1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Òàê êàê ïðè r → 0 ïîòåíöèàë ñòðåìèòñÿ ê âåëè÷èíå Z/r, ñîîòâåòñòâóþùåé ïîòåíöèàëó íåýêðàíèðîâàííîãî ÿäðà, òî óäîáíî ââåñòè íîâóþ óíêöèþ χ, òàêóþ ÷òî0.4n(r) ==ϕ=Zχ,räëÿ êîòîðîé èç óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå√8dχ2Z 3/2r1/2 2 =χdr3πñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè: χ → 1 ïðè r → 0 è χ → 0 ïðè r → ∞.Åñëè òåïåðü ââåñòè íîâóþ ïåðåìåííóþ x, òàêóþ ÷ò2/33πx√r = λ 1/3 , λ =≈ 0, 885 ,Z8 20.20.00òî ïîëó÷èì óðàâíåíèåd2χ= χ3/2 ,(56.6)2dxâ êîòîðîì çàâèñèìîñòü îò Z èñ÷åçëà. Ýòî óðàâíåíèå ðåøàåòñÿ÷èñëåííî. Ôóíêöèÿ χ(x) èçîáðàæåíà íà ðèñ.
29, îíà áûñòðî ïàäàåò ñ ðîñòîì àðãóìåíòà, â ÷àñòíîñòè, χ(0) = 1, χ(1) = 0, 42,χ(10) = 0, 024.2468èñ. 29. ðàèê óíêöèèx10χ(x)íîâ. Îí îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿZ2x1/2211Çíàÿ χ(x), íàéäåì êîíöåíòàöèþ ýëåêòðîíîâýëåêòðîíîâ, ãäå dΓ = dV 43 πp30 ýëåìåíò àçîâîãî îáúåìà, (2π)3 îáúåì àçîâîé ÿ÷åéêè, à ìíîæèòåëü 2 ó÷èòûâàåò äâà âîçìîæíûõ ñïèíîâûõ ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà. Èç óðàâíåíèé (3)(4)ìîæíî íàéòè ñâÿçü ìåæäó êîíöåíòðàöèåé ýëåêòðîíîâ è ïîòåíöèàëîì:√p303π 2 56. Ìåòîä Òîìàñà ÔåðìèR1/2n(r) dV =01Z.2×èñëåííîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ äàåò çíà÷åíèå (â îáû÷íûõåäèíèöàõ)R1/2 = 1, 33aB,Z 1/3÷òî íàõîäèòñÿ â ñîãëàñèè ñ ïðèâåäåííûìè â íà÷àëå ýòîãî ðàçäåëà îöåíêàìè.Çàäà÷è56.1.
 ìîäåëè Òîìàñà Ôåðìè äëÿ íåéòðàëüíîãî àòîìà âûðàçèòü ÷åðåç ýëåêòðîííóþ ïëîòíîñòü n(r) ñðåäíåå ðàññòîÿíèåýëåêòðîíà îò ÿäðà, êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ýëåêòðîíîâ, ýíåðãèþèõ âçàèìîäåéñòâèÿ äðóã ñ äðóãîì è ñ ÿäðîì.212ëàâà IX.ÀÒÎÌ56.2∗ . Ýëåêòðîííûé ãàç áîëüøîé ïëîòíîñòè íàõîäèòñÿ âíóòðè íåïðîíèöàåìîé ñåðû. Êóëîíîâñêîå îòòàëêèâàíèå ïðèæèìàåò ýëåêòðîíû ê ñòåíêå. Îöåíèòü òîëùèíó ñëîÿ, â êîòîðîìíàõîäÿòñÿ ýëåêòðîíû. 57.Ñòðóêòóðà ãàìèëüòîíèàíà àòîìà ñëîæíûõ àòîìàõ ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû èìååò âèäZXp̂2a+UĤ =2ma=1êóë+ V̂ðåë, U=−êóëX Ze2ara+Xa<be2,| ra − r b |ãäå ïîòåíöèàë Uêóë ó÷èòûâàåò êóëîíîâñêîå ïðèòÿæåíèå ýëåêòðîíîâ ê ÿäðó è âçàèìíîå îòòàëêèâàíèå ýëåêòðîíîâ, à V̂ðåë ó÷èòûâàåò ðåëÿòèâèñòñêèå ýåêòû. Ïðè ââåäåíèè ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ ýòîò ãàìèëüòîíèàí ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû òðåõ ñëàãàåìûõĤ = Ĥñàì+ V̂îñò+ V̂ðåë.Çäåñü ïåðâîå ñëàãàåìîå Ĥñàì îòâå÷àåò ñàìîñîãëàñîâàííîìóöåíòðàëüíîìó ïîëþ Vñàì (r), â êîòîðîì äâèæóòñÿ íåâçàèìîäåéñòâóþùèå ýëåêòðîíû,Ĥñàì=ZXa=1Ĥa , Ĥa =p̂2a+V2mñàì(ra) . êà÷åñòâå ïðèìåðà óêàæåì ñàìîñîãëàñîâàííîå ïîëå â ïðèáëèæåíèè Òîìàñà Ôåðìè:VñàìZ 1/3 rZe2χ(x) , x =(r) = −,r0, 885 aBãäå óíêöèÿ χ(x) íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ (56.6). 57.
Ñòðóêòóðà ãàìèëüòîíèàíà àòîìà213 ïîëå Vñàì (r) îïðåäåëÿþòñÿ îäíîýëåêòðîííûå óðîâíè ýíåðãèè Enl , êîòîðûå è çàïîëíÿþòñÿ ýëåêòðîíàìè ñ ó÷åòîì ïðèíöèïà Ïàóëè. Âîçíèêàåò îïðåäåëåííàÿ ýëåêòðîííàÿ êîíèãóðàöèÿ,êîòîðàÿ â ãðóáîì ïðèáëèæåíèè îïèñûâàåò óðîâíè ýíåðãèè àòîìà.Îñòàòî÷íîå êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ýëåêòðîíàìèV̂îñò=Uêóë−XVñàì(ra)aó÷èòûâàåò îòëè÷èå ðåàëüíîãî ïîëÿ îò ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ.  òàêîì ïîëå ñîõðàíÿåòñÿ ïîëíûé îðáèòàëüíûé ìîìåíò èìïóëüñà L è åãî ïðîåêöèÿ ML , à òàêæå ïîëíûé ñïèí S è åãîïðîåêöèÿ MS . Êàê è â ñëó÷àå ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ, îñòàòî÷íîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ýëåêòðîíàìè íå èìååò ïðÿìîéçàâèñèìîñòè îò ñïèíîâûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíîâ, íî îíî, êîíå÷íî, çàâèñèò îò ñèììåòðèè êîîðäèíàòíîé âîëíîâîé óíêöèè, àñëåäîâàòåëüíî (âñëåäñòâèå ïðèíöèïà Ïàóëè), è îò ïîëíîãî ñïèíà S .
Òàêèì îáðàçîì, ñ ó÷åòîì V̂îñò óðîâíè ýíåðãèè àòîìà ESLçàâèñÿò îò S è L, íî íå çàâèñÿò îò ïðîåêöèé MS è ML , à ïîòîìóíå çàâèñÿò è îò ïîëíîãî ìîìåíòà J = L + S. Ïîðÿäîê âåëè÷èíûîñòàòî÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ îáû÷íàÿ àòîìíàÿ ýíåðãèÿ, Ry;îäíàêî ÷èñëåííî îíî çàìåòíî ìåíüøå.Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå V̂ðåë îïðåäåëÿåò ðåëÿòèâèñòñêèå ýåêòû ñð. îðìóëó (51.1) äëÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ ïîïðàâîê â àòîìåâîäîðîäà.
Íàèáîëåå âàæíûì èç ýòèõ ýåêòîâ ÿâëÿåòñÿ ñïèíîðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå, èìåþùåå âèäV̂ls =XA(ra) l̂aŝa ,(57.1)aãäå l̂a è ŝa îïåðàòîðû îðáèòàëüíîãî è ñïèíîâîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà, à óíêöèÿ A(ra ) ïðèáëèæåííî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ. Äëÿ îäíîãî ýëåêòðîíà â êóëîíîâñêîì ïîëå ñ çàðÿäîì Ze ýòà óíêöèÿ ñîãëàñíî214ëàâà IX. 51 ðàâíàZe2~2 1A(r) =.4m2c2 r3ÀÒÎÌ(57.2)Ñïèí-îðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ðåëÿòèâèñòñêîå ïî ïðèðîäå, è ïîýòîìó åãî âåëè÷èíà ∼ (v/c)2 Ry. Ýòî âçàèìîäåéñòâèåïðîïîðöèîíàëüíî r−3 è îðìèðóåòñÿ íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ∼ aB/Z îò ÿäðà, ãäå êóëîíîâñêîå ïîëå ÿäðà íåýêðàíèðîâàíîè v/c ∼ Zα. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà ñïèí-îðáèòàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ∼ Z 2 α2 Ry.  òÿæåëûõ àòîìàõ îíî ñðàâíèâàåòñÿ ñîñòàòî÷íûì êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì. 58.Òàáëèöà ÌåíäåëååâàÑì.
[1℄, 73. 59.Àòîìíûå òåðìû59.1. Ñëó÷àéLS -ñâÿçè ëåãêèõ àòîìàõ, ãäå îñòàòî÷íîå êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèåäîìèíèðóåò ïî ñðàâíåíèþ ñî ñïèí-îðáèòàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì, |Vîñò | ≫ |Vðåë |, ñîõðàíÿþùèìèñÿ âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ ïîëíûé ñïèí S è ïîëíûé îðáèòàëüíûé ìîìåíò èìïóëüñà L. Ïðèýòîì ðàçíîñòü óðîâíåé ýíåðãèè ñ ðàçëè÷íûìè S è L âåëèêàïî ñðàâíåíèþ ñ èíòåðâàëàìè òîíêîé ñòðóêòóðû, îïðåäåëÿìûìè âîçìóùåíèåì V̂ls .  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò îá LS -òèïå ñâÿçè.Ïðè îïðåäåëåíèè íèçøåãî óðîâíÿ ESLJ äëÿ äàííîé ýëåêòðîííîé êîíèãóðàöèè èìåþò ìåñòî ýìïèðè÷åñêèåÏðàâèëà Õóíäà:1.
Ñîñòîÿíèå ñ íèçøåé ýíåðãèåé ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìàëüíîìóçíà÷åíèþ S . Êà÷åñòâåííîå îáúÿñíåíèå ýòîãî ïðàâèëà òàêîâî.  59. Àòîìíûå òåðìû215ñîñòîÿíèè ñ ìàêñèìàëüíûì S ñïèíîâàÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íà. À â ñèëó ïðèíöèïà Ïàóëè áîëåå ñèììåòðè÷íîé ñïèíîâîé óíêöèè ñîîòâåòñòâóåò áîëåå àíòèñèììåòðè÷íàÿ êîîðäèíàòíàÿ óíêöèÿ è ïîòîìó áîëåå ñëàáîå êóëîíîâñêîå îòòàëêèâàíèå ýëåêòðîíîâ. Çàìêíóòàÿ îáîëî÷êà (îñíîâíîåñîñòîÿíèå áëàãîðîäíûõ ãàçîâ) ñèíãëåò, ó êîòîðîãî S = 0.2.
Ñðåäè òåðìîâ ñ ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì S ñîñòîÿíèþ ñíèçøåé ýíåðãèåé ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå L (ïðèäàííîì S ). Êà÷åñòâåííîå îáúÿñíåíèå ýòîãî ïðàâèëà ñâÿçàíî ñòåì, ÷òî áîëüøåìó çíà÷åíèþ L ñîîòâåòñòâóþò áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ îò ÿäðà è ïîòîìó áîëåå ñëàáîå êóëîíîâñêîåîòòàëêèâàíèå ýëåêòðîíîâ.3. Ýíåðãèÿ ñîñòîÿíèÿ òåì íèæå, ÷åì ìåíüøå J äëÿ îáîëî÷êè,çàïîëíåííîé íå áîëåå ÷åì íàïîëîâèíó (ïðè äàííûõ S è L), ò. å.äëÿ îáîëî÷êè ñ ÷èñëîì ýëåêòðîíîâ < (2l + 1).  òàêîé îáîëî÷êå ýíåðãèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ðîñòîì J , ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåìðîñòà ýíåðãèè ïðè óâåëè÷åíèè j äëÿ îäíîãî ýëåêòðîíà.Äëÿ îáîëî÷êè, çàïîëíåííîé íàïîëîâèíó èëè áîëåå ÷åì íàïîëîâèíó (ïðè äàííûõ S è L), ò. å.
äëÿ îáîëî÷êè ñ ÷èñëîì ýëåêòðîíîâ ≥ (2l + 1), ýíåðãèÿ ñîñòîÿíèÿ òåì íèæå, ÷åì áîëüøå J . Ýòîñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî äëÿ äûðêè çíàê ñïèí-îðáèòàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ îáðàòíûé. Ïîýòîìó åñëè îáîëî÷êà çàïîëíåíà áîëüøå÷åì íàïîëîâèíó, òî ýíåðãèÿ ñ ðîñòîì J ïàäàåò. (Êñòàòè, îòñþäàÿñíî, ÷òî äëÿ îáîëî÷êè, çàïîëíåííîé ðîâíî íàïîëîâèíó, ñïèíîðáèòàëüíîå ðàñùåïëåíèå â ïåðâîì ïîðÿäêå îòñóòñòâóåò.)Ïîñëåäíåå ïðàâèëî Õóíäà ñâÿçàíî ñ ó÷åòîì ñïèíîðáèòàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Óñðåäíÿÿ âîçìóùåíèå (57.1)ïî ñîñòîÿíèÿì ñ îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè S è L, ìû ïîëó÷èì îïåðàòîð âîçìóùåíèÿ â âèäåhLS| V̂ls |LSi = ALS L̂Ŝ ,216ëàâà IX.ÀÒÎÌãäå ïîñòîÿííàÿ ALS ≷ 0 äëÿ ýëåêòðîííîé îáîëî÷êè, çàïîëíåííîé ìåíåå (áîëåå) ÷åì íàïîëîâèíó. Òîíêóþ ñòðóêòóðó óðîâíåéíàéäåì, èñïîëüçóÿ òåîðèþ âîçìóùåíèé, ïðè÷åì â êà÷åñòâå âîëíîâûõ óíêöèé íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ ìîæíî âçÿòü ñîñòîÿíèÿñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì ïîëíîãî ìîìåíòà J :ESLJ = ESL + ALS hLSJ| L̂Ŝ |LSJi =1[J(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1)] .2àññìîòðèì ïðèìåð àòîìà ãåëèÿ.
Åãî îñíîâíîå ñîñòîÿíèå 1s2= ESL + ALSñèììåòðè÷íî ïî êîîðäèíàòàì. Ïîýòîìó îíî, â ñèëó ïðèíöèïàÏàóëè, àíòèñèììåòðè÷íî ïî ñïèíàì, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ñèíãëåòîì1S 0.  ïåðâîé âîçáóæäåííîé êîíèãóðàöèè 1s2s òðèïëåòíîåîðòîñîñòîÿíèå 3 S 1 ëåæèò íèæå ñèíãëåòíîãî ïàðàñîñòîÿíèÿ 1 S 0 .Äåéñòâèòåëüíî, âîëíîâàÿ óíêöèÿ 3 S 1 ñèììåòðè÷íà ïî ñïèíàì,è ïîýòîìó àíòèñèììåòðè÷íà ïî êîîðäèíàòàì, ÷òî óìåíüøàåòêóëîíîâñêîå îòòàëêèâàíèå ýëåêòðîíîâ. Âî âòîðîì âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè 1s2p ñíîâà òðèïëåòíîå ñîñòîÿíèå 3 P ëåæèò íèæåñèíãëåòíîãî 1 P 1 ïî òîé æå ïðè÷èíå.1s2p1s2s½1s2 {1P13P0P13P231S03S11S0Ñõåìà óðîâíåé àòîìà ãåëèÿ 59. Àòîìíûå òåðìû217Íåîáû÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óðîâíåé òîíêîé ñòðóêòóðûP 2, 3P 1, 3P 0 îïðåäåëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ ðåëÿòèâèñòñêèõ ýåêòîâ, òàêèõ êàê ñïèí-îðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå è ñïèíñïèíîâîå âçàèìîäåéñòâèå (ñîîòâåòñòâóþùåå âçàèìîäåéñòâèþìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ ýëåêòðîíîâ).359.2.
Ñëó÷àéjj -ñâÿçèàññìîòðèì òåïåðü ïðîòèâîïîëîæíûé ñëó÷àé, êîãäà ñïèíîðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ñóùåñòâåííî áîëüøå îñòàòî÷íîãî,|Vîñò | ≪ |Vðåë |. Áåç ó÷åòà Vîñò ãàìèëüòîíèàí àòîìà ñîîòâåòñòâóåò íàáîðó íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ýëåêòðîíîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ äâèæåòñÿ â ïîòåíöèàëåVñàì(ra) + A(ra) l̂aŝa . òàêîì ïîëå ñîõðàíÿåòñÿ ïîëíûé ìîìåíò èìïóëüñà îòäåëüíîãîýëåêòðîíà j = l ± 1/2 è åãî ïðîåêöèÿ mj .
Èç ñîñòîÿíèé |nljmj iîòäåëüíûõ ýëåêòðîíîâ ñòðîèòñÿ (ñ ó÷åòîì ïðèíöèïà Ïàóëè) ñîñòîÿíèå àòîìà ñ îïðåäåëåííûìè J è MJ . Ïî ýòèì ïîñëåäíèìñîñòîÿíèÿì è íàõîäÿòñÿ ïîïðàâêè ê ýíåðãèè àòîìà çà ñ÷åò âîçìóùåíèÿ Vîñò .Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñëó÷àé jj -ñâÿçè â ÷èñòîì âèäå íåâñòðå÷àåòñÿ, äëÿ òÿæåëûõ àòîìîâ èìååòñÿ ïðîìåæóòî÷íàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà Vîñò è Vls èìåþò áëèçêèé ïîðÿäîê âåëè÷èíû.59.3. Ïðèìåð: êîíèãóðàöèÿp2Ñëó÷àé LS -ñâÿçè.Ïî ïðèíöèïó Ïàóëè, ñîñòîÿíèå ñ S = 1, ñèììåòðè÷íîå ïî ñïèíîâûì ïåðåìåííûì, àíòèñèììåòðè÷íî ïî êîîðäèíàòàì è ïîýòîìó èìååò L = 1. Ïî àíàëîãè÷íîé ïðè÷èíå ñèíãëåòíûå ñîñòîÿíèÿñ S = 0 èìåþò L = 0, 2.  ñèëó ïåðâîãî è òðåòüåãî ïðàâèë Õóíäà òðè íèæíèõ ñîñòîÿíèÿ ýòî 3 P 0,1,2 .218ëàâà IX.ÀÒÎÌ×òî êàñàåòñÿ ñèíãëåòíûõ óðîâíåé 1 S 0 è 1 D2 , òî èõ ðàäèàëüíûå âîëíîâûå óíêöèè îäèíàêîâû (ìû ïîêà ïðåíåáðåãàåìîñòàòî÷íûì êóëîíîâûì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó ýëåêòðîíàìè).Ñðàâíèì ïîýòîìó èõ óãëîâûå óíêöèè ψLM .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
