1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ157Êàê íàéòè êîýèöèåíòû C è C̃ (èõ íàçûâàþò êîýèöèåíòàìè Êëåáøà îðäàíà)?Ñîðìóëèðóåì îòâåòû íà ýòè âîïðîñû:à) Òàê êàê ĵz = ĵ1z + ĵ2z , òîÒàê êàê max S = max m = max (m1 + m2 ) = 1, òî â íàøåéñèñòåìå äîëæåí ñóùåñòâîâàòü òðèïëåò S = 1, m = 1, 0, −1,ïðè÷åìm = m1 + m2 .Äâå îñòàëüíûå óíêöèè Φ10 è Φ1−1 ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äåéñòâèåì ïîíèæàþùåãî îïåðàòîðà Ŝ− = ŝ1− + ŝ2− íà óíêöèþΦ11, ÷òî äàåòá) Âåëè÷èíà j ïðèíèìàåò 2j1 + 1 (ïðè j2 >j1 ) èëè 2j2 + 1 (ïðèj2<j1) çíà÷åíèéïðè÷åì èíòåðâàë çíà÷åíèé j ìåæäó íàèìåíüøèì jmin = |j1 − j2 |è íàèáîëüøèì jmax = j1 + j2 çíà÷åíèÿìè òàêîâ, êàê åñëè áûîòðåçêè äëèíîé j1 , j2 è j ñîñòàâëÿëè òðåóãîëüíèê.â) Ïîñêîëüêó= hΨm1m2 |Φjmi ,jmC̃m1 m222Φ10j = |j1 − j2|, |j1 − j2| + 1, . .
. , j1 + j2 ,jmCm1 m2Φ11 = Ψ 1 1 = | ↑↑i .= hΦjm|Ψm1m2 i ,òîjmjm= (Cm)∗.C̃m1 m21 m2jmÅñëè âûáðàòü êîýèöèåíòû Cmâåùåñòâåííûìè, òî1 m2jmjm= Cm.C̃m1 m21 m2Êîíñòðóêòèâíûé ñïîñîá íàõîæäåíèÿ êîýèöèåíòîâ Êëåáøà îðäàíà è äîêàçàòåëüñòâî îòâåòà íà âîïðîñ á) ìû óêàæåìíà äâóõ ïðîñòûõ ïðèìåðàõ.Ïðèìåð 1 (ñëîæåíèå äâóõ ñïèíîâ):Φ1−1´ | ↑↓i + | ↓↑i1 ³√= √ Ψ 1 − 1 + Ψ− 1 1 =,2 22222= Ψ− 1 − 1 = | ↓↓i .22Îñòàâøàÿñÿ îðòîãîíàëüíàÿ ê Φ1m êîìáèíàöèÿ Ψ 1 − 1 −Ψ− 1 1 èìå2 222åò S = max (m) = 0.
Ýòî ñèíãëåò´ | ↑↓i − | ↓↑i1 ³√.Φ00 = √ Ψ 1 − 1 − Ψ− 1 1 =2 22222Åùå ïðîùå: ñîñòîÿíèÿ | ↑↑i è | ↓↓i ñîîòâåòñòâóþò S = 1, m =±1 è ñèììåòðè÷íû ïî ñïèíàì. Ñèììåòðèÿ óíêöèè íå çàâèñèòîò ïðîåêöèè ìîìåíòà. Ïîýòîìó ñèììåòðè÷íàÿ (íîðìèðîâàííàÿ)óíêöèÿ ñ m = 01√ (| ↑↓i + | ↓↑i)2èìååò S = 1, à îðòîãîíàëüíàÿ ê íåé àíòèñèììåòðè÷íàÿ óíêöèÿ1√ (| ↑↓i − | ↓↑i)2ñ m = 0 èìååò S = 0.j1 = s1 = 1/2, j2 = s2 = 1/2, ĵ ≡ Ŝ = ĵ1 + ĵ2 .Ïðèìåð 2 (ñëîæåíèå îðáèòàëüíîãî è ñïèíîâîãî ìîìåíòîâ):Èìååòñÿ ÷åòûðå óíêöèè:Ψ 1 1 = | ↑↑i, Ψ 1 − 1 = | ↑↓i, Ψ− 1 1 = | ↓↑i, Ψ− 1 − 1 = | ↓↓i .22222222j1 = l, j2 = s = 12 , ĵ = l̂ + ŝ.158ëàâà VII.ÑËÎÆÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒÎÂÈìååòñÿ (2l + 1) · 2 óíêöèé Ψm1 m2 = Ylm1 χ 1 m2 :2Yχ+} , Yll−1χ+, Yll χ−, .
. . , Yl,−l+1χ−, Yl,−l χ+, Yl,−l χ− ,| ll{z|{z}|{z} | {z }m=l+ 12ãäåm=l− 12χ+ = χ 1 1 =22m=−l+ 21µ10¶2µ01¶.Òàê êàê jmax = max (m1 + m2 ) = l + 1/2, òî ñóùåñòâóåò ìóëüòèïëåò èç 2jmax + 1 = 2l + 2 óíêöèé Φl+ 1 ,m , ïðè÷åì159Óêàçàíèå: ïåðâàÿ èç ýòèõ óíêöèé ïðîïîðöèîíàëüíà Π̂Ylm χ+ ,à âòîðàÿ (1 − Π̂)Ylm χ+ , ãä嶸·³¶µ´2 µ111Π̂ =l̂ + ŝ − l −=l− +12l + 122m=−l− 21, χ− = χ 1 − 1 =2 39. Ïðàâèëà îòáîðà äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îïåðàòîðîâ´1 ³ ˆŝ−l+ + ŝ+lˆ− + 2ŝz lˆz + l + 12l + 1 ïðîåêöèîííûé îïåðàòîð äëÿ ìóëüòèïëåòà ñ j = l + 1/2.=2Φl+1/2, l+1/2 = Yll χ+ =µYll0¶ 39..Îñòàëüíûå óíêöèè ýòîãî ìóëüòèïëåòà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíûäåéñòâèåì îïåðàòîðà ĵ− = lˆ− + ŝ− .
 ÷àñòíîñòè,ĵ−Φl+1/2, l+1/2 =√2l Yll−1 χ+ + Yll χ− =√2l + 1 Φl+1/2, l−1/2 .Èç äâóõ óíêöèé Ψm1 m2 ñ m = l − 1/2, ïîìèìî óêàçàííîé âûøå êîìáèíàöèè, ìîæíî ïîñòðîèòü åùå îäíó, îðòîãîíàëüíóþ êΦl+ 1 ,l+ 1 :22Yll−1 χ+ −√Ïîêàæèòå, ÷òî2Φl− 1 ,m+ 122Ã√l + m + 1 Ylm!,√2l + 1)l−mYlm+1Ã√!l−mYlm1=√.√2l + 1 − l + m + 1 Ylm+1Φl+ 1 ,m+ 1 = p21Òàêèå ïðàâèëà âàæíû ïðè ðàñ÷åòå ðàçëè÷íûõ âåðîÿòíîñòåéïåðåõîäîâ, â ÷àñòíîñòè, ïðè èçëó÷åíèè è ïîãëîùåíèè ñâåòà àòîìàìè.Ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû íå èçìåíÿþòñÿ ïðè ïîâîðîòàõ, ïîýòîìóäëÿ êàæäîãî ñêàëÿðíîãî îïåðàòîðà Ŝ , ïîñòðîåííîãî èç îïåðàòîðîâ r2 , p̂2 , rp̂, l̂2 , l̂ŝ è ò.
ä., ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå2l Yll χ− .ßñíî, ÷òî ýòà êîìáèíàöèÿ ïðèíàäëåæèò ê ìóëüòèïëåòó ñ j =max (m1 + m2) = l − 12 , ñîäåðæàùåìó 2j + 1 = 2l óíêöèåéΦl− 1 , m.Òàêèì îáðàçîì, ýòè äâà ìóëüòèïëåòà äàþò íàáîð èç 2l +22 + 2l = (2l + 1) · 2 óíêöèé Φjm ñ j = l + 1/2 è j = l − 1/2.Ïðàâèëà îòáîðà äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ îïåðàòîðîâ[Ĵ, Ŝ] = 0èëè[Jˆz , Ŝ] = 0, [Ĵ2, Ŝ] = 0 ,ãäå Ĵ îïåðàòîð ïîëíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû. Ïóñòü|JM αi ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ îïåðàòîðîâ Ĵ2 è Jˆz ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè J(J + 1) è M ñîîòâåòñòâåííî, íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë α õàðàêòåðèçóåò äðóãèå âîçìîæíûå èçè÷åñêèåâåëè÷èíû, èìåþùèå îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ â ýòîì ñîñòîÿíèè.Èç ñîîòíîøåíèÿhJ ′M ′α′|Jˆz Ŝ − Ŝ Jˆz |JM αi = (M ′ − M )hJ ′M ′α′|Ŝ|JM αi = 0160ëàâà VII.ÑËÎÆÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒÎÂñëåäóåò, ÷òî ìàòðè÷íûé ýëåìåíò hJ ′ M ′ α′ | Ŝ |JM αi ìîæåò áûòüîòëè÷åí îò íóëÿ ëèøü ïðè M ′ = M .
Àíàëîãè÷íî èç ñîîòíîøåíèÿhJ ′M ′α′| [Ĵ2, Ŝ] |JM αi = 0ñëåäóåò, ÷òî ýòîò æå ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ìîæåò áûòü îòëè÷åíîò íóëÿ ëèøü ïðè J ′ = J .Íàêîíåö, ðàññìîòðèì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îò îïåðàòîðíîãîðàâåíñòâà Jˆ− Ŝ Jˆ+ = Ŝ Jˆ− Jˆ+ è ó÷òåì, ÷òîJˆ+ |JM αi = c|J, M + 1, αi , hJM α′|Jˆ− = chJ, M + 1, α′| ,Jˆ−Jˆ+ |JM αi = c2|JM αi , 39. Ïðàâèëà îòáîðà äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îïåðàòîðîâîòáîðà M ′ = M ± 1 è òå æå ïðàâèëà îòáîðà äëÿ J . Ñóùåñòâåííûì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ïðàâèë îòáîðà áûë íå êîíêðåòíûéâèä îïåðàòîðà n, à åãî âåêòîðíûé õàðàêòåð. Ïîýòîìó è äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî îïåðàòîðà V̂ ñïðàâåäëèâû ïðàâèëà îòáîðà:ìàòðè÷íûé ýëåìåíòhJ ′M ′α′| V̂z |JM αiìîæåò áûòü îòëè÷åí îò íóëÿ ëèøü ïðèM′ = M ,ìàòðè÷íûé ýëåìåíòhJ ′M ′α′| V̂+ |JM αiòîãäà ïîëó÷èìhJ, M + 1, α′|Ŝ|J, M + 1, αi = hJM α′|Ŝ|JM αi .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îáñóæäàåìûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò âîîáùåíå çàâèñèò îò M (ïðè M ′ = M ), ò.
å.′′ ′ìîæåò áûòü îòëè÷åí îò íóëÿ ëèøü ïðèM′ = M + 1 ,à ìàòðè÷íûé ýëåìåíò′hJ M α | Ŝ |JM αi = f (J, α, α ) δJJ ′ δM M ′ . êà÷åñòâå ïðîñòîãî ïðèìåðà âåêòîðíîãî îïåðàòîðà ðàññìîòðèì åäèíè÷íûé âåêòîð n = r/r. Èçâåñòíû ñîîòíîøåíèÿìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðà n è ñåðè÷åñêèìè óíêöèÿìèY1m(θ, ϕ):nz =rr4πY10, n± = nx ± i ny = ∓3hJ ′M ′α′| V̂− |JM αiìîæåò áûòü îòëè÷åí îò íóëÿ ëèøü ïðèM′ = M − 1 ,è âî âñåõ ýòèõ ñëó÷àÿõ8πY1±1 .3Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ïðîèçâåäåíèå nz |JM αi ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóïåðïîçèöèè óíêöèé Φjm ñ m = M è j = J −1, J ,J + 1 ïðè J ≥ 1 è j = 1/2, 3/2 ïðè J = 12 . Ïîýòîìó ìàòðè÷íûéýëåìåíò hJ ′ M ′ α′ | nz |JM αi ìîæåò áûòü îòëè÷åí îò íóëÿ ëèøüïðè M ′ = M è J ′ = J, J ± 1 ïðè J ≥ 1 è J ′ = 1/2, 3/2 ïðèJ = 1/2.
Àíàëîãè÷íî äëÿ hJ ′M ′α′| n± |JM αi ïîëó÷èì ïðàâèëà161J ′ = J − 1, J, J + 1 ïðè J ≥ 1èëèJ ′ = 1/2, 3/2 ïðè J = 1/2 .Íàéäèòå ïðàâèëà îòáîðà ïî M äëÿ âåêòîðíîãî îïåðàòîðà V̂,èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå[Jˆz , V̂±] = ±V̂± ,162ëàâà VII.ÑËÎÆÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒÎÂñëåäóþùåå èç [Jˆj , V̂k ] = iεjkn V̂n (ñð. îðìóëó (23.12)).Äîïîëíèòåëüíûå ïðàâèëà îòáîðà. ×¼òíîñòü ñîñòîÿíèÿV̂ Ylm ðàâíà ∓(−1)l , åñëè V̂ ïîëÿðíûé (àêñèàëüíûé) âåêòîð,ïîýòîìó hl′ m′ |V̂|lmi ìîæåò áûòü îòëè÷åí îò íóëÿ ëèøü ïðèl′ = l ± 1 äëÿ ïîëÿðíîãî âåêòîðà (íàïðèìåð, äëÿ V = r) è ëèøüïðè l′ = l äëÿ àêñèàëüíîãî âåêòîðà (íàïðèìåð, äëÿ V̂ = r × p̂). 40.Óñðåäíåíèå âåêòîðíîãî îïåðàòîðàÏîëó÷åííûå âûøå ïðàâèëà îòáîðà ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü âàæíóþ â ïðèëîæåíèÿõ îðìóëó óñðåäíåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðíîãî îïåðàòîðà ïî ñîñòîÿíèÿì ñ îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìèîïåðàòîðîâ Ĵ2 è Jˆz .Èñïîëüçóÿ ïðàâèëà êîììóòàöèè [Jˆj , V̂k ] = iεjkn V̂n , ïîêàæèòå,÷òî³´³Ĵ2 Ĵ2 V̂ − V̂ Ĵ2 − Ĵ2 V̂ − V̂ Ĵ2³22= 2 Ĵ V̂ + V̂ Ĵ´´iĴ2 = Ĵ2, [Ĵ2, V̂] =³h´− 4Ĵ ĴV̂ .Âçÿâ îò ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïî ñîñòîÿíèÿì|JM ′αi è |JM αi, îòëè÷àþùèìñÿ ëèøü çíà÷åíèÿìè ïðîåêöèèJˆz , ïîëó÷èì³ ´J(J + 1) hJM ′α| V̂ |JM αi = hJM ′α| Ĵ ĴV̂ |JM αi .Âñòîðîíå ýòîãî ðàâåíñòâà ìåæäó îïåðàòîðàìè Ĵ è³ ïðàâîé´ĴV̂ ïðîëîæèì ïîëíûé íàáîð1=XJ ′′ M ′′|J ′′M ′′αi · hJ ′′M ′′α| 40.
Óñðåäíåíèå âåêòîðíîãî îïåðàòîðà163è ó÷ò¼ì âûâåäåííûå â 39 ïðàâèëà îòáîðà.  èòîãå ïîëó÷èìîðìóëó óñðåäíåíèÿhJM ′α|V̂|JM αi =1hJM ′α|Ĵ|JM αi · hJM α|ĴV̂|JM αi,J(J + 1)ïîêàçûâàþùóþ, ÷òî óñðåäí¼ííûé âåêòîð V íàïðàâëåí ïîóñðåäí¼ííîìó âåêòîðó J.  ÷àñòíîñòè, ïðè M ′ = M óñðåäí¼ííûé âåêòîð V íàïðàâëåí ïî îñè z :hJM α|V̂|JM αi = C·(0, 0, M ), C =1hJM α|ĴV̂ |JM αi.J(J + 1)Çàäà÷è40.1. Ïîêàçàòü, ÷òî óãëîâàÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñîñòîÿíèÿp1/2 (êâàíòîâûå ÷èñëà l = 1, s = 1/2, j = 1/2) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå (−σn)χ, ãäå n îðò ðàäèóñ-âåêòîðà, χ îáû÷íûé äâóõêîìïîíåíòíûé ñïèíîð.40.2. Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ 12 × 12 , 1 × 1, 1 × 12 (â òîì ÷èñëå ñèñïîëüçîâàíèåì òàáëèö êîýèöèåíòîâ Êëåáøà îðäàíà).40.3. Íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíàâ ñîñòîÿíèè p1/2 ñ jz = 1/2 äâóìÿ ñïîñîáàìè:à) èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåé çàäà÷è;á) èñïîëüçóÿ îðìóëó óñðåäíåíèÿ âåêòîðíîãî îïåðàòîðà.40.4.
Ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ ñïèíîâ s1 = s2 = 1/2, âçàèìîäåéñòâèå êîòîðûõ èìååò âèä V̂ = Kŝ1 ŝ2 . Íàéòè óðîâíè ýíåðãèèñèñòåìû âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå B, åñëè ãèðîìàãíèòíûåîòíîøåíèÿ ðàâíû g1 è g2 .40.5. Íàéòè ïðàâèëà îòáîðà äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ äèïîëüíîãî hl′ m′ |xj |lmi è êâàäðóïîëüíîãî hl′ m′ | xj xk − 13 δij r2 |lmiìîìåíòîâ.40.6. Íàéòè â áîðíîâñêîì ïðèáëèæåíèè ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿáûñòðûõ íåéòðîíîâ êóëîíîâñêèì ïîëåì (Çàäà÷à 13.43 èç [4℄, à164ëàâà VII.ÑËÎÆÅÍÈÅ ÌÎÌÅÍÒÎÂòàêæå § 42 èç êíèãè Áåðåñòåöêèé Â. Á., Ëèøèö Å. Ì., Ïèòàåâñêèé À.
Ï. Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. Ì.: Íàóêà, 1989)).ëàâà VIIIÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀßÌÅÕÀÍÈÊÀÌû íà÷í¼ì ýòó ãëàâó ðàçäåëîì, ïîñâÿù¼ííûì ïðèíöèïó Ïàóëè, êîòîðûé, íà ïåðâûé âçãëÿä, íå ñâÿçàí ïðÿìî ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ïðîáëåìàòèêîé. Íî ýòîò ïðèíöèï îêàæåòñÿ âåñüìà ïîëåçíûì ïðè îáñóæäåíèè ñâîéñòâ ðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ Äèðàêà, ïîýòîìó óäîáíî ðàññìîòðåòü åãî äî èçëîæåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ. 41.Òîæäåñòâåííîñòü ÷àñòèö.
Ïðèíöèï ÏàóëèÁëàãîäàðÿ îòñóòñòâèþ òî÷íîé ëîêàëèçóåìîñòè â êâàíòîâîéìåõàíèêå òîæäåñòâåííîñòü ÷àñòèö ïðèâîäèò ê èõ íåðàçëè÷èìîñòè. Ïóñòüψ(x1, x2, . . . , xi, . . . , xk , . . . xN ) âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñèñòåìû N îäèíàêîâûõ ÷àñòèö, à xj ñîâîêóïíîñòü êîîðäèíàò è ñïèíîâûõ ïåðåìåííûõ j -îé ÷àñòèöû.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïîñòóëèðóåòñÿ, ÷òî ýòà âîëíî-âàÿ óíêöèÿ è âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñ ïåðåñòàâëåííûìè÷àñòèöàìèψ(x1, x2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
