1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ïðè îòðàæåíèè êîîðäèíàò îïåðàòîð p̂0 íå èçìåíÿåòñÿ, à îïåðàòîð p̂ èçìåíÿåò çíàê.Åñëè â óðàâíåíèè Äèðàêà (γ0 p̂0 − γ p̂ − mc) Ψ(t, r) = 0 ïðîâåñòè çàìåíû p̂ → −p̂, Ψ(t, r) → Ψ(t, −r) = ηP−1 UP ΨP (x), ñîîòâåòñòâóþùèå P -îòðàæåíèþ, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå(γ0p̂0 + γ p̂ − mc) UP ΨP (x) = 0 .Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óíêöèÿ ΨP (x) óäîâëåòâîðÿëà òîìó æåóðàâíåíèþ, ÷òî è óíêöèÿ Ψ(x), ìàòðèöû γµ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿìUP γ0 = γ0UP ,UP γ = −γUP .ßñíî ïîýòîìó, ÷òî ìîæíî âûáðàòüγ0 = UP =µÈç UP γ + γUP = 0 ñëåäóåò, ÷òî(43.11)γ=à ñîîòíîøåíèå(43.12)(43.13)Ïðåîáðàçîâàíèå (8), ñîîòâåòñòâóþùåå îòðàæåíèþ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò, ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå(43.10)à îðìóëà (9), ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðåîáðàçîâàíèþ Ëîðåíöà,èìååò âèä¢Σj Σk = I δjk + iεjkn Σn , αj αk + αk αj = 2I δjk .(43.9)ñîõðàíÿåò P -èíâàðèàíòíîñòü.
Äâóõêîìïîíåíòíûå ñïèíîðû ϕ èχ îáúåäèíÿþòñÿ â 4-êîìïîíåíòíûé ñïèíîð, èëè áèñïèíîð¡175ýðìèòîâû è óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì¢ϕ′ = exp − 12 θσn ϕ = [ ch (θ/2) − σn sh (θ/2) ] ϕ ,′ 43. Ñèììåòðè÷íàÿ îðìà óðàâíåíèÿ ÄèðàêàµI 00 −I0 BC 0¶¶.,γmγn + γnγm = −2δmn I ; m, n = x, y, z176ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀóäîâëåòâîðÿåòñÿ, åñëè âûáðàòü Bn = −Cn = σn , ãäå σn ìàòðèöû Ïàóëè.
Òîãäàγ0 =µI 00 −I¶,γ=µ0 σ−σ 0¶.(43.15)Ýòîò âûáîð ñîîòâåòñòâóåò òàê íàçûâàåìîìó ñòàíäàðòíîìóïðåäñòàâëåíèþ. Ñóùåñòâóþò äðóãèå ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòðèöÄèðàêà, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç ñòàíäàðòíîãî ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ γµ → U γµ U −1 , ãäå U óíèòàðíàÿ ìàòðèöà. 44.åëÿòèâèñòñêàÿÄèðàêàêîâàðèàíòíîñòüóðàâíåíèÿÏóñòü ïðè ïðîèçâîëüíîì ïðåîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà 4-ðàäèóñâåêòîð xµ ïðåîáðàçóåòñÿ ïî çàêîíóx′µ = Λµν xν ,à ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå áèñïèíîðà Äèðàêà çàäàåòñÿìàòðèöåé U :′′Ψ (x ) = U Ψ(x) .×òîáû äîêàçàòü ðåëÿòèâèñòñêóþ êîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿÄèðàêà, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî íàéäåííûå âûøå îïåðàòîðûγµ ïðåîáðàçóþòñÿ êàê 4-âåêòîðû, ò.
å. ïðåîáðàçîâàííûé îïåðàòîð U −1 γµ U óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ (ñð. ñ îáñóæäåíèåìïðåîáðàçîâàíèÿ îïåðàòîðà σ îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ â 36.3)U −1γµU = Λµν γ ν .(44.1)Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü¡i¢ íåïîñðåäñòâåííî äëÿ ïîâîðîòîâ (43.10), êîãäà U = exp 2 θΣn , è¡ äëÿ ïðîñòîãîïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà¢1(43.11), êîãäà U = exp − 2 θαn . Ïðè ýòîì îêàçûâàþòñÿ ïîëåçíûìè ñîîòíîøåíèÿΣ γ0 = γ0 Σ , α γ0 = −γ0 α = −γ ,(44.2) 44. åëÿòèâèñòñêàÿ êîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ ÄèðàêàΣj γk =αj γk =½½−γk Σj = iεjkl γl−γk Σj177ïðè j 6= kïðè j = k ,ïðè j 6= kïðè j = k .γk αj−γ0Çíà÷èò, óðàâíåíèå (1) ñïðàâåäëèâî è äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ, êîòîðûé âñåãäà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîìáèíàöèþ ýòèõ äâóõïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé.Íàçîâåì óíêöèþΨ(x) ≡ Ψ+(x)γ0(44.3)äèðàêîâñêè ñîïðÿæ¼ííîé óíêöèè Ψ(x). Îíà ïðåîáðàçóåòñÿ ïîçàêîíó′Ψ = Ψ+ U +γ0 ,ïðè÷åì äëÿ ïîâîðîòîâ (43.10) è äëÿ ïðîñòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿËîðåíöà (43.11) èç (2) ñëåäóåò, ÷òîU +γ0 = γ0U −1 .Çíà÷èò, è â îáùåì ñëó÷àå äèðàêîâñêè ñîïðÿæ¼ííàÿ óíêöèÿïðåîáðàçóåòñÿ ïî çàêîíó′Ψ = Ψ̄ U −1 ,(44.4)îòêóäà âèäíî, ÷òî âåëè÷èíà Ψ Ψ ïðåîáðàçóåòñÿ ïî çàêîíó′Ψ Ψ′ = Ψ Ψ ,(44.5)ò.
å. ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì, à âåëè÷èíà Ψ γµ Ψ ïðåîáðàçóåòñÿ ïîçàêîíó′Ψ γµ Ψ′ = Λµν Ψ̄ γ ν Ψ ,(44.6)ò. å. ÿâëÿåòñÿ 4-âåêòîðîì. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âåëè÷èíà Ψ γµ γν Ψ ÿâëÿåòñÿ 4-òåíçîðîì âòîðîãî ðàíãà, à âåëè÷èíûΨ γ5Ψ è Ψ γ5γµΨ, ãäåγ5 = −iγ0γxγy γz =µ0−I−I0¶,(44.7)178ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀïðåîáðàçóþòñÿ êàê ïñåâäîñêàëÿð è àêñèàëüíûé 4-âåêòîð ñîîòâåòñòâåííî. 45.Ïëîòíîñòü òîêà. Çàðÿäîâîå ñîïðÿæåíèå.
Îòðàæåíèå âðåìåíèÄèðàêîâñêè ñîïðÿæ¼ííàÿ óíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ³´e−i~∂µ − Aµ Ψ(x) γ µ − mc Ψ(x) = 0 .c(45.1)Äîìíîæèì ýòî óðàâíåíèå ñïðàâà íà Ψ(x) è âû÷òåì èç óðàâíåíèÿ (43.2), äîìíîæåííîãî ñëåâà íà Ψ(x), òîãäà ïîëó÷èì óðàâíåíèå¡¢∂µ Ψ(x) γ µ Ψ(x) + Ψ(x) γ µ ∂µ Ψ(x) = 0 ,êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ 4-ìåðíîãîòîêà. Åñëè ââåñòè 4-ìåðíóþ ïëîòíîñòü òîêàjµ(x) = c Ψ(x) γµ Ψ(x) ,(45.2)òî îíà áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè∂µj µ(x) = 0 .(45.3)Äëÿ äèðàêîâñêîé ÷àñòèöû ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè+̺(x) = j0(x)/c = Ψ(x)γ0Ψ(x) = Ψ (x)Ψ(x)(45.4)j(x) = c Ψ(x) γΨ(x) = c Ψ (x)αΨ(x) ,(45.5)ãäå ýðìèòîâû ìàòðèöû α = γ0 γ îïðåäåëåíû â (43.12).
Óðàâíåíèå Äèðàêà è ïëîòíîñòü äèðàêîâñêîãî òîêà, ðàçóìååòñÿ, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (42.2).179àññìîòðèì åùå ñâîéñòâà óðàâíåíèÿ Äèðàêà îòíîñèòåëüíîC (çàðÿäîâîå ñîïðÿæåíèå) è T (îòðàæåíèå âðåìåíè) ïðåîáðàçîâàíèé. Åñëè óíêöèÿ Ψ(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (43.2),òî ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óíêöèÿΨC (x) = CΨ(x) , C = γy γ0 = −αy(45.6)ñîîòâåòñòâóåò çàðÿäîâî-ñîïðÿæ¼ííîé ÷àñòèöå, ò. å. óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþhie ´γ i~∂µ + Aµ − mc ΨC (x) = 0 ,(45.7)cêîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò óðàâíåíèÿ (43.2) äëÿ Ψ(x) ëèøü çíàêîìçàðÿäà e.
Àíàëîãè÷íî, åñëè óíêöèÿ Ψ(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâµ³íåíèþ (43.3), òî ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óíêöèÿΨT (t, r) = UT Ψ(−t, r) , UT = iγz γxγ0(45.8)óäîâëåòâîðÿåò òîìó æå óðàâíåíèþ. Íàêîíåö, óêàæåì, ÷òî äåéñòâèå òð¼õ ïðåîáðàçîâàíèé C , P è T îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìΨCP T (t, r) = iγ5Ψ(−t, −r) ,(45.9)ãäå ìàòðèöà γ5 îïðåäåëåíà â (44.7). 46.ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé óíêöèåé, à ïëîòíîñòü3-ìåðíîãî òîêà ðàâíà+ 46. àìèëüòîíîâà îðìà óðàâíåíèÿ Äèðàêààìèëüòîíîâà îðìà óðàâíåíèÿ ÄèðàêàÓìíîæèâ óðàâíåíèå (43.2) íà γ0 ñëåâà, ïîëó÷èì óðàâíåíèåÄèðàêà â ãàìèëüòîíîâîé îðìå:i~∂Ψ= Ĥ Ψ,∂tĤ = α(cp̂ − eA) + mc2γ0 + eA0 , p̂ = −i~∇ .(46.1)Îòñþäà îïåðàòîð ñêîðîñòè ðàâåív̂ =i[Ĥ, r] = c α ,~(46.2)180ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀà îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ âî âíåøíåì ïîëåd ³e ´p̂ − A = eE + eα × Bdtcÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì êëàññè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿmvdvp= eE + e × B .dt 1 − (v/c)2c öåíòðàëüíîì ïîëå (ïðè A = 0, eA0 = U (r)) îðáèòàëüíûéìîìåíò l̂ = r × p̂ è ñïèíŝ =11Σ=22â îòäåëüíîñòè íå ñîõðàíÿþòñÿ:dl̂ic= [Ĥ, l̂] = α × p̂,dt ~~µσ 00 σ¶ 47.
Ñâîáîäíîå äâèæåíèå äèðàêîâñêîé ÷àñòèöûÒàêèì îáðàçîì, ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà ìîæíî îïèñûâàòü, çàäàâàÿ îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå σ = ±1/2 îïåðàòîðà ŝz â ñèñòåìå ïîêîÿ ýëåêòðîíà.2. Åñëè óìíîæèòü óðàâíåíèå (3) ñêàëÿðíî íà âåêòîð p,òî ïðàâàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî ñîîòíîøåíèÿ òàêæå îáðàòèòñÿ âíóëü. Ïîýòîìó îïåðàòîð ñïèðàëüíîñòè Λ̂ (ïðîåêöèè ñïèíà íàíàïðàâëåíèå èìïóëüñà ýëåêòðîíà) êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì[Ĥ, Λ̂] = 0 , Λ̂ = ŝ ·Åñòåñòâåííî, îäíàêî, ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ ïîëíûé ìîìåíò ĵ = l̂ + ŝ,dĵi= [Ĥ, ĵ] = 0 .dt ~àññìîòðèì òåïåðü ñâîáîäíûé ýëåêòðîí â ñîñòîÿíèè ñ îïðåäåëåííûì èìïóëüñîì p.
 ýòîì ñëó÷àå ãàìèëüòîíèàí2Ĥ = cαp + mc γ0òàêæå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì ñïèíà:(46.5)Çàäà÷è46.1. Óêàçàòü ðåëÿòèâèñòñêèå åäèíèöû ýíåðãèè, âðåìåíè,äëèíû, ñèëû.46.2. Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî hn| [Ĥ, p̂r] |ni = 0, ãäåĤ = αp + γ0m −(46.4)Ze2,rïîêàçàòü, ÷òî ýíåðãèÿ En = hn| γ0 |ni.46.3. Íàéòè óðîâíè ýíåðãèè ýëåêòðîíà â îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå.(46.3)Îäíàêî ïîñëåäíÿÿ îðìóëà ïîäñêàçûâàåò äâà âîçìîæíûõ èñêëþ÷åíèÿ.1. Åñëè p → 0 (÷òî ñïðàâåäëèâî â ñèñòåìå ïîêîÿ ýëåêòðîíà),òî ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (3) îáðàùàåòñÿ â íóëü[Ĥ, ŝ] = 0 ïðè p → 0 .p.|p|Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà Λ̂ ðàâíû λ = ±1/2, à åãî ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ íàçûâàþòñÿ ñïèðàëüíûìè ñîñòîÿíèÿìè.dŝic= [Ĥ, ŝ] = − α × p̂ .dt ~~[Ĥ, ŝ] = i c α × p .181 47.Ñâîáîäíîå äâèæåíèå äèðàêîâñêîé ÷àñòèöûCâîáîäíîìó äâèæåíèþ ÷àñòèöû ñ îïðåäåëåííûì 4-èìïóëüñîìp = (E, p) ñîîòâåòñòâóåò ïëîñêàÿ âîëíà7µµΨ(x) = u(p) e−ipµx , pµxµ = Et − pr ,7 Çäåñü è íèæå â 4849 (çà èñêëþ÷åíèåì 48.1) ïîëàãàåì~ = 1, c = 1.182ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀãäå áèñïèíîð u(p) óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéµ(γµp − m) u(p) = 0 .Äëÿ äâóõêîìïîíåíòíûõ ñïèíîðîâ ϕ(p) è χ(p), ÷åðåç êîòîðûåâûðàæàåòñÿ áèñïèíîðu(p) =ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèéµ(E − m) ϕ − σp χ = 0 ,ϕ(p)χ(p)¶,σp ϕ − (E + m) χ = 0 .Ýòà ñèñòåìà èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå, åñëè åå îïðåäåëèòåëüðàâåí íóëþ, ò.
å. åñëèE 2 = p2 + m2 .Ââåäåì àðèìåòè÷åñêèé, ïîëîæèòåëüíûé êîðåíüpε = + p2 + m 2 .Ñóùåñòâóþò äâå âîçìîæíîñòè (ðèñ. 27):E+mc20−mc2èñ. 27. Âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè äëÿ ñâîáîäíîé äèðàêîâñêîé ÷àñòèöû:pE = + m2 c4 + p2 c2 > mc2ùåëè ñîîòâåòñòâóåòpE = − m2 c4 + p2 c2 < −mc2 . Äèðàêîâñêîé22îáëàñòü ýíåðãèé: −mc < E < mcè1. Ýíåðãèÿ ïîëîæèòåëüíà:E = +ε , χ =σpϕ.ε+m 47. Ñâîáîäíîå äâèæåíèå äèðàêîâñêîé ÷àñòèöû183Ïðè íîðìèðîâêåϕ + ϕ = 1 , u+ u = 1ïîëó÷àåì áèñïèíîðu(ε, p) ≡ up =rε+m2ε2. Ýíåðãèÿ îòðèöàòåëüíà:µϕ ϕE = −ε, u(−ε, p) =r¶,  =ε+m2εµσpε+m− χχ¶(47.1).×åòûðå êîìïîíåíòû âîëíîâîé óíêöèè ñîîòâåòñòâóþò äâóìâîçìîæíûì îðèåíòàöèÿì ñïèíà ïðè äâóõ âîçìîæíûõ çíàêàõýíåðãèè. Èñêëþ÷èòü ñîñòîÿíèÿ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé íåëüçÿ, òàê êàê â êâàíòîâîé ìåõàíèêå âîçìîæíû ïåðåõîäû ìåæäóñîñòîÿíèÿìè. Äèðàê ïîñòóëèðîâàë, ÷òî óðîâíè ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé çàïîëíåíû.
Òîãäà ïåðåõîäîâ íà íèõ íåò â ñèëóïðèíöèïà Ïàóëè. Äûðêà â äèðàêîâñêîì ìîðå âåäåò ñåáÿ êàê ÷àñòèöà òîé æå ìàññû, ÷òî è ýëåêòðîí, íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûìçàðÿäîì, ïðè÷¼ì îòñóòñòâóþùåìó ýëåêòðîíó ñ ýíåðãèåé (−ε) èèìïóëüñîì (−p) ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòèöà-äûðêà ñ ýíåðãèåé (+ε)è èìïóëüñîì (+p).  êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ÷àñòèöà-äûðêà âûñòóïàåò êàê àíòè÷àñòèöà, à ïðåäñòàâëåíèå î äèðàêîâñêîì ìîðåîêàçàëîñü èçëèøíèì. Òàêàÿ àíòè÷àñòèöà äëÿ ýëåêòðîíà áûëàâñêîðå îáíàðóæåíà (Ê.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
