ТАУ (538467), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Передаточная функция системы, комплексный коэффициент передачи, амплитудно-частотные и фазо- частотные характеристики.
Передаточной функцией системы называется отношение выходного параметра системы к входному воздействию в форме преобразования Лапласа. ККУ представляет из себя Фурье преобразование от импульсной характеристики W(j) = 0+W(t)e–jtdt = R() + jI() = A()ej() = A()
[cos() + jsin()]. При этом A() = корень(R2()+I2()), а () = arctg I()/R(). АЧХ есть отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала при изменении частоты от 0 до . ФЧХ – зависимость разности фаз выходного гармонического сигнала к входного гармонического воздействия при изменении частоты от 0 до .
Логарифмические характеристики.
Комплексный коэффициент усиления равен W(j) = A() ej(). Прологорифмируем эту формулу, получим lnW(j) = lnA() + j(). Логарифмическая АЧХ показывает изменение коэф. усиления в относительных единицах – Беллах. Белл – логарифмическая единица, соответствующая десятикратному увеличению мощности. Для построения характеристик усиления системы в Беллах перейдем от натуральной логарифмической шкалы к десятичной. L() = lgA(). Т.к. Белл является большой величиной, то на практике применяются децибелы 1 белл = 10 децибелл. В системах автоматики и усилительных устройств величина A() представляет собой не отношение мощностей, а отношение выходной величины к входной. Поэтому увеличение этого отношения в 10 раз соответствует увеличению мощности в 100 раз, что соответствует 2 Белам или 20 децибелам. Поэтому в автоматике логарифмическая АЧХ рассчитывается по формуле, приведенной к 20 дБ: L() = 20 lgA(). При построении ФЧХ принято ось частот нумеровать от - до 0. Поэтому точку 0 совмещают с точкой -, а отрицательный сдвиг фазы откладывается вверх. Горизонтальная ось градуируется по логарифмической сетке, единица приращения которой называется декартой.
Связь между различными видами динамических характеристик.
Каждая из рассмотренных моделей динамики процессов управления имеет самостоятельное значение, автономно и полностью характеризует свойства системы управления, следовательно, все формы моделей должны быть между собой однозначно связаны. Каждая из моделей дает возможность оценить те или иные динамические свойства системы управления. Обычно наиболее разработанной явл. модель в форму диф. уравнений.
Раздел 3
Качество САУ
Определение качества САУ по переходной характеристике
По переходной характеристике можно определить следующие показатели качества системы:
1) Устойчивость: а) если колебания затухающие, то система устойчива. б) если колебания расходящиеся, то система неустойчива в) если колебания с постоянной амплитудой, то САУ находится на грани колебательной устойчивости. 2) Статическая погрешность системы eст = 1 – hуст, где hуст – установившееся значение системы – значение, вокруг которого происходят колебания системы. 3) Время разгона САУ до максимума колебательного процесса 4) Быстродействие системы s – время от начала колебаний до момента, когда h(t) 0,05hуст. 5) Период собственных колебаний системы TC = 2/C, где С – частота собственных колебаний. 6) Колебательность САУ – показывает количество перерегулирований в системе за время быстродействия системы s. n = s/TC. 7) Коэффициент перерегулирования = (hmax – hуст)/hутс 100%. Лежит в пределах 30-40%. 8) Декремент затухания = 1/TC ln(A2/A1) < 0
Прямые и косвенные методы построения переходных характеристик САУ. Определение качества САУ по переходной характеристике.
Построение переходной характеристики САУ методом решения дифференциальных уравнений.
Для того, чтобы из передаточной функции получить дифференциальное уравнение нужно проделать операцию, обратную той, с которой получен переход от диф .уравнения. Для этого передаточную функцию надо записать в форме дробно рациональной функции. Для получения h(t) можно воспользоваться их определенностью, т.е., в диф. уравнение системы вместо x(t) подставить 1(t), откуда y(t) = h(t).
Построение переходной
характеристики САУ методом
применения преобразований
Лапласа и Фурье.
Переходная характеристика получается путем обратного преобразования Лапласа: W(t) = ₤-1{W(p)}, h(t) = w(t)dt = ₤-1{W(p)/p}. Также найти переходную характеристику системы можно методом разложения дроби в ряд Фурье по формуле Хевисайда: h(t) = B(0)/A(0) + k=0N B(pkt) / [pk dA(pk)/dpk] epkt.
Построение переходных характеристик по теореме Хевисайда. Определение качества САУ по переходной характеристике.
Косвенные методы оценки качества: частотные оценки качества процессов управления.
Оценка качества по действительной части ККУ R() получается на основе использования следующего: h(t) =1/2
– WЗ (j)/j ejt d. W(p) = ₤{W(t)}, h(t) = 0W(t)dt, h(p) = W(p)/p. Откуда h(t) = 1/2 – 1/j [R()+jI()] (cos t + jsin t) d = 2/ 0 R()/ sin t d. Из этой формулы h(0) = [] limR(), hуст = [0] lim R(). Критерий Мауи: для того, чтобы коэффициент перегулирования <18% достаточно, чтобы R() замкнутой системы была непрерывной положительной невозрастающей функцией. Критерий монотонности: для того, чтобы переходная характеристика h(t) была монотонной функцией необходимо, чтобы R() замкнутой системы была положительной функцией с отрицательной и монотонно возрастающей производной. Оценка колебательности с-мы: N = max WЗ(j) /WЗ(0) Rmax()/R(0). Статическая погрешность системы: = 1 – Rуст, коэффициент перерегулирования
= (Rmax – R(0))/R(0) 100%.
Косвенные методы оценки качества: корневые интегральные оценки качества процессов управления.
Нулями передаточной функции называются корни числителя передаточной функции САУ, а полюсами называются корни знаменателя передаточной функции. W(p) =B(p) / A(p), тогда B(p) = 0 – нули, A(p) = 0 – полюса. Переходная характеристика системы зависит от распределения нулей и полюсов передаточной функции. Помимо этого качество регулирования зависит также от взаимного расположения нулей и полюсов изображения внешнего воздействия. Имеется несколько методов оценки качества САУ по расположению нулей и полюсов передаточной функции. Простейшим случаем является случай, когда передаточная функция системы по внешнему (задающему) воздействию g не имеет нулей: Wg(p) = 1/D(p), где D(p) – характеристическое уравнение системы и D(p) = a0pn + a1pn-1 + … + an-1p + an = 0. Для оценки качества системы по корням характеристического уравнения будем рассматривать устойчивую систему, т.е. все коэффициенты должны быть положительны в соотв. с критерием Гурвица, а корни хар. ур. должны лежать слева относительно начала координат. Параметр = S1S2S4 =
= n[an/a0] является мерой быстроты протекания переходных процессов. Увеличение этого параметра позволяет уменьшить время регулирования в 10 раз при неизменной переходной характеристике. Предварительные сведения о расположении корней хар. ур. можно получить из след. соотношений: a0>a1 …>an >0, если это условие выполняется, то модули всех корней <1, если же 0<a0<a1<…<an, то модули всех корней характеристического уравнения больше 1. Введем обозначения: – расстояние от мнимой оси до ближайшего корня (степень устойчивости), – расстояние от мнимой оси до удаленного корня, = tg – (колебательность) тангенс угла наклона радиус - вектора ближайшего комплексного корня или отношение ближайшего комплексного корня к его вещественной части.
Интегральные оценки качества САУ.
Y0, Y1, Y2 и т.д.
Раздел 4
Устойчивость
Устойчивость звеньев и САУ. Понятие об устойчивости. Анализ устойчивости САУ по теореме Ляпунова.
Если система неустойчива, то она не работоспособна и не в состоянии управлять параметрами САУ. САУ называется устойчивой, если после прекращения возмущающих воздействий она способна продолжать движение по заданному закону управления. Установившимся режимом называется такой режим, в котором можно не учитывать переходные процессы в системе. n=1N andny/dtn = m=1M bm
dmx/dtm, y(t) = yb(t) + yn(t), где yb(t) – вынужденная составляющая, зависит от задающего воздействия; yn(t) – свободная составляющая, не зависит от входного воздействия, находится при x(t) = 0 и определяется начальными условиями движения системы и ее свойствами. yn(t) находится из соотношения n=1N andny/dtn = 0 (1). Это позволяет судить об устойчивости системы управления. Для того, чтобы дать оценку устойчивости yn(t) = n=1N cnepnt, где cn определяется начальными условиями, pn – корни характеристического уравнения. Для неустойчивой системы решение уравнения 1 стремится к 0, для неустойчивой – к , для системы, которая находится на границе устойчивости, решение этого уравнения будет постоянная, либо гармоника с незатухающей амплитудой. Теорема Ляпунова: для того, чтобы САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все действительные части корней характеристического уравнения имели отрицательный знак, если хотя бы один из корней >0 , то система будет неустойчивой. Если среди корней есть хотя бы один нулевой корень, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если среди корней имеется хотя бы одна пара мнимых корней, то говорят, что САУ находится на границе колебательной устойчивости.
Критерии устойчивости
Для определения устойчивости САУ не обязательно знать численное значение корней, достаточно знать только знак действительной части. Это позволяет применить косвенные методы оценки устойчивости САУ. Эти косвенные методы называются критериями устойчивости и могут быть 2-х групп: 1) алгебраические (вытекает из анализа постоянных коэффициентов характеристического уравнения системы). Это критерий Гурвица и критерий Рауса; 2) частотные (оценка устойчивости по частотным характеристикам системы). Это критерий Найквиста – Михайлова.
Алгебраические критерии устойчивости: критерий Рауса и критерий Гурвица
В соответствии с критерием Гурвица составляется матрица коэффициентов из n столбов и n строк, где n – порядок дифференциального ур.
| an-1 | an-3 | an-5 | … | 0 | 0 | 0 |
| an | an-2 | an-4 | … | 0 | 0 | 0 |
| 0 | an-1 | an-3 | … | 0 | 0 | 0 |
| 0 | an | an-2 | an-4 | … | 0 | 0 |
| … | ||||||
3-ая строчка это сдвинутая на 1 элемент первая сточка, 4-ая строчка это сдвинутая на 1 элемент 2 строчка. И так далее. Правило: система называется устойчивой, если все главные диагональные миноры i матрицы Гурвица будут положительными, т.е. i>0, i = 1,2,3. Следствия: 1) если хотя бы один определитель Гурвица =0, то система находится на грани колебательной и апериодической устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
