1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (542297), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

. . , n)σ=1тогдаδA =nXQρ δqρ =ρ=1Батяев Е. А. (НГУ)nXρ=1QρnXuρσ δθσ =σ=1ЛЕКЦИЯ 15Ã nnXXσ=1!Qρ uρσδθσρ=1Новосибирск, 2018 г.10 / 24окончательно имеемΘσ (t) =nXuρσ Qρ (t)(σ = 1, . . . , n)ρ=1Или в векторно-матричном виде:Θ̄(t) = U ∗ Q̄(t)где U ∗ – транспонированная матрица U .В нормальных координатах малые колебания консервативной системы сучетом внешних сил (любых, не только периодических) будут описыватьсяуравнениямиd ∂T∂T∂Πθ̈σ + ωσ2 θσ = Θσ (t)(σ = 1, . .

. , n)−=−+ Θσ (t) ⇒dt ∂ θ̇σ∂θσ∂θσПомимо периодичности внешних сил Qσ (t) будем полагать, что онидопускают представления в виде рядов Фурье. А тогда, в силу линейнойзависимости Θ̄(t) и Q̄(t) этим свойством будут обладать и силы Θσ (t) т.е.будут справедливы представления:∞XΘσ (t) =bσk sin(kΩt + ασk )(σ = 1, . . . , n)k=0Здесь bσk и ασk (σ = 1, . . . , n, k = 0, 1, 2, . . .) – постоянные величины.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.11 / 24Общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений (при kΩ 6= ωσ )имеет вид:θσ = Cσ sin(ωσ t + ασ ) + θσ∗ (t)(σ = 1, . . . , n)где Cσ и ασ – произвольные постоянные (определяемые через начальныеусловия), а через θσ∗ (t) обозначены слагаемыеθσ∗ (t) =∞Xk=0bσksin(kΩt + ασk )ωσ2 − k 2 Ω2(σ = 1, .

. . , n)т.е. θσ∗ (t) – частное решение неоднородного уравнения, а каждое слагаемое внём – частное решение с правой частью bσk sin(kΩt + ασk ) (т.е. для каждогослагаемого из представления силы Θσ (t)).Первое же слагаемое в выражении решения θσ (t) – отвечает так называемымсвободным колебаниям системы, т.е. в отсутствии внешних сил, причёмωσ – собственная частота таких колебаний, не зависящая, как мыубеждались от особенностей движения, она однозначно определяется толькоинерционно-упругими свойствами рассматриваемой системы.Т.е. это слагаемое является общим решением однородной системыдифференциальных уравнений.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.12 / 24Возвращаясь к прежним обобщённым координатамnXq̄ = U θ̄ =ūσ θσ устанавливаем:σ=1q̄ =nXCσ ūσ sin(ωσ t + ασ ) +σ=1nXūσ θσ∗ (t)σ=1Первая сумма представляет собой свободные колебания системы,а вторая – вынужденные колебания, возникающие из-за влияниявнешних периодических сил. Таким образом, влияние периодичныхвозмущающих сил проявляется в возникновении вынужденныхколебаний с частотами, кратными частоте этой силы kΩ. В результате,движение системы является суперпозицией свободных и вынужденныхколебаний. Если же при каком-либо значении числа k окажется, чтоkΩ = ωσ для некоторого σ, то при bσk 6= 0 решение в приведеннойформе непригодно, т.к.

в сумме θσ∗ (t) будет слагаемое с нулевымзнаменателем. Говорят, что в этом случае имеет место явлениерезонанса k-го порядка в вынужденных колебаниях системы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.13 / 24Каким будет решение тогда уравнения при резонансе?Для примера рассмотрим одно уравнение видаθ̈ + ω 2 θ = a sin(ωt)Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет видθ0 = c sin(ωt + α)Будем искать частное решение неоднородного уравнения методомварьирования постоянных, т.е.

c = c(t). Положим для простоты α = π/2.Тогда частное решение имеет видθ∗ (t) = c(t) cos(ωt)⇒ θ̇∗ = ċ cos(ωt)−ωc sin(ωt) ⇒ θ̈∗ = c̈ cos(ωt)−2 ċ ω sin(ωt)−c ω 2 cos(ωt)Подставляя θ̈∗ и θ∗ в уравнение получимc̈ cos(ωt) − 2 ċ ω sin(ωt) − c ω 2 cos(ωt) + ω 2 c cos(ωt) = a sin(ωt)⇒c̈ cos(ωt) − (2 ċ ω + a) sin(ωt) = 0½ċ = constc̈ = 0⇒⇒⇒ċ = −a/2ω2 ċ ω + a = 0Окончательноaθ∗ (t) = −t cos(ωt)2ω½Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15c=−Новосибирск, 2018 г.at2ω14 / 24Видно, что функция θ∗ (t)является неограниченной –с ростом t она увеличиваетсянеограниченно.Колебания, описываемыеисходным уравнением,при резонансеуже не будут малыми.Понятно отсюда, что чем больше у системы степеней свободы (т.е. большесобственных частот ωσ ), тем богаче у нее резонансные явления. Поэтомуположение равновесия, устойчивое при отсутствии возмущающих сил,становится неустойчивым при действии этих сил, поскольку могутнеограниченно возрастать и все больше уходить от положения равновесия.А потому для описания движения вблизи положения равновесия уравнениямалых колебаний должны быть заменены другими уравнениями,учитывающими отброшенные при линеаризации (упрощении) нелинейныечлены в полных уравнениях движения. Так в данном конкретном примеремы приходим к необходимости привлечения теории нелинейных колебаний.Отметим, что явление резонанса в механической системе может возникнутьтолько при наличии внешних периодических сил.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.15 / 24Колебания консервативной системы приналичии внешних диссипативных силБудем считать, что механическая система с n степенями свободы совершаетдвижение в окрестности своего устойчивого положения равновесия приналичии потенциальных консервативных сил (т.е.

∂Π/∂t = 0) сил и силсопротивления среды. В обобщённых координатах консервативные силы∂Πопределяются через потенциальную энергию: Qσ = −(σ = 1, . . . , n).∂qσОтносительно сил сопротивления принимается, что при медленныхдвижениях они являются линейными функциями обобщённых скоростей:nXQ∗σ (t) = −bσρ q̇ρ (t)ρ=1где матрица, составленная из коэффициентов kbσρ k, является симметричнойи положительно определенной. Тогда можно использовать, введенную ранее,диссипативную функцию Релея, являющуюся положительно определеннойквадратичной формой обобщённых скоростей, через которую силысопротивления можно представить в виде подобном потенциальным силам:n∂R1 Xbσρ q̇σ q̇ρ⇒Q∗σ = −R=2 σ,ρ=1∂ q̇σБатяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.16 / 24Далее положим, что:• положение равновесия совпадает с началом отсчета обобщённых координат;• потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю; и• достигает в нем строгого минимума (т.е. выполняется достаточныйпризнак устойчивости положения равновесия из теоремы Лагранжа).Тогда в малой окрестности состояния равновесия |qσ | ¿ 1, |q̇σ | ¿ 1 длякинетической и потенциальной энергий будут справедливыприближенные выражения:nnXX2T =aσρ q̇σ q̇ρ ,2Π =cσρ qσ qρσ,ρ=1σ,ρ=1где aσρ и cσρ – постоянные коэффициенты. Причём каждая из этих форм,подобно функции Релея, будет определенно-положительной квадратичнойформой.

Движение системы в окрестности равновесия определяетсялагранжевыми уравнениями:d ∂T∂T∂Π∂R−=−−(σ = 1, . . . , n)dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσ∂ q̇σкоторые в рассматриваемых условиях дают следующие линеаризованныеуравнения:nX(aσρ q̈ρ + bσρ q̇ρ + cσρ qρ ) = 0(σ = 1, . . . , n)ρ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.17 / 24nX(aσρ q̈ρ + bσρ q̇ρ + cσρ qρ ) = 0(σ = 1, . . . , n)ρ=1т.е.

образуют однородную систему обыкновенных дифференциальныхлинейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.Вводя квадратные матрицы как раньше A = kaσρ k, B = kbσρ k, C = kcσρ kи вектор-столбец q̄ = (q1 , . . . , qn ), получим матричный вид:A¨q̄ + B q̄˙ + C q̄ = 0(∗)Будем искать решение системы в виде:q̄ = ūeµtгде ū = (u1 , . . . , un ) вектор-столбец с постоянными элементами, аµ – некоторый постоянный параметр. Подстановка этого выражения вматричное уравнение приводит, после сокращения на eµt , к однороднойалгебраической системе для вектора ū и числа µ:¡ 2¢Aµ + Bµ + C ū = 0(∗∗)Чтобы система (∗∗) имела ненулевое (нетривиальное) решение, необходимои достаточно равенство нулю ее определителя. Т.е.

приходим к уравнению¡¢для параметра µ:det Aµ2 + Bµ + C = 0(∗ ∗ ∗)которое называется вековым или характеристическим уравнением.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.18 / 24¡¢det Aµ2 + Bµ + C = 0(∗ ∗ ∗)Вековое уравнение получило свое название в небесной механике(астрономии), где оно встречается в задаче о, так называемых, вековыхнеравенствах в движениях планет, при определении вековых возмущенийпланет. Это алгебраическое уравнение степени 2n относительно µ.Оно определяет 2n корней µ1 , . .

. , µ2n , в общем случае – комплексных.Ограничимся рассмотрением основного случая – различных корней вековогоуравнения (∗ ∗ ∗).Каждому µσ соответствует некоторое ненулевое решение ūσ системыалгебраических уравнений (∗∗) и, следовательно, частное решение ūσ eµσ tсистемы дифференциальных уравнений (∗). Общее решение этой системыдифференциальных уравнений будет представлять собой линейнуюкомбинацию частных решений:2nXCσ ūσ eµσ tq̄ =σ=1где C1 , . .

. , C2n – постоянные (комплексные). Вид функций q̄(t), а значит ивид (характер) малых движений, определяется свойством корней вековогоуравнения, что отражает следующая теорема:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.19 / 24Теорема. Если в положении равновесия потенциальная энергия достигаетстрогого минимума, то вещественные части всех корней векового уравнения– отрицательны.Доказательство.Пусть µ = δ + iε – некоторый, вообще говоря, комплексный корень вековогоуравнения (∗ ∗ ∗) Тогда система алгебраических уравнений (∗∗) определитвектор ū с комплексными, вообще говоря, компонентами: ū = v̄ + iw̄.Легко видеть, что в силу линейности системы и вещественности матрицA, B, C обязательно существует сопряженный корень µ = δ − iε вековогоуравнения, которому соответствует вектор с сопряженными компонентамиū = v̄ − iw̄ (v̄, w̄ – вещественные векторы), определяемый из системы¡¢(Aµ2 + Bµ + C) ū = Aµ2 + Bµ + C ū = 0Умножим скалярно уравнение (∗∗) справа на вектор ū:¡¢¡¢ ¡¢µ2 Aū · ū + µ B ū · ū + C ū · ū = 0Коэффициенты данного квадратного уравнения на µ – вещественны иположительны в силу симметричности и положительной определенностиквадратичных форм, определяемых матрицами A, B, C.

Действительно:Aū·ū = A(v̄+iw̄)·(v̄−iw̄) = Av̄·v̄−iAv̄·w̄+iAw̄·v̄+Aw̄·w̄ = Av̄·v̄+Aw̄·w̄ > 0Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.20 / 24Обозначим:α = Aū · ū = Av̄ · v̄ + Aw̄ · w̄ > 0,β = B ū · ū > 0,γ = C ū · ū > 0Тогда квадратное уравнение на µ и его корни имеют pвид:−β ± β 2 − 4αγ2αµ + βµ + γ = 0⇒µ=2αоткуда и видно, что вещественная часть µ – отрицательна.¥Таким образом, общее решение системы (∗) может быть записано в виде:2nXq̄ =Cσ ūσ eδσ t eiεσ tσ=1Поскольку |eiεσ t | = 1, то в силу доказанной теоремы, т.е.

отрицательности δσ ,очевидно что: |q̄| −−−→ 0. Т.е. отклонения нашей линейной системы будутt→∞затухать со временем. На самом деле, затухать будут отклонения и дляобщей полной нелинейной системы. Этот факт мы докажем позднее.Более того, данный тип поведения решения, означает, что положениеравновесия будет не просто устойчивым, а асимптотически устойчивым:положение равновесия системы (в начале отсчета: qσ = 0) называетсяасимптотически устойчивым, если существует число δ0 > 0, такое чтоесли начальные отклонения и скорости удовлетворяют неравенствм |qσ0 | < δ0и |q̇σ0 | < δ0 , то будут выполняться условия lim |qσ (t)| = 0 и lim |q̇σ (t)| = 0,t→∞t→∞т.е. движение стремится к положению равновесия с убывающей скоростью.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2018 г.21 / 24Таким образом, наличие диссипативных сил (определенно-диссипативныхnPсил: N ∗ =Q∗σ q̇σ < 0), определяемых через функцию Релея, не только неσ=1нарушают устойчивости положения равновесия, но превращает обычнуюустойчивость в устойчивость асимптотическую.Установим характер затухающего движения.Анализируя выражение для µ – понятно, что тип движения зависит отвеличины сопротивления β. Рассмотрим разные случаи.Для начала отметим, что поскольку нас интересуют только вещественные(действительные) движения, то из общего решения необходимо выделитьтолько действительную часть (вещественную):Ã 2n!Xδσ t iεσ tq̄ = ReCσ ūσ e eσ=1Здесь коэффициенты Cσ являются, в общем случае, также комплексными.Учитывая, что комплексные корни µσ (если они есть) всегда встречаются впаре с сопряженными корнями µσ то решение можно записать в виде:q̄ =2nX´³eδσ t v̄ σ Cσ(c) cos εσ t + w̄σ Cσ(s) sin εσ tгде ūσ = v̄ σ + iw̄σσ=1Батяев Е.

Характеристики

Список файлов лекций