1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Îñíîâíîìó óðîâíþ E1 ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷¼òíîå ñîñòîÿíèå ψ100 , à ó âñåõ âîçáóæäåííûõ óðîâíåé èìåþòñÿ ñîñòîÿíèÿ ðàçëè÷íîé ÷¼òíîñòè.0.20.10.0024èñ. 18. ðàèê óíêöèè6ψ100 (r)81012r 14(â àòîìíîé ñèñòåìå åäèíèö)104ëàâà III.ÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ. ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅ 25. Àòîì âîäîðîäà|χ30,29|2χ10(r) 0.70.60.50.40.30.20.10.01050.00350.00300.00250.00200.00150.00100.00050.0000024èñ. 19. ðàèê óíêöèè6χ10 (r)81012r 14(â àòîìíîé ñèñòåìå åäèíèö)(â îáû÷íûõ åäèíèöàõ) òàêîâû (ðèñ. 18, 19):0500èñ.
20. ðàèê óíêöèè1000|χ30,29 (r)|21500r2000(â àòîìíîé ñèñòåìå åäèíèö)â óãëîâîì ðàñïðåäåëåíèèEer/aB= −13, 6 ý , ψ100(r) = p 3 .E1 = −2πaBàò| Yn−1,n−1(θ, ϕ) |2 ∝ sin2n−2 θ ýòîì ñîñòîÿíèè ìîìåíò èìïóëüñà ðàâåí íóëþ: M = 0, èhri =3,2∆r1= √ ≈ 60 % .hri3Òàêèì îáðàçîì, çäåñü íåò íèêàêîãî ñõîäñòâà ñ ìîäåëüþ Áîðà, âêîòîðîé ýëåêòðîí èìååò ìîìåíò èìïóëüñà M = ~ è âðàùàåòñÿïî îêðóæíîñòè áîðîâñêîãî ðàäèóñà:hri = 1, ∆r = 0 .Ñîñòîÿíèå ñ l = m = n − 1 ≫ 1âåðîÿòíîñòü íàéòè ýëåêòðîí íå çàâèñèò îò àçèìóòàëüíîãî óãëà ϕ è ñêîíöåíòðèðîâàíàâ óçêîì èíòåðâàëå ïîëÿðíûõ óãëîâ√∆θ ≈ 1/ 2n âáëèçè θ = π/2 (ðèñ. 21), ÷òî î÷åíü ïîõîæå íà0.52|Y29,29|0.40.30.2Ïðè l = m = n − 1 ≫ 1, íàïðîòèâ, êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà äà¼òîòâåò, áëèçêèé ê áîðîâñêîé ìîäåëè.
À èìåííî, ñðåäíèé ðàäèóñâåëèê:hri ≈ n2 ,îòíîñèòåëüíàÿ äèñïåðñèÿ ðàäèóñà ìàëà (ðèñ. 20):∆r1≈√ ,hri2n0.10.00.00.51.01.52.0èñ. 21. ðàèê óíêöèè2.5θ3.0|Y29,29 (θ, ϕ)|2êëàññè÷åñêóþ òðàåêòîðèþ îêðóæíîñòü ðàäèóñà n2 â ïëîñêîñòè xy .106ëàâà III.ÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ. ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅÏåðâûé âîçáóæäåííûé óðîâåíü n = 21R21(r) = √ r e−r/224íå èìååò íóëåé ïðè êîíå÷íûõ r 6= 0.
Äëÿ 2s ñîñòîÿíèÿ ðåêóðχ21(r) 0.40.30.20.10.0246èñ. 22. ðàèê óíêöèèχ21 (r)107Ñïåêòðàëüíûå ñåðèèàäèàëüíàÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ 2p ñ l = 1 (ñì. (2)è ðèñ. 22)0 25. Àòîì âîäîðîäà81012r 14(â àòîìíîé ñèñòåìå åäèíèö)χ20(r) 0.2Ôîòîí, èñïóùåííûé ïðè ïåðåõîäå àòîìà âîäîðîäà èç íà÷àëüíîãî óðîâíÿ Eni íà êîíå÷íûé óðîâåíü Enf , èìååò ýíåðãèþ~ωf i = Eni − Enf =Ã11− 22nf ni!Ry , ni > nf .Ïðè nf = 1 âîçíèêàåò ñåðèÿ Ëàéìàíà â óëüòðàèîëåòîâîé îáëàñòè ñïåêòðà; ïðè nf = 2 ñåðèÿ Áàëüìåðà, ïðè÷åì ÷åòûðåëèíèè Hα , Hβ , Hγ , Hδ , ñîîòâåòñòâóþùèå ni = 3, 4, 5, 6, ëåæàòâ âèäèìîé îáëàñòè ñïåêòðà; ïðè nf ≥ 3 âîçíèêàþò ñåðèè â èíðàêðàñíîé îáëàñòè ñïåêòðà.Âîäîðîäîïîäîáíûå àòîìû (ñì.
çàäà÷ó 25.8).Ìàëûå ïîïðàâêè ê îðìóëå Áîðà äëÿ En îáñóæäàþòñÿ â 51(òîíêàÿ ñòðóêòóðà ñ èíòåðâàëàìè ∼ α2 Eaò ) è â 61 (ñâåðõòîíêàÿ ñòðóêòóðà ñ èíòåðâàëàìè ∼ α2 (me /mp ) Eaò ).Çàäà÷è0.10.0-0.1-0.2-0.3-0.425.1. Äëÿ ñîñòîÿíèÿ 1s àòîìà âîäîðîäà äàòü ãðàèêè dW/d3r024èñ. 23. ðàèê óíêöèè6χ20 (r)81012r 14(â àòîìíîé ñèñòåìå åäèíèö)ðåíòíîå ñîîòíîøåíèå (1) äàåò a1 = − 12 a0 , à èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè ïîëó÷àåì a0 = √12 , èòîãî (ðèñ. 23):¶µ11R20(r) = √ 1 − r e−r/2 ;22ýòà óíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè r = 2.è dW/dr â çàâèñèìîñòè îò r. Íàéòè ϕ100 (p) è äàòü ãðàèêèdW/d3p è dW/dp â çàâèñèìîñòè îò p.
Íàéòè hpi, îöåíèòü hpi è∆p.25.2. Íàéòè ðàäèàëüíóþ óíêöèþ R20(r) èç óñëîâèÿ åå îðòîãîíàëüíîñòè ê óíêöèè R10 (r). Îðòîãîíàëüíû ëè ðàäèàëüíûåóíêöèè R20 (r) è R21(r)?25.3. Çàäà÷à 2 èç [1℄, 36. Îöåíèòü íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ àòîìà âîäîðîäà íà ðàññòîÿíèè r = aB .25.4. Äëÿ 2s è 2p ñîñòîÿíèé àòîìà âîäîðîäà äàòü ãðàèêèdW/d3r â çàâèñèìîñòè îò r è θ.
Îïðåäåëèòü ñðåäíåå ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ýëåêòðîíîì â öåíòðå àòîìà âîäîðîäà âñîñòîÿíèè 2p.108ëàâà III.ÌÎÌÅÍÒ ÈÌÏÓËÜÑÀ. ÖÅÍÒÀËÜÍÎÅ ÏÎËÅ25.5. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ó÷åñòü îòñóòñòâèå ñëó÷àéíîãî êóëîíîâñêîãî âûðîæäåíèÿ ïî l â ñïåêòðàõ âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ,ìîæíî ïîïûòàòüñÿ èñïîëüçîâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âèäàU (r) = −Zae2Zae2− βr0 2 ,rrr0 =~2,mZae2ãäå âòîðîé ÷ëåí ìîäåëèðóåò ïîëÿðèçóåìîñòü àòîìíîãî îñòàòêàïîä äåéñòâèåì âàëåíòíîãî ýëåêòðîíà. Íàéòè óðîâíè ýíåðãèè âýòîì ïîòåíöèàëüíîì ïîëå.25.6.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè β -ðàñïàäå òðèòèÿýëåêòðîí îñòàíåòñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè èîíà He+ .25.7. Ó âîëíîâîé óíêöèè ψ = A ψ200 + B ψ210 îïðåäåëèòüêîýèöèåíòû A è B , äàþùèå íàèáîëüøåå ñðåäíåå çíà÷åíèåäèïîëüíîãî ìîìåíòà hψ|er|ψi = d, è íàéòè âåëè÷èíó d.25.8. Îöåíèòü ðàçìåðû è óðîâíè ýíåðãèè âîäîðîäîïîäîáíûõàòîìîâ He+ , Li++ , e+ e− (ïîçèòðîíèé), µ− p (ìþîíèé), µ− µ+ (äèìþîíèé), µ− π + , µ− â ïîëå ÿäðà ñâèíöà Pb+82. Ìàññà ìþîíàmµ ≈ 200 me, ìàññà ïèîíà mπ ≈ 270 me25.9∗ . Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü êâàçèêëàññè÷åñêîé âîëíîâóþ óíêöèþ (2) ñîñòîÿíèÿ ñ l = n − 1, nr = 0 ïðè n ≫ 1?25.10.
Íàéòè ñïåêòð ýëåêòðîíà íàä ïîâåðõíîñòüþ æèäêîãîãåëèÿ. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ æèäêîãî ãåëèÿ ε = 1, 057.ëàâà IVÒÅÎÈß ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÉ 26.Ñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé. Íåâûðîæäåííûé ñëó÷àéÏóñòü íåêèé ãàìèëüòîíèàí Ĥ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåĤ = Ĥ0 + V̂ ,ãäå äëÿ íåâîçìóù¼ííîãî ãàìèëüòîíèàíà Ĥ0 èçâåñòíû åãî ñîáñòâåííûå óíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ψn0 (x) è En0 :Ĥ0ψn0 = En0 ψn0 ,à V̂ ìàëîå âîçìóùåíèå. àññìîòðèì, êàê ïîä äåéñòâèåì ýòîãîâîçìóùåíèÿ ñäâèãàåòñÿ n-é íåâûðîæäåííûé óðîâåíü En0 è êàêèçìåíÿåòñÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ ψn0 (x).Òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ĥψ = Eψ ðàçëîæèì ïî íåâîçìóù¼ííûì âîëíîâûì óíêöèÿì è ïîäñòàâèìψ=X0cmψmmâ èñõîäíîå óðàâíåíèå(Ĥ0 + V̂ )ψ = Eψ .Äîìíîæèì ýòî óðàâíåíèå ñëåâà íà (ψk0 )∗ è ïðîèíòåãðèðóåì ïîx, òîãäà ïîëó÷èì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:(E − Ek0) ck =Xm0Vkm cm , Vkm = hψk0| V̂ |ψmi.(26.1)110ëàâà IV.ÒÅÎÈß ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÉàçëîæèì òî÷íûå ðåøåíèÿ E è ψ â ðÿä ïî ìàëîìó âîçìóùåíèþE = En0 + En1 + En2 + .
. . , cm = c0m + c1m + . . .Òàê êàê ψ → ψn0 ïðè V̂ → 0,m 6= n, ò. å. c0m = δmn . ÁîëååZòî= 1 ïðè m = n è= 0 ïðèòîãî, èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêèc0mc0mèìååì, óäåðæèâàÿ ëèøü ÷ëåíû äî ïåðâîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî,X¯¯¯¯¯1 + c1n + . . .¯2 +¯c1m + . . .¯2 = 1 + 2 Re c1n + . . . = 1 ,m6=nîòêóäà ñëåäóåò, ÷òî c1n ÷èñòî ìíèìûé êîýèöèåíò, c1n = iβ .Íî òîãäà äëÿ âîëíîâîé óíêöèè ñ òîé æå òî÷íîñòüþ ìîæåìçàïèñàòü:ψ = (1 + iβ)ψn0+0c1mψmm6=n≈eiβψn0+Xm6=nÈíûìè ñëîâàìè, ó÷åò âåëè÷èíû β ïðèâîäèò ëèøü ê íåñóùåñòâåííîìó àçîâîìó ìíîæèòåëþ. Ïîýòîìó, ïîëàãàÿ β = 0, èìååì â èòîãåcm =(1 + c2n + . . .ïðè m = nc1m + . . .ïðè m 6= n .Òàêèì îáðàçîì, èç (1) ïîëó÷àåì¡¢¡¢En0 − Ek0 + En1 + En2 + .
. . δkn + c1k + . . . =X¢¡Vkm c1m + . . . .= Vkn +m6=n(En0 − Ek0) c1k = Vkn ,îòêóäàVkn− Ek0En0Èòàê,ïðèk 6= n.En1 = Vnn = hψn0 |V̂ |ψn0 i, ψ = ψn0 +Xm6=n0ψmVmn.0− EmEn0Êðèòåðèé ïðèìåíèìîñòè: ψ äîëæíà ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò ψn0 ,ò. å.0| Vmn | ≪ | Em− En0 | .Âî âòîðîì ïîðÿäêå ïðè k = n ïîëó÷àåì0c1mψm.111 ïåðâîì ïîðÿäêå ïðè k = n îòñþäà ñëåäóåò En1 = Vnn , àïðè k 6= n ïîëó÷àåìc1k =| ψ |2 dx = 1X 26.
Ñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé. Íåâûðîæäåííûé ñëó÷àéEn2 =XmVnm c1m =X | Vmn |2.0En0 − Emm6=nÎòìåòèì, ÷òî åñëè ïîïðàâêà âòîðîãî ïîðÿäêà ê îñíîâíîìó óðîâíþ E0 îòëè÷íà îò íóëÿ, òî îíà îòðèöàòåëüíà,E02 ≤ 0 .Çàäà÷è26.1. Îïðåäåëèòü ïîïðàâêè ê îñíîâíîìó ñîñòîÿíèþ ëèíåéíîãîîñöèëëÿòîðà çà ñ÷åò ìàëûõ àíãàðìîíè÷åñêèõ ïîïðàâîê V =αx3 + βx4. Ó÷åñòü ÷ëåíû ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî β è âòîðîãî ïî α.26.2. Âû÷èñëèòü ïîïðàâêó ïåðâîãî ïîðÿäêà ê ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ âîäîðîäîïîäîáíîãî àòîìà, îáóñëîâëåííóþ íåòî÷å÷íîñòüþ ÿäðà.
ßäðî ñ÷èòàòü:112ëàâà IV.ÒÅÎÈß ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÉà) ñåðîé ðàäèóñà R, ïî ïîâåðõíîñòè êîòîðîé ðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåí çàðÿä;á) øàðîì ðàäèóñà R ñ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûì ïî îáúåìóçàðÿäîì.Îöåíèòü ïîïðàâêó äëÿ àòîìà âîäîðîäà, ñ÷èòàÿ R ∼ 10−13 ñì.Êàê èçìåíèòñÿ ðåçóëüòàò äëÿ ñîñòîÿíèÿ 2p?26.3. Îöåíèòü âåëè÷èíû ïîïðàâîê ê êóëîíîâñêèì óðîâíÿìýíåðãèè âîäîðîäà, îáóñëîâëåííûõ:à) ðåëÿòèâèñòñêèìè ïîïðàâêàìè ê êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèèýëåêòðîíà;á) âçàèìîäåéñòâèåì ñ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì ÿäðà (ñâåðõòîíêàÿ ñòðóêòóðà);â) íàëè÷èåì ó ÿäðà ýëåêòðè÷åñêîãî êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòà(òàê íàçûâàåìàÿ êâàäðóïîëüíàÿ ñâåðõòîíêàÿ ñòðóêòóðà). 27.Ïðîèçâîäíàÿ îò ýíåðãèè ïî ïàðàìåòðóÏóñòü íåâîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí çàâèñèò îò ïàðàìåòðàλ, ò.
å. Ĥ0 = Ĥ(λ), àĤ = Ĥ(λ + ∆λ) = Ĥ0 + V̂ ,ãäå âîçìóùåíèå∂ ĤV̂ =∆λ .∂λ ïåðâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ïîïðàâêà ê ýíåðãèè ðàâí௠ED ¯En1¯¯= n ¯(∂ Ĥ/∂λ)∆λ¯ n .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, En1 = (∂En /∂λ)∆λ, ïîýòîìó∂En=∂λ¯ +* ¯¯ ∂ Ĥ ¯¯¯n¯¯n .¯ ∂λ ¯ 27. Ïðîèçâîäíàÿ îò ýíåðãèè ïî ïàðàìåòðó113 ÷àñòíîñòè, äëÿ öåíòðàëüíîãî ïîëÿ ïðè λ ≡ l èìååì~2Ĥ(l) = −2mè ïîýòîìó∂Enr l=∂lµ2∂∂2+2∂rr ∂r¶+~2l(l + 1)+ U (r) ,2mr2¯¯+ ¿ ¯¯À¯ ∂ Ĥ ¯¯ ~2(2l + 1) ¯¯¯¯¯nr l .nr l ¯¯ n l = nr l ¯¯ ∂l ¯ r2mr2 ¯*Îòñþäà âèäíî, ÷òî∂Enr l> 0,∂lò. å. â öåíòðàëüíîì ïîëå ñ ðîñòîì l (ïðè èêñèðîâàííîì nr )ýíåðãèè óðîâíåé ðàñòóò, ÷òî âïîëíå ñîãëàñóåòñÿ ñ êëàññè÷åñêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè.Äëÿ àòîìà âîäîðîäàme4,2~2(nr + l + 1)2è ïîýòîìó¿ ¯ ¯ À¯1¯11.(27.1)nl ¯¯ 2 ¯¯ nl = 31rn (l + 2 ) a2BÅñëè ê êóëîíîâñêîìó ïîëþ U = −e2 /r åñòü ìàëàÿ ïîïðàâêàEnr l = −âèäàV =β,r2òî ýíåðãèÿ íà÷èíàåò çàâèñåòü íå òîëüêî îò n, íî è îò l:Enl = −me4βm2e4+.2~2n2 ~4 n3(l + 12 )Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî â ïðåäåëå áîëüøèõ êâàíòîâûõ÷èñåë èõ ïîëíàÿ ñòåïåíü â íàéäåííîé ïîïðàâêå ñîâïàäàåò ñîñòåïåíüþ ~:∆Enl ∝1.~4 n 3 lÒàê è äîëæíî áûòü äëÿ ëþáîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà, èìåþùåãî êëàññè÷åñêèé ïðåäåë.114ëàâà IV. 28.ÒÅÎÈß ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÉÏîëÿðèçóåìîñòü àòîìà 29.
Ñèëû Âàí-äåð-ÂààëüñàÎòñþäà (â àòîìíîé ñèñòåìå åäèíèö)Äëÿ àòîìà â ñëàáîì îäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå E âîçìóùåíèåV̂ = −dE ,ãäå d = −eΣa ra äèïîëüíûé ìîìåíò àòîìà (çäåñü ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì ýëåêòðîíàì àòîìà, ra ðàäèóñ-âåêòîð a-ãî ýëåêòðîíà è e ýëåìåíòàðíûé çàðÿä). Åñëè ñîñòîÿíèå àòîìà ψn0ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì è îáëàäàåò îïðåäåë¼ííîé ÷¼òíîñòüþ,òî ñðåäíåå çíà÷åíèå hdi = 0.  ýòîì ñëó÷àå ïîïðàâêà ïåðâîãî ïîðÿäêà En1 = 0 è ïîïðàâêà ê ýíåðãèè âîçíèêàåò ëèøü âîâòîðîì ïîðÿäêå∆En = En2 =X |hm| dE |ni|2m6=n0En0 − Em≡−Îòñþäà òåíçîð ïîëÿðèçóåìîñòè ðàâåíαij = 231 Xαij EiEj .2 i,j=1X hn|di|mihm|dj |nim6=n0 − E0Emn.Åñëè ñîñòîÿíèå àòîìà ψn0 ñåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íî, òî αij =αδij èα=2X hn|dz |mihm|dz |nim6=n1150 − E0Emn.Î÷åâèäíî, ÷òî â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè àòîìà åãî ïîëÿðèçóåìîñòüα > 0.Îöåíèì âåëè÷èíó α äëÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà. ýòîì ñëó÷àå âñå ñëàãàåìûå â ñóììå ïî âîçáóæäåííûì ñî0ïîëîæèòåëüíû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
