1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 13
Текст из файла (страница 13)
 ñëó÷àå áûñòðûõ ÷àñòèö óñëîâèå |U (a)| ≪ ~v/a ñîîòâåòñòâóåò òîìó,÷òî íåîïðåäåë¼ííîñòü â ýíåðãèè, ñâÿçàííàÿ ñ âðåìåíåì ïðîëåòà,äîëæíà áûòü ìíîãî áîëüøå ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ; óñëîâèå ka ≫ 1 îáåñïå÷èâàåò çäåñü ïðèìåíèìîñòü êâàçèêëàññè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ.33.2. Ôîðìóëà åçåðîðäàÄëÿ êóëîíîâñêîãî ïîëÿU (r) = −αrêðèòåðèé ïðèìåíèìîñòè áîðíîâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ òàêîâ:α≪ 1.~v ýòîì ñëó÷àå áîðíîâñêàÿ àìïëèòóäà ðàâíà2αmf= 2 2,~qà ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ·dσα=dΩ2pv sin2(θ/2)¸2α2=16E 2 sin4(θ/2)ñîâïàäàåò ñ êëàññè÷åñêèì. Îòìåòèì áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òîáîðíîâñêàÿ îðìóëà äëÿ ñå÷åíèÿ ñîâïàäàåò ñ òî÷íîé (ýòî âåðíîëèøü â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè).
Ïîëíîå ñå÷åíèå (êàêè â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå) ðàâíî áåñêîíå÷íîñòè. Ýòî îçíà÷àåò,÷òî â ðåàëüíîì ýêñïåðèìåíòå ïîëíîå ÷èñëî ðàññåÿííûõ â åäèíèöó âðåìåíè ÷àñòèö ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ÷àñòèö, ïàäàþùèõ âåäèíèöó âðåìåíè íà ìèøåíü. 33. Áîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèå. Ôîðìóëà åçåðîðäà. Ôîðìàêòîð12733.3. Àòîìíûé îðìàêòîðÏðè óïðóãîì ðàññåÿíèè áûñòðûõ ýëåêòðîíîâ íà àòîìå ïîñëåäíèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê èñòî÷íèê ñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ϕ(r), ñîçäàâàåìîãî ñðåäíèì ðàñïðåäåëåíèåì çàðÿäîââ àòîìå:ρ(r) = Zeδ(r) − en(r) . ýòîé îðìóëå ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòâåòñòâóåòòî÷å÷íîìó ÿäðó, à âòîðîå ðàñïðåäåëåíèþ ýëåêòðîíîâ â àòîìåñ ïëîòíîñòüþ n(r).Ïóñòü ϕq è ρq óðüå-îáðàçû ïîòåíöèàëà ϕ(r) è ïëîòíîñòèçàðÿäà ρ(r).
Òàê êàê ∆ϕ(r) = −4πρ(r), òî èç∆(ϕqeiqr) = −q 2ϕqeiqr = −4πρqeiqrñëåäóåò, ÷òîϕq =4πρq.q2Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ðàâíàf (q) =2e2m[Z − F (q)] .~2 q 2Çäåñü ââåäåí òàê íàçûâàåìûé àòîìíûé îðìàêòîðF (q) =Ze−iqr n(r) d3r ,ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé óðüå-îáðàç ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîââ àòîìå.Ïðè qa ≫ 1, ò. å. ïðè óãëàõ ðàññåÿíèÿ θ ≫ 1/(ka), îðìàêòîð |F | ≪ Z è ñå÷åíèå ñîâïàäàåò ñ ðåçåðîðäîâñêèì. Ýòîâïîëíå åñòåñòâåííî: áîëüøèå óãëû ðàññåÿíèÿ ñîîòâåòñòâóþò ìàëûì ïðèöåëüíûì ïàðàìåòðàì, ïðè êîòîðûõ íàëåòàþùàÿ ÷àñòèöà ðàññåèâàåòñÿ ÿäðîì, ïðàêòè÷åñêè íå ýêðàíèðîâàííûì.Ïðè qa ≪ 1 èìååì128ëàâà V.1Z − F (q) ≈ q 26ZÒÅÎÈß ÀÑÑÅßÍÈß1r n(r) d r = q 2 hr2i .623 ýòîé îáëàñòè ðàññåÿíèå èçîòðîïíî:dσ 1=dΩ 9µhr2iaB¶2.Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðàññåÿíèè íà àòîìå ïîëíîå ñå÷åíèå îêàçûâàåòñÿ (â îòëè÷èå îò ðåçåðîðäîâñêîãî) êîíå÷íûì. 33. Áîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèå. Ôîðìóëà åçåðîðäà.
Ôîðìàêòîðóëüòðàðåëÿòèâèñòñêèõ ýëåêòðîíîâ ñ áîëüøîé ïåðåäà÷åé ýíåðãèè è èìïóëüñà (òàê íàçûâàåìîå ãëóáîêîíåóïðóãîå ðàññåÿíèå)íà ïðîòîíå è íåéòðîíå ïðèâåëè ê êâàðêîâîé ìîäåëè ñòðîåíèÿàäðîíîâ.33.4. Êîíå÷íûå ñå÷åíèÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêåÎáñóäèì ïîäðîáíåå âîïðîñ î òîì, êàêèå ïîòåíöèàëû ïðèâîäÿòâ êâàíòîâîé ìåõàíèêå ê êîíå÷íûì ñå÷åíèÿì. Ïóñòü íà áîëüøèõðàññòîÿíèÿõÏðèìåð: ðàññåÿíèå íà àòîìå âîäîðîäà. ýòîì ñëó÷àå Z = 1, n(r) = |ψ100 (r)|2 , ïîýòîìó àòîìíûéîðìàêòîð â ýòîì ñëó÷àå ðàâåíF (q) =11, u = q 2a2B = [kaB sin(θ/2) ]2 ,2(1 + u)4U (r) ∼Óêàçàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ çàðÿäîâ ñîîòâåòñòâóåò ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ¶µre2e−2r/aB .1+U (r) = −eϕ(r) = −raB êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå â òàêîì ïîëå ïîëíîå ñå÷åíèå σ = ∞,÷òî íàõîäèòñÿ â ðåçêîì ïðîòèâîðå÷èè ñ êâàíòîâûì (ïðàâèëüíûì!) ðåçóëüòàòîì.Îïûòû ïî ðàññåÿíèþ áûñòðûõ ýëåêòðîíîâ íà ÿäðàõ äàëè ñâåäåíèÿ î îðìàêòîðå ÿäðà, ò.
å. î ðàñïðåäåëåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà âíóòðè ÿäðà. Àíàëîãè÷íûå îïûòû ïðè ðàññåÿíèèα, n > 0.rn êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ïðè ðàññåÿíèè â òàêîì ïîëå ïîëíîåñå÷åíèå áåñêîíå÷íî, òàê êàê ëþáûì áîëüøèì ïðèöåëüíûì ïàðàìåòðàì ρ ñîîòâåòñòâóþò õîòÿ è ìàëûå, íî êîíå÷íûå êëàññè÷åñêèå óãëû îòêëîíåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî îöåíèòü òàêèì îáðàçîì:à äèåðåíöèàëüíîå è ïîëíîå ñå÷åíèÿ òàêîâû:7π (e2/aB) 2dσ (1 + 12 u)2 2a,σ==aB .dΩ(1 + u)4 B6E129θêëàññp⊥F⊥t,∼pzmv∼÷òî ñ ó÷åòîìF⊥ ∼αρn+1äàåò îöåíêóθêëàññ∼, t∼αρn Eρv. êâàíòîâîé ìåõàíèêå äëÿ ÷àñòèöû ñ ïðèöåëüíûì ïàðàìåòðîì ρ (ó íåå ∆r⊥ < ρ) íåîïðåäåë¼ííîñòü ïîïåðå÷íîãî èìïóëüñà∆p⊥ &~~> ,∆r⊥ρïîýòîìó êâàíòîâàÿ íåîïðåäåë¼ííîñòü óãëà îòêëîíåíèÿ ðàâíà∆θêâ∼∆p⊥~>.pzρmv130ëàâà V.ÒÅÎÈß ÀÑÑÅßÍÈßÒàêèì îáðàçîì, ïðè n > 1 íåîïðåäåë¼ííîñòü ∆θêâ > θêëàññ , èïîýòîìó êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ìîãóò ñóùåñòâåííîîòëè÷àòüñÿ îò êëàññè÷åñêèõ.Çíàÿ ïîâåäåíèå U (r) íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ, ãäå âçàèìîäåéñòâèå âñåãäà ñëàáîå è ïîýòîìó áîðíîâñêîå ïðèáëèæåíèå ïðèìåíèìî, ìîæíî îöåíèòü ïîâåäåíèå àìïëèòóäû â îáëàñòè ìàëûõóãëîâ ðàññåÿíèÿ:f (q) ∝Z∞e−iqrr011α 3d r ∝ 3−n ∝ 3−n .nrqθÎòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî äèåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèådσ1∝ 2 3−ndΩ(θ )êîíå÷íî ïðè θ → 0, åñëè n > 3, à ïîëíîå ñå÷åíèåσ ∝êîíå÷íî ïðè n > 2.Zdθ2(θ2)3−n 34.
Ôàçîâàÿ òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ 34.Ôàçîâàÿ òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ34.1. Ñâÿçü ñå÷åíèÿ óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ñ àçàìè ðàññåÿíèÿàññåÿíèå íà ñåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîì ïîòåíöèàëå îáëàäàåò öèëèíäðè÷åñêîé ñèììåòðèåé, ò. å. ψ(r) çàâèñèò ëèøü îò r èθ, íî íå îò ϕ. Ïîýòîìó ðàçëîæåíèå ýòîãî ðåøåíèÿ ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì ñîäåðæèò ëèøü Yl0 (θ, ϕ) ∝ Pl (cos θ):33.1. àññåÿíèå íà ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå â áîðíîâñêîì ïðèáëèæåíèè (çàäà÷à 1 ê § 126 èç [1℄). Îáñóäèòü óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ïðèáëèæåíèÿ.33.2. Òî æå äëÿ ïîòåíöèàëà Þêàâà U (r) = (α/r) e−r/a.33.3.
Òî æå äëÿ ïîòåíöèàëà U (r) = V e−r/a.33.4. Òî æå äëÿ êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà U (r) = α/r (ïðåäåëüíûé ñëó÷àé ïîòåíöèàëà Þêàâû ïðè a → ∞).∞Xψ(r) =al Pl (cos θ) Rkl (r) .(34.1)l=0Êàê èçâåñòíî (ñì. 24), ðàäèàëüíàÿ óíêöèÿ Rkl (r) íà áîëüøèõðàññòîÿíèÿõ èìååò âèäRkl (r) →r¶µ21πlsin kr − + δlπr2ïðè r → ∞ .Ïðè ñâîáîäíîì äâèæåíèè àçà ðàññåÿíèÿ δl = 0.  ÷àñòíîñòè,ïëîñêîé âîëíå âäîëü îñè z ñîîòâåòñòâóåò ðàçëîæåíèå ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì âèäà (ñì. [1℄, 34):eikz = eikr cos θ =Çàäà÷è131∞X(0)cl Pl (cos θ) Rkl (r) ,l=0(0)Rkl (r) →r¶µ21πlsin kr −πr2cl =rπ il(2l + 1) ,2kïðè r → ∞ .×òîáû âûïîëíÿëîñü ãðàíè÷íîå óñëîâèå (32.2), ò. å.
÷òîáû ðàçíèöà ψ(r) − eikz èìåëà âèä ñåðè÷åñêîé âîëíû, ðàñõîäÿùåéñÿîò öåíòðà, f · (eikr /r), íåîáõîäèìîal = cl eiδl=rπ il(2l + 1) eiδl .2kÒîãäà àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ ðàâíàf (k, θ) =Xl(2l + 1)fl (k)Pl (cos θ) ,132ëàâà V.ÒÅÎÈß ÀÑÑÅßÍÈßãäå ïàðöèàëüíàÿ àìïëèòóäàfl (k) = 34. Ôàçîâàÿ òåîðèÿ ðàññåÿíèÿÅñëè åñòü ïîãëîùåíèå, òî |Sl | < 1, à âåëè÷èíà |Sl |2 õàðàêòåðèçóåò óìåíüøåíèå ïîòîêà ÷àñòèö â ðàñõîäÿùåéñÿ âîëíå ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîòîêîì ÷àñòèö â ñõîäÿùåéñÿ5. Äåéñòâèòåëüíî, ðàçíèöàSl (k) − 1, Sl (k) = e2i δl (k) .2ikÎòñþäà ïîëíîå ñå÷åíèå óïðóãîãî ðàññåÿíèÿσel ==Z|f |2dΩ = 4πXl¯¯¯ Ṅ ¯ − Ṅñõ(2l + 1) |fl (k)|2 =34.2.
Ïîíÿòèå î íåóïðóãîì ñå÷åíèèåøåíèå (1) ïðè r → ∞ ìîæíî ïðåäñòàâèòü íå òîëüêî â âèäå(32.2), íî è â âèäå äâóõ ñåðè÷åñêèõ âîëí ðàñõîäÿùåéñÿ îòöåíòðà è ñõîäÿùåéñÿ ê öåíòðó:ψ(r) → ψ̃ + ψ =(34.2)·¸1 Xeikre−ikr=(2l + 1)Pl (cos θ) Slïðè r → ∞− (−1)l2ikrrñõl(ðàçóìååòñÿ, ïðè òàêîì ðàçáèåíèè ðàñõîäÿùàÿñÿ âîëíà ψ̃ðàñ îòëè÷àåòñÿ îò ψðàñ â (32.2)). Ïàðöèàëüíàÿ àìïëèòóäà ðàñõîäÿùåéñÿ âîëíû îòëè÷àåòñÿ ìíîæèòåëåìSl(34.3)îò ñîîòâåòñòâóþùåé àìïëèòóäû â ñõîäÿùåéñÿ âîëíå.
Åñëè íåòïîãëîùåíèÿ ÷àñòèö ñèëîâûì öåíòðîì, òî ýòîò ìíîæèòåëü äîëæåí áûòü ïî ìîäóëþ ðàâåí åäèíèöå,| Sl | = 1 .[−(j )r − (jñõðàñ)r ] r2 dΩ =lÏàðöèàëüíûå àìïëèòóäû è ïîëíîå ñå÷åíèå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ àçàìè ðàññåÿíèÿ δl (k). Ñàìè àçû ðàññåÿíèÿ ìîãóòáûòü íàéäåíû, íàïðèìåð, èç óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö:dσ/dΩ = |f (k, θ)|2.(−1)=Ïîýòîìó íåóïðóãîå ñå÷åíèå ðàâíîll+1ðàñZ¢¡π~ X(2l + 1) 1 − |Sl |2 .mk=π X(2l + 1) |Sl (k) − 1|2 .k2ðàñ133σin =|Ṅ | − Ṅ(j )zñõðàñ=ïàä¡¢π X2.(2l+1)1−|S|lk2l34.3. Îïòè÷åñêàÿ òåîðåìàÄëÿ ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ è ïîãëîùåíèÿ ñóùåñòâóþò îïðåäåë¼ííûå îãðàíè÷åíèÿ è ñâÿçè.
Ââåäåì ïîíÿòèå ïàðöèàëüíîãî ñå÷åíèÿ σ (l) , ïðåäñòàâèâσ=∞Xσ (l) .l=0 êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå (l ≫ 1) ìîìåíò èìïóëüñàM = pρl = ~kρl = ~l ,ïîýòîìólλ1= λ−l , λ− == ,k2π k(l)à ïîä ïàðöèàëüíûì ñå÷åíèåì σåñòåñòâåííî ïîíèìàòü ïëîùàäü êîëüöà ìåæäó îêðóæíîñòÿìè ðàäèóñîâ ρl+1 è ρl , ò. å.ρl =êëàññσ (l)êëàññ= π(ρ2l+1 − ρ2l ) = π λ−2 (2l + 1) .5  îáñóæäàåìîé ñõåìå ïîòåíöèàëüíîãî ðàññåÿíèÿ ïîãëîùåíèå ÷àñòèö ìî-æåò áûòü îðìàëüíî îïèñàíî ââåäåíèåì ìíèìîé ÷àñòè ó ïîòåíöèàëüíîéýíåðãèè, ïîäîáíî òîìó êàê â îïòèêå ïîãëîùåíèå âîëí ñðåäîé ìîæåò áûòüîïèñàíî ââåäåíèåì ìíèìîé ÷àñòè ó ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ.134ëàâà V.ÒÅÎÈß ÀÑÑÅßÍÈß(l)(l)Ïàðöèàëüíûå ñå÷åíèÿ äëÿ óïðóãîãî σel , íåóïðóãîãî σin èïîëíîãîσtot = σel + σinñå÷åíèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå(l)(l)σel = σ (l)êëàññ(l)σtot= σ (l)êëàññ· |1 − Sl |2 , σin = σ (l)êëàññ· 2 (1 − Re Sl ) .≤(l)σtot≤ 4σ(l)êëàññ,(l)σin≤σ(l)êëàññ(l)(l)(l)σin = σel = σ (l)êëàññ, σtot = 2 σ (l)êëàññπ X(2l + 1) 2 (1 − Re Sl )k2lñ âûðàæåíèåì äëÿ ìíèìîé ÷àñòèöû àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ íàóãîë íóëü:Im f (k, θ = 0) =X(2l + 1)Pl (1) ImlSl − 1=2ik1 X(2l + 1)(1 − Re Sl ) .=2klÎòñþäà ïîëó÷àåì îïòè÷åñêóþ òåîðåìó:Im f (k, θ = 0) =kσtot .4πf=e2iδ0 − 1,2ikäèåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå èçîòðîïíî:σdσ=,dΩ 4πà ïîëíîå ñå÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ àçîé s-âîëíû:σ=4πsin2 δ0 .k2.Åùå îäíî ñîîòíîøåíèå âîçíèêàåò, åñëè ñðàâíèòüσtot = σel + σin =Ïðè ka ≪ 1 ïðèöåëüíûå ïàðàìåòðû ρl = l/k ≫ a äëÿ l ≥ 1,ïîýòîìó ëèøü s-âîëíà ìîæåò äàâàòü çàìåòíîå ðàññåÿíèå.
Òàêèìîáðàçîì, äëÿ ìåäëåííûõ ÷àñòèö àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ.Åñëè åñòü ïîãëîùåíèå ÷àñòèö (ïðè ýòîì | Sl | < 1), òî íåïðåìåííî ïðîèñõîäèò è ðàññåÿíèå ÷àñòèö. Ïîãëîùåíèå ìàêñèìàëüíî ïðè Sl = 0, è â ýòîì ñëó÷àå13534.4. Óïðóãîå ðàññåÿíèå ìåäëåííûõ ÷àñòèö¢¡· 1 − |Sl |2 ,Ïðè Sl = 1 íåò íè ïîãëîùåíèÿ, íè ðàññåÿíèÿ; ïðè |Sl | = 1 åñòüòîëüêî ðàññåÿíèå, íî íåò ïîãëîùåíèÿ. Òàê êàê |Sl | ≤ 1, òî(l)σel 34. Ôàçîâàÿ òåîðèÿ ðàññåÿíèÿż ñìûñë òîò æå, ÷òî è â îïòèêå: îñëàáëåíèå ïàäàþùåãî ïîòîêàèç-çà ðàññåÿíèÿ ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò èíòåðåðåíöèè ïàäàþùåéâîëíû è âîëíû, ðàññåÿííîé ïîä î÷åíü ìàëûìè óãëàìè.34.5.
Äèðàêöèîííîå ðàññåÿíèå áûñòðûõ ÷àñòèö íà ÷¼ðíîìøàðåÏóñòü èäåàëüíî ïîãëîùàþùèé (÷¼ðíûé) øàð èìååò ðàäèóñ a.àññìîòðèì ðàññåÿíèå áûñòðûõ (ka ≫ 1) ÷àñòèö íà òàêîì øàðå(ïðèìåð: íåéòðîíû ñ ýíåðãèåé E ∼ 100 Ìý ðàññåèâàþòñÿ íàòÿæ¼ëîì ÿäðå ðàäèóñà a ∼ 10−12 ñì, ïðè ýòîì ka ∼ 10). Ýòàçàäà÷à âïîëíå àíàëîãè÷íà äèðàêöèè ïëîñêîé ñâåòîâîé âîëíûíà ÷åðíîì øàðå.
Ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð ρl0 = a ñîîòâåòñòâóåòl0 = ka ≫ 1. Ïðè l > l0 ÷àñòèöû íå ñòàëêèâàþòñÿ ñ øàðîì,Sl = 1. Ïðè l < l0 ÷àñòèöû ïîëíîñòüþ ïîãëîùàþòñÿ, Sl = 0.Ñòðîãî ãîâîðÿ, ýòè óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû ëèøü äëÿ l ≫ l0è l ≪ l0 , íî îáëàñòü l ≈ l0 íå äàåò áîëüøîãî âêëàäà â ñå÷åíèå.Òàêèì îáðàçîì,l0π Xπσel = σin = 2(2l + 1) = 2kkl=0Z0l02l dl = πa2 ,σtot = 2πa2 ,136ëàâà V.ÒÅÎÈß ÀÑÑÅßÍÈßò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
