα не входит явно не только в H и L,но и в R, то есть L = L(t, qi , q̇i , q̇α ) и R = R(t, qi , q̇i , pα ).Однако из уравнений Рауса следует:∂Rdpα=−=0⇒pα ≡ const = cα(α = m+1, . .
. , n)dt∂qαт.е. обобщённые импульсы, соответствующие циклическимкоординатам – постоянны, тогда функция Рауса может бытьзаписана в виде:R = R(t, q , q̇ , c )iБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9iαНовосибирск, 2018 г.7 / 19Тогда уравнения Рауса для позиционных координат (3) образуюттак называемую автономную систему уравнений (т.е. системудифференциальных уравнений, не содержащую «лишних»неизвестных функций, которые должны быть определеныпредварительно, до интегрирования системы уравнений).Таким образом, данная система уравнений можетинтегрироваться совершенно самостоятельно, независимо отдругих уравнений Рауса, то есть она замкнута, имеет порядок 2m.После интегрирования (3) получим:qi = qi (t, ci , c0i , cα )(i = 1, .
. . , m)ci , c0iгде– являются произвольными постоянными интегрирования.После их подстановки в функцию Рауса получим, чтоR = R(t, ci , c0i , cα ) – зависит только от времени t. Откуда находимзависимости циклических координат от времени из квадратур(т.е. из интегралов):Zdqα∂R∂R=⇒qα =dt + c0α(α = m + 1, . . . , n)dt∂pα∂cαБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.8 / 19Описанная процедура понижения порядка системыдифференциальных уравнений движения с использованиемциклических координат является одним из наиболееэффективных и практически важных способов, применяемых приинтегрировании уравнений движения.
Поэтому исключительноважным является такой выбор обобщённых координат, прикотором обеспечивается наибольшее число циклическихкоординат. Всякая симметрия задачи, допускающая такой выборобобщённых координат, приводит к существованию первыхинтегралов pα = const (циклических) и, соответственно,позволяет свести исследование движения к рассмотрениюсистемы уравнений с меньшим числом обобщённых координат.Например, для обобщённо-консервативных систем с двумястепенями свободы, наличие одной циклической координатыпозволяет свести задачу интегрирования уравнений движения кквадратурам (т.е. интегралам обычным) (т.е. обобщённыйинтеграл энергии + циклический интеграл = новые уравнениядвижения).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2018 г.9 / 19Пример. Движение сферического маятника.Сферический маятник представляет собойматериальную точку, которая движетсяв однородном поле тяжести, оставаясь на сферепостоянного радиуса.Считаем, что точка имеет массу m и закрепленана одном из концов невесомого стержня длины l,другой конец стержня шарнирно закреплен в точке Oa (неподвижной).Трением пренебрегаем.Сферический маятник, очевидно, имеет 2 степени свободы, поэтомуестественно за обобщенные координаты взять углы: ϕ и θ.Кинетическая энергия точки:111T = mv 2 = m(vϕ2 + vθ2 ) = m[(l sin θ ϕ̇)2 + (lθ̇)2 ]222Потенциальная энергия: Π = mgl cos θ.Система очевидно консервативна (система голономна со стационарнойсвязью и Π = Π(θ) от времени не зависит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
