1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 20
Текст из файла (страница 20)
 èòîãå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ðàâíî (âîáû÷íûõ åäèíèöàõ)dσe4c4= 2 4 4dΩ 4ε v sin (θ/2) 51.µ¶v2 21 − 2 sin (θ/2) .cÒîíêàÿ ñòðóêòóðà óðîâíåé àòîìà âîäîðîäàÅñëè îãðàíè÷èòüñÿ â âûðàæåíèè äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòàïåðâîé ðåëÿòèâèñòñêîé ïîïðàâêîé, ïîëîæèâ â íåé ε = mc2 , òîïîëó÷èì22 24πee~U (q) ≈ − 2 + π 2qc½i[q × p]σ1−22m~m2q2¾193(îïóñêàåì äëÿ êðàòíîñòè ϕ+f è ϕi ). Îòëè÷èÿ óðüå-îáðàçà ýòîé9âåëè÷èíû , ðàâíîãîe2 e2~2U (r) = − + 2 2rmcϕ+f (A + i nσ B) ϕi 6= 0,12 51. Òîíêàÿ ñòðóêòóðà óðîâíåé àòîìà âîäîðîäà½πlσδ(r) + 324r¾,îò êóëîíîâñêîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (−e2 /r) ñîñòàâëÿþò ðåëÿòèâèñòñêóþ ïîïðàâêó ê âçàèìîäåéñòâèþ ýëåêòðîíà ñ ÿäðîì:V̂1 =e2~2πe2~2lσ+δ(r) .4m2c2r32m2c2Ïåðâîå ñïèí-îðáèòàëüíîå ñëàãàåìîå â ýòîé ïîïðàâêå ìîæíî êà÷åñòâåííî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê âçàèìîäåéñòâèå ìàãíèòíîãîìîìåíòà ýëåêòðîíà µ = ee ~σ/(2mc) â åãî ñîáñòâåííîé ñèñòåìå ñ ìàãíèòíûì ïîëåì B = −(v/c) × E , âîçíèêàþùèì â ýòîéñèñòåìå èç-çà äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ÿäðàE = epr/r3 (çäåñü ep è ee = −ep çàðÿä ïðîòîíà è ýëåêòðîíà).
Âòîðîå δ -óíêöèîííîå ñëàãàåìîå â ïîïðàâêå òàêæå èìååòñïèíîâîå ïðîèñõîæäåíèå è ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî êâàíòîâûì.Ó÷èòûâàÿ íàéäåííóþ ðàíåå ïîïðàâêó¡ 2 ¢2p̂V̂2 = − 3 28m cê çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îò èìïóëüñà (ñì. 42), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî âîçìóùåíèÿ â êóëîíîâñêîé çàäà÷å:¡ 2¢2p̂πe2~2e2~2l̂σ +δ(r) .V̂ = V̂1 + V̂2 = − 3 2 +8m c4m2c2r32m2c29 Ïðè âû÷èñëåíèè óðüå-îáðàçà èñïîëüçóåì èíòåãðàëû:Z4π iqr d3 q1r1e=,= −∇ = −q2(2π)3r r3rZeiqrd3 q= δ(r) .(2π)3Z4πiq iqr d3 qe,q2(2π)3(51.1)194ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀÑîñòîÿíèÿ ñ îäíèì è òåì æå l, íî ñ ðàçíûìè ïîëíûìè ìîìåíòàìè j íå ñìåøèâàþòñÿ ýòèì âîçìóùåíèåì, ïîñêîëüêó îíî ñîõðàíÿåò ïîëíûé ìîìåíò.
Ñîñòîÿíèÿ ñ îäíèì è òåì æå j , íî ñðàçíûìè l = j ± 12 íå ñìåøèâàþòñÿ âîçìóùåíèåì V̂ , ïîñêîëüêóîíî ñîõðàíÿåò ÷¼òíîñòü, à ÷¼òíîñòü òàêèõ ñîñòîÿíèé ïðîòèâîïîëîæíà. Òàêèì îáðàçîì, ïðè âû÷èñëåíèè ðåëÿòèâèñòñêîé ïîïðàâêè ê ýíåðãèè ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ òåîðèåé âîçìóùåíèé áåçâûðîæäåíèÿ.Ñðåäíåå çíà÷åíèå ïåðâîãî ñëàãàåìîãî áûëî âû÷èñëåíî ïðèðàññìîòðåíèè àíàëîãè÷íîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà Ôîêà îðäîíà (ñì. 42).Ñðåäíåå çíà÷åíèå âòîðîãî ñëàãàåìîãî îòëè÷íî îò íóëÿ ëèøüïðè l = 0:hnjl| δ(r) |njli = | ψ(0) |2 δl0 .Ñðåäíåå çíà÷åíèå ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî îòëè÷íî îò íóëÿëèøü ïðè l 6= 0:¯¯+ ·¸¿ À¯ l̂σ ¯31¯¯njl ¯ 3 ¯ njl = j(j + 1) − l(l + 1) −· (1 − δl0) .¯r ¯4r3*3d5/23p3/2, 3d3/2 n = 33s1/2, 3p1/2¾2p3/2n=22s1/2, 2p1/22s1/2}n = 1Òîíêàÿ ñòðóêòóðà óðîâíåé àòîìà âîäîðîäà ñîãëàñíîóðàâíåíèþ Äèðàêà 51.
Òîíêàÿ ñòðóêòóðà óðîâíåé àòîìà âîäîðîäà195Âåëè÷èíû | ψ(0) |2 è h1/r3 i óäîáíî âû÷èñëèòü, âîñïîëüçîâàâøèñü òîæäåñòâîìãäå¸d, Ĥr ,hnjl| Ĉ |njli = 0 , Ĉ =dr¶µ 2~22de2l(l + 1)d+Ĥr = −−−2m dr2 r drr2r· ãàìèëüòîíèàí ðàäèàëüíîãî äâèæåíèÿ.
ßâíîå âû÷èñëåíèåêîììóòàòîðà äà¼òĈ =~2 d~2l(l + 1) e2+ 2.−mr2 drmr3rÏåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó¿À ZZ ∞1 d∗ 1 dψ 2ψ=dΩr dr =r2 drr2 dr0ZZ ∞1d|ψ|2=dr = −2π|ψ(0)|2.dΩ2dr0Íàïîìíèì, ÷òî ψ(0) 6= 0 ëèøü äëÿ l = 0. Òàêèì îáðàçîì, èçòîæäåñòâà hnjl| Ĉ |njli = 0 íàõîäèì¿ 2¿ 2ÀÀ2π~2~ l(l + 1)e2|ψ(0)| δl0 +(1 − δl0) =3mmrr2èëè (ñ ó÷åòîì íàéäåííîãî ðàíåå (ñì. (27.1)) çíà÷åíèÿ h1/r2 i)1hnjl| δ(r) |njli = | ψ(0) |2 = 3 3 δl0 ,πaBn¯ ¯¿À¯ 1 ¯1njl ¯¯ 3 ¯¯ njl = 3 3(1 − δl0).raBn l(l + 1)(l + 1/2) èòîãå ïîïðàâêà ê ýíåðãèè ðàâíà∆Enjme4 α2=− 2 32~ nµ13−j + 1/2 4n¶.(51.2)Âèäíî, ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ âûðîæäåíèå óðîâíåé ñ îäèíàêîâûìèn è j , íî ðàçíûìè l.196ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀÇàäà÷è51.1.
Íàéòè ðàñùåïëåíèå α-ëèíèè ñåðèè Áàëüìåðà (ïåðåõîäñ óðîâíÿ n = 3 íà óðîâåíü n = 2) ñ ó÷åòîì òîíêîé ñòðóêòóðûäëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà Ôîêà îðäîíà è óðàâíåíèÿ Äèðàêà.51.2. Îöåíèòü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòèêðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå Zc çàðÿäà òî÷å÷íîãî ÿäðà, ïðè êîòîðîìâ ðåëÿòèâèñòñêîé êóëîíîâñêîé çàäà÷å âîçíèêàåò ïàäåíèå íàöåíòð.51.3. Ïóñòü äâà òî÷å÷íûõ ÿäðà ñ çàðÿäàìè Z1 è Z2 íàõîäÿòñÿíà ðàññòîÿíèè R äðóã îò äðóãà. Ïðè ýòîì Z1 < Zc , Z2 < Zc ,Z1 +Z2 > Zc.
Îöåíèòü, ïðè êàêîì R â çàäà÷å âîçíèêàåò ïàäåíèåíà öåíòð. 52. îæäåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííûõ ïàð ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì197pïîëíàÿ ýíåðãèÿ E = ± m2 c4 + p2 c2 − eEz è ïîïåðå÷íûé èìïóëüñ p⊥ = (px , py , 0).  ýòîì ïîëå îáû÷íàÿ äèðàêîâñêàÿ ùåëü(ðèñ. 12) ïåðåêàøèâàåòñÿ (ðèñ. 28).  ðåçóëüòàòå ýëåêòðîí, êîòîðûé èìåë îòðèöàòåëüíóþ ýíåðãèþ â îòñóòñòâèå ïîëÿ, ìîæåòE+mc2z1z2−mc2èñ. 28. Èçìåíåíèå äèðàêîâñêîé ùåëè ïðè íàëè÷èè ïîñòîÿííîãî ýëåêòðè- 52.îæäåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííûõ ïàðïîñòîÿííûì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåìîæäåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííûõ ïàð âíåøíèì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì çàìå÷àòåëüíîå ïðåäñêàçàíèå ðåëÿòèâèñòñêîéêâàíòîâîé ìåõàíèêè (Çàóòåð, 1931; Øâèíãåð, 1951). Íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, äîñòàòî÷íî áîëüøèå äëÿ ðåàëüíîãîíàáëþäåíèÿ ýåêòà, äîñòèãàþòñÿ â ñòîëêíîâåíèÿõ àòîìíûõÿäåð ñ áîëüøèìè çàðÿäàìè ïðè ñáëèæåíèè ÿäåð íà ìàëûå ðàññòîÿíèÿ. Ìû ðàññìîòðèì ìîäåëü ÿâëåíèÿ, äîïóñêàþùóþ òî÷íîå ðåøåíèå, ñëó÷àé îäíîðîäíîãî ïîñòîÿííîãî âíåøíåãî ïîëÿ E . Áóäåò èñïîëüçîâàíî ïðåäñòàâëåíèå î äèðàêîâñêîì ìîðå,ýòî ðåçêî óïðîùàåò ðåøåíèå çàäà÷è.Íà÷íåì ñ ðàñ÷åòà îñíîâíîé, ýêñïîíåíöèàëüíîé çàâèñèìîñòèýåêòà.
Íàïðàâèì îñü z âäîëü ïîñòîÿííîé ñèëû F = −eE =(0, 0, eE), òîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U = −eEz (â ýòîì ïàðàãðàå e îáîçíà÷àåò ýëåìåíòàðíûé çàðÿä, òàê ÷òî çàðÿä ýëåêòðîíà ðàâåí (−e)). Ïðè äâèæåíèè â òàêîì ïîëå ñîõðàíÿåòñÿ÷åñêîãî ïîëÿòåïåðü ïðîòóííåëèðîâàòü ñêâîçü ùåëü (ñì. ïóíêòèðíóþ ëèíèþíà ðèñ. 28) è óéòè íà áåñêîíå÷íîñòü êàê îáû÷íàÿ ÷àñòèöà. Êîíå÷íî, äûðêà, âîçíèêøàÿ òàêèì îáðàçîì, ýòî íå ÷òî èíîå,êàê ïîçèòðîí.
pÏóñòü E = − m2 c4 + p2 c2 − eEz ýíåðãèÿ ÷àñòèöû äèðàêîâñêîãî ìîðÿ. Ïðîäîëüíûé èìïóëüñ ÷àñòèöû1pz (z) =cq(eEz + E)2 − m2c4 − p2⊥c2îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðèz1,2−E=∓eEpm2c4 + p2⊥c2.eEÈñõîäíàÿ ÷àñòèöà èç äèðàêîâñêîãî ìîðÿ âõîäèò â áàðüåð â òî÷êå z = z1 è âûõîäèò èç íåãî ïðè z = z2 . Ïîäáàðüåðíîå äåéñòâèåëåãêî íàõîäèòñÿ:S=Zz2z1| p(z) | dz =π (m2c2 + p2⊥)c.2eE198ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ èòîãå ýêñïîíåíöèàëüíûé àêòîð â âåðîÿòíîñòè W ïîäáàðüåðíîãî ïåðåõîäà òàêîâ:W ∼e−2S/~¸·π (m2c2 + p2⊥)c.= exp −eE~(52.1)Çàìåòèì, ÷òî âíåøíåå ïîëå ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûì, åñ−ëè îíî ñëàáî ìåíÿåòñÿ íà ïîäáàðüåðíîì ïóòè.
Îòíîøåíèå l/λeäëèíû ýòîãî ïóòè l = z2 − z1 ∼ mc2 /(eE) ê êîìïòîíîâñêîé−äëèíå âîëíû ýëåêòðîíà λe = ~/(mc) ðàâíî ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ïîäáàðüåðíîìó äåéñòâèþ S â åäèíèöàõ ~, òàê ÷òî â êâàçè−êëàññè÷åñêîé ñèòóàöèè l ≫ λe.Âû÷èñëèì òåïåðü ïðåäýêñïîíåíöèàëüíûé àêòîð â âåðîÿòíîñòè ðîæäåíèÿ ïàð.
Ýêñïîíåíòà (1) ýòî âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî îäíà ÷àñòèöà èç äèðàêîâñêîãî ìîðÿ, êîòîðàÿ ïîäõîäèò ñëåâà ê áàðüåðó (ñì. ðèñ. 28), ïðîòóííåëèðóåò ñêâîçü íåãî, ñòàâ,òàêèì îáðàçîì, ðåàëüíûì ýëåêòðîíîì. àññìîòðèì èñõîäíûå÷àñòèöû â ýëåìåíòå èìïóëüñíîãî ïðîñòðàíñòâà d3 p = d2 p⊥ dpz ,ïëîòíîñòü êîòîðûõ ðàâíà3dn = 2dp,(2π~)3ãäå ìíîæèòåëü 2 ñîîòâåòñòâóåò äâóì âîçìîæíûì ïðîåêöèÿìñïèíà ýëåêòðîíà.  åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ïëîùàäêó dx dy ñëåâà îò áàðüåðà ïðîéäåòdṄ = djz (z) dx dy÷àñòèö, ãäå òîêdjz (z) = vz (z) dn . ýòî âûðàæåíèå âõîäèò âåëè÷èíàvz (z)dpz =∂Edpz = dE ,∂pz 52. îæäåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííûõ ïàð ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì199ãäå ÷àñòíàÿ ïðèçâîäíàÿ áåðåòñÿ ïðè èêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõz è p⊥.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, èíòåðâàëýíåðãèé òóííåëèðóþùèõ ÷àñòèö dE ïðÿìî ñâÿçàí ñ èíòåðâàëîìdz ïðîäîëüíûõ êîîðäèíàò òî÷åê, â êîòîðûõ ÷àñòèöû âõîäÿò âáàðüåð: dE = eE dz (ñ òî÷íîñòüþ äî íåñóùåñòâåííîãî çäåñü çíàêà). ×òîáû ïîëó÷èòü ïîëíîå ÷èñëî ïàð, ðîæäåííûõ â åäèíèöóâðåìåíè â îáúåìå dV = dx dy dz , ýêñïîíåíòó (1) ñëåäóåò äîìíîæèòü íà dṄ .  èòîãå ïîëíîå ÷èñëî ïàð, ðîæäåííûõ â åäèíèöóâðåìåíè â åäèíèöå îáúåìà, ðàâíîP1/2dW≡= 2 eEdt dVZ·¸π(m2c2 + p2⊥) cd2p⊥exp −.(2π~)3eE~Èíòåãðèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ïî ïîïåðå÷íûì èìïóëüñàì, íàõîäèìîêîí÷àòåëüíûé îòâåò:P1/2µ¶e2E 2m2 c3πE0==exp−.,E04π 3~2cEe~(52.2)Ìû ñíàáäèëè âåðîÿòíîñòè P â îðìóëàõ, ïîëó÷åííûõ âûøå, èíäåêñîì 1/2, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðåçóëüòàò îòíîñèòñÿ ê ÷àñòèöàì ñî ñïèíîì ïîëîâèíà.
àçóìååòñÿ, ïîíÿòèå ìîðÿÄèðàêà, à ñ íèì è íàø ïîäõîä, íåïðèìåíèìû ñàìè ïî ñåáå êðîæäåíèþ ïàð çàðÿæåííûõ áåññïèíîâûõ ÷àñòèö, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì Êëåéíà Ôîêà îðäîíà. Íî â èñïîëüçóåìîì êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè âåðîÿòíîñòè ðîæäåíèÿ÷àñòèö ðàçíîãî ñïèíà îòëè÷àþòñÿ ëèøü ÷èñëîì ñïèíîâûõ ñîñòîÿíèé. Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü ðîæäåíèÿ ñêàëÿðíûõ ÷àñòèö, âû÷èñëåííàÿ â ýòîì ïðèáëèæåíèè, âäâîå ìåíüøå:µ¶πE0e2E 2exp −.P0 =8π 3~2cE(52.3)Ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ ïîñòîÿííîãî ýëåê-200ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀòðè÷åñêîãî ïîëÿ òàêîâû:P1/2P0¶µ∞e2E 2 X 1πE0,=exp −n4π 3~2c n=1 n2E¶µ∞e2E 2 X (−1)n−1πE0.=exp −n8π 3~2c n=1n2Eàçóìååòñÿ, ó÷åò âûñøèõ ÷ëåíîâ, ñ n ≥ 2, â ýòèõ ñóììàõ îñìûñëåí ëèøü äëÿ î÷åíü ñèëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé, ïðè E&E0 .Äëÿ ìåíüøèõ ïîëåé îðìóëû (2) è (3) âåðíû êîëè÷åñòâåííî.Çàäà÷à52.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
