1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ëþáóþ êâàäðàòíóþ 2 × 2 ìàòðèöóA ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåA = a0 I + a σ, a0 =11Sp A, a = Sp (Aσ) .2236.3. Ïðåîáðàçîâàíèå ñïèíîðîâ ïðè ïîâîðîòàõ è îòðàæåíèÿõêîîðäèíàòÎáùèé âèä îïåðàòîðà ïîâîðîòà íà óãîë θ âîêðóã îñè n íàìèçâåñòåí (ñì. 14). Äëÿ ñïèíîðíîé âîëíîâîé óíêöèè ýòîò îïåðàòîð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ìàòðèöûUθ = eiσnθ/2 .Òàê êàê äëÿ ìàòðèö Ïàóëè ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ(σn)k =½σnIåñëè k íå÷¼òíîå ÷èñëî,åñëè k ÷¼òíîå ÷èñëîòî îïåðàòîð ïîâîðîòà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåUθ =∞X(iθ/2)kk=0k!147Ïîýòîìó çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ñïèíîðîâ ïðè ïîâîðîòå òàêîâ:36.2. Ìàòðèöû Ïàóëèµ 36.
Ñïèí è ñïèíîðû(σn)k = I cos (θ/2) + i σn sin (θ/2) .Ψ′(r′, t) = Uθ Ψ(r, t) = [I cos (θ/2) + i σn sin (θ/2) ] Ψ(r, t) ,(36.2)′ïðè ýòîì ñîñòîÿíèå Ψ ñîîòâåòñòâóåò âåêòîðó ñïèíà, ïîâåðíóòîìó íà óãîë (−θn) ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðó ñïèíà â ñîñòîÿíèè Ψ(ñì. 23.1). Èç (2) âèäíî, ÷òî ïðè ïîâîðîòå íà 2π êîìïîíåíòûñïèíîðîâ èçìåíÿþò çíàê:Ψ′ = −Ψ ïðè θ = 2π .Ïîêàæåì, ÷òî îïåðàòîð ñïèíà ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ïîâîðîòà âåäåò ñåáÿ êàê âåêòîð, ò. å. ïðåîáðàçîâàííûé îïåðàòîðU −1 σU = Λσ , ãäå Λ ìàòðèöà ïîâîðîòà r′ = Λr.Òàê êàê ïðîèçâîëüíûé ïîâîðîò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàêïîñëåäîâàòåëüíîñòü òðåõ ïîâîðîòîâ âîêðóã îñè z , çàòåì âîêðóãîñè y è ñíîâà âîêðóã îñè z , òî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïîâåäåíèå îïåðàòîðà ñïèíà ïðè âðàùåíèÿõ âîêðóã îñåé z è y .
Ïðèïîâîðîòå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà óãîë θ âîêðóã îñè z ðàäèóñâåêòîð ïðåîáðàçóåòñÿ ïî çàêîíóx′ = x cos θ + y sin θ , y ′ = −x sin θ + y cos θ , z ′ = z ,à îïåðàòîð ïîâîðîòà èìååò âèäUθ ≡ Uz (θ) = cos (θ/2) + i σz sin (θ/2) .Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ìàòðèö Ïàóëè, ïîëó÷èìUz−1(θ) σx Uz (θ) == [I cos (θ/2) − iσz sin (θ/2)] σx [I cos (θ/2) + iσz sin (θ/2)] == σx cos θ + σy sin θ ,à òàêæåUz−1(θ) σy Uz (θ) = −σx sin θ + σy cos θ ; Uz−1(θ) σz Uz (θ) = σz ,148ëàâà VI.ÑÏÈÍò. å. â ýòîì ñëó÷àå îïåðàòîð ñïèíà ïðåîáðàçóåòñÿ òàê æå, êàêè ðàäèóñ-âåêòîð. àññìîòðèì òåïåðü ïîâîðîò íà óãîë θ âîêðóãîñè y , ïðè êîòîðîìx′ = x cos θ − z sin θ , z ′ = x sin θ + z cos θ , y ′ = y .Ïðåîáðàçîâàíèÿ îïåðàòîðà ñïèíà â ýòîì ñëó÷àå òàêîâû:Uy−1(θ) σx Uy (θ) == [I cos (θ/2) − iσy sin (θ/2)] σx [I cos (θ/2) + iσy sin (θ/2)] == σx cos θ − σz sin θ ,à òàêæåUy−1(θ) σy Uy (θ) = σx sin θ + σz sin θ ; Uy−1(θ) σy Uz (θ) = σy ,ò.
å. è â ýòîì ñëó÷àå îïåðàòîð ñïèíà ïðåîáðàçóåòñÿ òàê æå, êàêè ðàäèóñ-âåêòîð. Òàêèì îáðàçîì, è ïðè ïðîèçâîëüíîì ïîâîðîòåîïåðàòîð ñïèíà ŝ = 12 σ äåéñòâèòåëüíî ïðåîáðàçóåòñÿ ïî îáû÷íîìó âåêòîðíîìó çàêîíó:Uθ−1 σ Uθ = Λ σ ,(36.3a)ãäå Λ ìàòðèöà ïîâîðîòà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðåîáðàçîâàíèþr′ = Λr .(36.3b) ÷àñòíîñòè, åñëè ñïèíîðóñîîòâåòñòâóåò ñðåäíåå çíà÷åíèå âåêòîðà ñïèíà âäîëü îñè z , ò. å.Ψ+σΨ = (0, 0, 1) ,ñîîòâåòñòâóåò ñðåäíåå çíà÷åíèå âåêòîðà ñïèíà âäîëü åäèíè÷íîãî âåêòîðàn = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) ,ò.
å.Ψ+n σΨn = n .Ïðè îòðàæåíèè êîîðäèíàò r′ = −r ñïèí (êàê è ìîìåíò èìïóëüñà M = r × p) íå èçìåíÿåò ñâîåãî çíà÷åíèÿ.  ÷àñòíîñòè,íå èçìåíÿåòñÿ è çíà÷åíèå åãî z -ïðîåêöèè, ïîýòîìó êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñïèíîðà ïðåîáðàçóåòñÿ òîëüêî ÷åðåç ñàìó ñåáÿ. Êðîìåòîãî, îòíîñèòåëüíàÿ àçà ýòèõ êîìïîíåíò, îïðåäåëÿþùàÿ àçèìóòàëüíûé óãîë íàïðàâëåíèÿ ñïèíà, òàêæå íå äîëæíà èçìåíÿòüñÿ.  èòîãå,P̂ Ψ(r, t) = ηP Ψ(−r, t) ,cos(θ/2) e−iϕ/2sin(θ/2) eiϕ/2¶(36.4)ãäå ηP àçîâûé ìíîæèòåëü. Ïðè äâîéíîì îòðàæåíèè ìû âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Åñëè îïðåäåëèòü äâîéíîå îòðàæåíèå êàê òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå, òî ηP2 = 1 èηP = ±1. Åñëè æå îïðåäåëèòü äâîéíîå îòðàæåíèå êàê ïîâîðîòíà 2π , òî ηP2 = −1 è ηP = ±i. Òàêèì îáðàçîì, ïðè îòðàæåíèè êîîðäèíàò ìàòðèöà U = ηP I è ïðåîáðàçîâàííûé îïåðàòîðñïèíà ðàâåí èñõîäíîìó:(36.5) èòîãå ïðè îòðàæåíèÿõ è ïîâîðîòàõ ñèñòåìû êîîðäèíàò îïåðàòîð ñïèíà âåäåò ñåáÿ êàê àêñèàëüíûé âåêòîð. 37.òî ñïèíîðóΨn = Uz (−ϕ)Uy (−θ)Ψ =149U −1 σU = σ .µ ¶1Ψ=0µ 37.
Óðàâíåíèå ÏàóëèÓðàâíåíèå ÏàóëèÌàãíèòíûé ìîìåíò çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, îáóñëîâëåííûé ååîðáèòàëüíûì äâèæåíèåì µ̂l , ñâÿçàí ñ åå îðáèòàëüíûì ìîìåí-150ëàâà VI.òîì l̂ ñîîòíîøåíèåìÑÏÈÍÑâÿçü æå ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ÷àñòèöû µ̂s ñ ååñïèíîì ŝ, êàê ïîêàçûâàåò îïûò, çàâèñèò îò âèäà ÷àñòèöû, â÷àñòíîñòè, äëÿ ýëåêòðîíà, ïðîòîíà è íåéòðîíà èìååì:µ̂s = µs2ŝ = µs σ ,¢¡|e|~µe = −1, 001 159 625 187 ± 4 · 10−12 µB ≈ −µB = −,2mec|e|~.µp ≈ 2, 79 µ , µn ≈ −1, 91 µ , µ =2mpcÿÿÑ ó÷åòîì ìàãíèòíîãî ìîìåíòà óðàâíåíèå äëÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñî ñïèíîì s = 1/2 è çàðÿäîì e â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëåïðèíèìàåò âèä (Â. Ïàóëè, 1927)∂Ψi~= ĤΨ ,∂te ´21 ³p̂ − A + eφ − µ̂sB ,Ĥ =2mc(37.1)â êîòîðîì âîëíîâàÿ óíêöèÿ äâóõêîìïîíåíòíûé ñïèíîðΨ=µΨ1(r, t)Ψ2(r, t)¶Zè âåêòîð ñïèíà ýëåêòðîíà ïðåöåññèðóþò âîêðóã íàïðàâëåíèÿìàãíèòíîãî ïîëÿ B ñ îäíîé è òîé æå (öèêëîòðîííîé) ÷àñòîòîéωc = −eB.mcÏîýòîìó ïðîåêöèÿ ñïèíà íà íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè v îñòàåòñÿ íåèçìåííîé (ó÷åò ìàëîãî îòëè÷èÿ µ̂e îò −2µB ŝ ïðèâîäèò êíåáîëüøîìó ðàññîãëàñîâàíèþ ýòèõ ñêîðîñòåé).Ïîêàæèòå, ÷òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå1 ³e~1 ³ ³e ´2e ´´2Ĥ =σ p̂ − A+eφ .σB =p̂ − A +eφ−2mc2mc2mc(37.2)Îíî îêàæåòñÿ ïîëåçíûì â äàëüíåéøåì ïðè àíàëèçå âîçìîæíûõðåëÿòèâèñòñêèõ îáîáùåíèé óðàâíåíèÿ Ïàóëè.Çàäà÷èρ(r, t) d3r = 1 .Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñïèíà ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîëåi 12µBdŝihĤ, ŝ = µ̂e × B ≈ −=ŝ × B .dt ~~~ ñëó÷àå êâàçèêëàññè÷íîñòè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà, óñðåäíÿÿ ýòîóðàâíåíèå ïî êâàçèêëàññè÷åñêîìó âîëíîâîìó ïàêåòó, ïîëó÷èìäëÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé:eds≈s × B.dtmcedv=v × B.dtmcÒàêèì îáðàçîì, â ìàãíèòíîì ïîëå B êàê âåêòîð ñêîðîñòè, òàê.Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ρ(r, t) è óñëîâèå íîðìèðîâêè òàêîâû:ρ(r, t) = Ψ+Ψ ≡ |Ψ1|2 + |Ψ2|2 ,151Àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèå äëÿ ñêîðîñòè ýëåêòðîíà èìååò õîðîøîèçâåñòíûé âèäe~µ̂l =l̂ .2mcÿ 37.
Óðàâíåíèå Ïàóëè37.1. Íàéòè (σa)(σb), (σa)n, eiσa, eσa, U σj U −1, ãäå îïåðàòîð U = eiσz ϕ/2 .37.2. Ìîãóò ëè êâàäðàòû ïðîåêöèé ýëåêòðîííîãî ñïèíà íàîñè x, y, z èìåòü îäíîâðåìåííî îïðåäåë¼ííûå çíà÷åíèÿ?37.3. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñîñòîÿíèÿ, îïèñûâàåìîãî ñïèíîâîéâîëíîâîé óíêöèåéiγχ=eµcos αsin α eiβ¶(ýòî íàèáîëåå îáùèé âèä íîðìèðîâàííîé âîëíîâîé óíêöèèñïèíîâîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû ñî ñïèíîì s = 1/2 ïðè 0 ≤ α ≤152ëàâà VI.ÑÏÈÍ 37.
Óðàâíåíèå Ïàóëè153π/2, 0 ≤ β < 2π ), ìîæíî óêàçàòü òàêóþ îñü â ïðîñòðàíñòâå,ïðîåêöèÿ ñïèíà íà êîòîðóþ èìååò îïðåäåë¼ííîå çíà÷åíèå +1/2.s = 1/2 è ìàãíèòíûì ìîìåíòîì µ, íàõîäÿùåéñÿ â îäíîðîäíîìïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå B.Íàéòè ïîëÿðíûé è àçèìóòàëüíûé óãëû ýòîé îñè.37.4. ÍàéòèÎáîáùèòü ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåé çàäà÷è íà ñëó÷àé îäíîðîäíîãî íåïîñòîÿííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íàïðàâëåíèå êîòîðîãîîñòàåòñÿ íåèçìåííûì, ò. å.
B(t) = B(t) n0 .×àñòèöà ñî ñïèíîì s = 1/2 è ìàãíèòíûì ìîìåíòîì µ íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå B(t) âèäàZ1ψ ∗ l̂ ψ dΩ , ãäå ψ = √ (Y11 + Y1−1) ,2è ñðàâíèòü ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñ ðåçóëüòàòîì ïðåäûäóùåéçàäà÷è.37.5. Íàéòè ñîñòîÿíèå χ, äëÿ êîòîðîãî ŝxχ = 12 χ. Òî æå äëÿŝy χ = 12 χ.37.6. Äëÿ ÷àñòèöû ñî ñïèíîì s = 1/2 óêàçàòü çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ñïèíîâîé âîëíîâîé óíêöèèµ ¶aχ=bïðè âðàùåíèè ñèñòåìû êîîðäèíàò íà óãîë ϕ îòíîñèòåëüíî îñè,íàïðàâëåíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì n. Ïîêàçàòü, ÷òî âåëè÷èíà χ∗1 χ2 ≡ a∗1 a2 + b∗1 b2 íå ìåíÿåòñÿ ïðè óêàçàííîì ïðåîáðàçîâàíèè, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì.37.7. Íàéòè îòíîñèòåëüíûå èíòåíñèâíîñòè ðàñùåïëåííûõïó÷êîâ íåéòðîíîâ â îïûòå òèïà Øòåðíà åðëàõà, åñëè ïîëÿðèçîâàííûå âäîëü îñè x íåéòðîíû äâèæóòñÿ âäîëü îñè z , àìàãíèòíîå ïîëå B íàïðàâëåíî â ïëîñêîñòè xy ïîä óãëîì α = 450ê îñè x.37.8.
àñïàä Λ → pπ − (Ôåéíìàíîâñêèå ëåêöèè ïî èçèêå.Âûï. 9, ãë. 15, § 5).37.9. àññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå ñïèíà â ìàãíèòíîì ïîëå.Íàéòè îïåðàòîðû ñêîðîñòè v̂ è óñêîðåíèÿ â (â øðåäèíãåðîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè) íåéòðàëüíîé ÷àñòèöû (íàïðèìåð, íåéòðîíà), íàõîäÿùåéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå.Íàéòè çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ñïèíîâîé óíêöèè è ñðåäíèõ çíà÷åíèé êîìïîíåíò ñïèíà íåéòðàëüíîé ÷àñòèöû ñî ñïèíîìBx = B0 cos ω0t , By = B0 sin ω0t ,Bz = B1 ,ãäå B0 , B1 , ω0 ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû.Ïðè t = 0 ÷àñòèöà íàõîäèëàñü â ñîñòîÿíèè ñ ïðîåêöèåé ñïèíàíà îñü z , ðàâíîé sz = 1/2. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïðîåêöèè ñïèíà íà îñü z â ìîìåíò âðåìåíè t.
Îáñóäèòü,â ÷àñòíîñòè, ñëó÷àé, êîãäà |B1 /B0 | ≪ 1; îáðàòèòü âíèìàíèå íàðåçîíàíñíûé õàðàêòåð çàâèñèìîñòè âåðîÿòíîñòè ïåðåâîðîòàîò ÷àñòîòû ω0 â ýòîì ñëó÷àå. 38. Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ155òàêèõ óíêöèé.2) Íàáîðîì ñîáñòâåííûõ óíêöèé êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâĵ2 , ĵz , ĵ21 , ĵ22ëàâà VIIñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìèÑËÎÆÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒÎÂj(j + 1) , m , j1(j1 + 1) , j2(j2 + 1) .Îáîçíà÷èì ýòè óíêöèè êàê 38.Ñëîæåíèå ìîìåíòîâàññìîòðèì äâå ïîäñèñòåìû ñ çàäàííûìè ìîìåíòàìè j1 è j2 .Ñóììàðíûé ìîìåíòΦjm = |jmj1j2i .Ïðè êàæäîì j èìååòñÿ 2j + 1 ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèém = −j, −j + 1, .
. . , j ,ĵ = ĵ1 + ĵ2 ,âåëè÷èíà åãî j ìîæåò ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ.Ïðèìåðû: ñèñòåìà ïðîòîí è íåéòðîí â s-ñîñòîÿíèè (ïðè ýòîìj1 = s1 = 1/2, j2 = s2 = 1/2, ĵ = ŝ1 + ŝ2 ïîëíûé ñïèíñèñòåìû); îðáèòàëüíûé è ñïèíîâûé ìîìåíò ýëåêòðîíà â àòîìå(j1 = l, j2 = s = 1/2, ĵ = l̂ + ŝ) è ò. ä. Ñîñòîÿíèå ïîäîáíîéñèñòåìû ìîæíî îïèñàòü äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè:1) Íàáîðîì ñîáñòâåííûõ óíêöèé êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâĵ21 , ĵ1z ĵ22 , ĵ2zñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìèj1(j1 + 1) , m1 , j2(j2 + 1) , m2 .Îáîçíà÷èì ýòè óíêöèè êàêΨm1m2 = |j1m1i · |j2m2i . ýòîì ñëó÷àå èìååòñÿ âñåãîN = (2j1 + 1)(2j2 + 1)ïîýòîìó ÷èñëî òàêèõ óíêöèé (ðàâíîå, êîíå÷íî, N ) åñòüN=X(2j + 1) ,jãäå ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì äîïóñòèìûì ïðè äàííûõ j1 è j2 çíà÷åíèÿõ j .Ôóíêöèè Ψm1 m2 è Φjm äîëæíû áûòü ñíàáæåíû òàêæå èíäåêñàìè j1 è j2 , íî òàê êàê ýòè çíà÷åíèÿ èêñèðîâàíû, ìû èõ äëÿóïðîùåíèÿ îðìóë íå âûïèñûâàåì ÿâíî.Ïîä ïðîáëåìîé ñëîæåíèÿ ìîìåíòîâ ïîíèìàþòñÿ ñëåäóþùèåçàäà÷è:à) êàêèå çíà÷åíèÿ m âîçìîæíû ïðè çàäàííûõ m1 è m2 ?á) êàêèå çíà÷åíèÿ j âîçìîæíû ïðè äàííûõ j1 è j2 ?â) ÿñíî, ÷òî ëþáàÿ óíêöèÿ Φjm ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåçëèíåéíûå êîìáèíàöèè óíêöèé Ψm1 m2 , è íàîáîðîò:Φjm =Xm1 m2jmCmΨ;1 m2 m1 m2Ψm1m2 =XjmjmΦ .C̃m1 m2 jm156ëàâà VII.ÑËÎÆÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒΠ38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
