1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Àíäåðñîí, 1932) è íàçâàíà ïîçèòðîíîì.Òàêèì îáðàçîì, ñâîáîäíîìó ýëåêòðîíó ñîîòâåòñòâóåò ïëîñêàÿâîëíàµΨp(x) = up e−ipµx , pµxµ = εt − pr ,(47.2)ãäå áèñïèíîð up îïðåäåëåí â (1), à ñâîáîäíîìó ïîçèòðîíó ñîîòâåòñòâóåò ïëîñêàÿ âîëíàµΨ−p(x) = C Ψ̄p(x) = vp eipµx , pµxµ = εt − pr ,(47.3)184ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀãäå áèñïèíîð vp îïðåäåëåí ñîîòíîøåíèåìvp ≡ u(−ε, −p) = C ūp =rε+m2εµÂ χχ¶,(47.4) 48.Íåðåëÿòèâèñòñêèé è óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåëû óðàâíåíèÿ Äèðàêà 185æåò áûòü ïðîâåäåíà äâóìÿ âîçìîæíûìè ñïîñîáàìè, îïèñàííûìè â 46.
Ýëåêòðîíó ñ ïðîåêöèåé ñïèíà íà îñü z â åãî ñèñòåìåïîêîÿ, ðàâíîé σ , ñîîòâåòñòâóþò ñïèíîðûχ = −σy ϕ , vp+ vp = 1 .ϕÎòìåòèì, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò íàõîäèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ îðìóëàìè çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ (ñì. (45.6), (45.7)) : åñëè óíêöèÿ Ψ(x) ∝ e−iεt/~ åñòü ðåøåíèå ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Äèðàêà äëÿ ÷àñòèöû ñ ýíåðãèåé E = +ε è çàðÿäîì e âî âíåøíåìïîëå, òî óíêöèÿ C Ψ̄(x) ∝ e+iεt/~ îòâå÷àåò ðåøåíèþ óðàâíåíèÿÄèðàêà äëÿ ÷àñòèöû ñ ýíåðãèåé E = −ε è ïðîòèâîïîëîæíûìçàðÿäîì (−e) â òîì æå ïîëå. Áèñïèíîðû up è vp âçàèìíî îðòîãîíàëüíûvp+ up = u+p vp = 0 . íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå âåëè÷èíà  ∼ |p|/m ≪ 1,ïîýòîìó âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà (ïîçèòðîíà)àêòè÷åñêè ñòàíîâèòñÿ äâóõêîìïîíåíòíîé, òàê êàê å¼ íèæíèå(âåðõíèå) êîìïîíåíòû îêàçûâàåòñÿ ∼ |p|/m.Îòìåòèì òàêæå îñîáåííîñòü, ñâÿçàííóþ ñ îïåðàòîðîì ñêîðîñòè v̂ = α. Òàê êàê v̂x = αx , à αx2 = I , òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿîïåðàòîðà v̂x ðàâíû ±1 (èëè ±c â îáû÷íûõ åäèíèöàõ).
Îäíàêîñîáñòâåííûå óíêöèè îïåðàòîðà v̂x íå ñîîòâåòñòâóþò îïðåäåëåííîìó çíàêó ýíåðãèè, ò. å. îáû÷íûì èçè÷åñêèì ñîñòîÿíèÿì.È íàîáîðîò, ñðåäíåå çíà÷åíèå ñêîðîñòè â ñîñòîÿíèè ñ èêñèðîâàííîé ýíåðãèåéhvxi = u+(±ε, p) αx u(±ε, p) =px,±εêàê è äîëæíî áûòü.Ñïèíîâûå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà è ïîçèòðîíà çàäàþòñÿ äâóõêîìïîíåíòíûì ñïèíîðîì ϕ. Êëàññèèêàöèÿ ýòèõ ñîñòîÿíèé ìî-(σ=1/2)=µ10¶, ϕ(σ=−1/2)=µ¶01,(47.5)à ýëåêòðîíó ñî ñïèðàëüíîñòüþ λ ñïèíîðû (ñì. 36.3)ϕϕ(λ=−1/2)¶(n) =µe−iϕ/2 cos 2θeiϕ/2 sin 2θ(n) =µ−e−iϕ/2 sin 2θeiϕ/2 cos 2θ(λ=1/2),¶(47.6a),(47.6b)ãäå åäèíè÷íûé âåêòîð n îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì èìïóëüñàýëåêòðîíàn=p= (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) .|p|(47.7)Çàäà÷è47.1.
Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà äëÿ ïëîñêîé âîëíû,èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà èç ñèñòåìû ïîêîÿ ýëåêòðîíà.47.2. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà â âèäå ïëîñêîé âîëíû äëÿ ÷àñòèöû ñ ìàññîé m = 0. 48.Íåðåëÿòèâèñòñêèé è óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèéïðåäåëû óðàâíåíèÿ ÄèðàêàÏðè ðàññìîòðåíèè íåðåëÿòèâèñòñêîãî è óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîãî ïðåäåëîâ óðàâíåíèÿ Äèðàêà óäîáíî èñïîëüçîâàòü ýòî186ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀóðàâíåíèå â ãàìèëüòîíîâîé îðìå (46.1) ñ îïðåäåëåííîé ðåëÿòèâèñòñêîé ýíåðãèåé ε,Ĥψ(r) = εψ(r) , ψ(r) =µϕ(r)χ(r)¶,(48.1)è ïåðåïèñàòü åãî â âèäå ñèñòåìû ñâÿçàííûõ óðàâíåíèé äëÿäâóõêîìïîíåíòíûõ ñïèíîðîâ ϕ(r) è χ(r):³e ´(ε − mc2 − eA0) ϕ(r) = cσ p̂ − A χ(r) ,c³´e(ε + mc2 − eA0) χ(r) = cσ p̂ − A ϕ(r) .c(48.2a)(48.2b)48.1.
Íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ ÄèðàêàÏðîâåäåì ðàçëîæåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà (2) ïî ñòåïåíÿì v/cäî ïåðâîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî (ðàçëîæåíèå äî âòîðîãî ïîðÿäêà ñì. â 51). Äëÿ ýòîãî ââåä¼ì íåðåëÿòèâèñòñêóþ ýíåðãèþEíåð= ε − mc2è áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî |Eíåð | ≪ mc2 è |eA0 | ≪ mc2 . Òîãäàèç óðàâíåíèÿ (2b) â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî v/c íàõîäèì³1e ´χ(r) =σ p̂ − A ϕ(r) .2mccÏîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (2a), ïîëó÷àåìe ´i21 h ³σ p̂ − A(E − eA0) ϕ(r) =ϕ(r) .2mcíåðÑ ó÷åòîì (37.2) ýòî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä óðàâíåíèÿ Ïàóëè:Ĥíåðϕ(r) = Eíåðϕ(r) , Ĥíåð1 ³e ´2=p̂ − A + eA0 − µ̂e B ,2mcâ êîòîðîì çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíàµ̂e =e~σ2mcïîëó÷åíî êàê ïðîñòîå ñëåäñòâèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà. 48.Íåðåëÿòèâèñòñêèé è óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåëû óðàâíåíèÿ Äèðàêà 18748.2.
Óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ Äèðàêààññìîòðèì óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ Äèðàêà (1), (2), êîãäà ïðè ε ≫ m â ãàìèëüòîíèàíå ìîæíî ïðåíåáðå÷üñëàãàåìûì, ïðîïîðöèîíàëüíûì ìàññå ýëåêòðîíà, ò. å. êîãäàĤ = α(p̂ − eA) + eA0 .(48.3) ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà îáëàäàþò äîïîëíèòåëüíîé ñèììåòðèåé. ×òîáû óâèäåòü ýòî, ïåðåïèøåì (2), ïðåíåáðåãàÿ ìàññîé ýëåêòðîíà,(ε − eA0) ϕ(r) = σ (p̂ − eA) χ(r) ,(ε − eA0) χ(r) = σ (p̂ − eA) ϕ(r) .Ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ ýòè äâà óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì ñèñòåìóíåñâÿçàííûõ óðàâíåíèé:σ(p̂ − eA) ξ(x) = +(ε − eA0) ξ(x) ,σ(p̂ − eA) η(x) = −(ε − eA0) η(x) ,ãäå íîâûå äâóõêîìïîíåíòíûå ñïèíîðû ξ è η âûðàæàþòñÿ ëèíåéíî ÷åðåç ñòàðûå:ξ = 12 (ϕ + χ) , η = 12 (ϕ − χ) .Âèäíî, ÷òî íîâûå ñïèíîðû ξ è η ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè îïåðàòîðàK̂ = (ε − eA0)−1 σ(p̂ − eA)ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè +1 è −1 ñîîòâåòñòâåííî.
Òàêèì îáðàçîì, ñïèíîðû ξ è η îïèñûâàþò äâà ðàçíûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ Äèðàêà ñ îäíîé èòîé æå ýíåðãèé ε. Ñîñòîÿíèå, îïèñûâàåìîå ñïèíîðîì ξ(x), íàçûâàåòñÿ êèðàëüíûì ñîñòîÿíèåì ñ ïîëîæèòåëüíîé (èëè ïðàâîé,188ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀR) êèðàëüíîñòüþ, à ñîñòîÿíèå, îïèñûâàåìîå ñïèíîðîì η(x), íàçûâàåòñÿ êèðàëüíûì ñîñòîÿíèåì ñ îòðèöàòåëüíîé (èëè ëåâîé,L) êèðàëüíîñòüþ.Ïðè ñâîáîäíîì äâèæåíèè äèðàêîâñêîé ÷àñòèöû, êîãäà 4-ïîòåíöèàë Aµ = 0, îïåðàòîð K̂ = σ p̂/ε ëèøü ìíîæèòåëåì 2 îòëè÷àåòñÿ îò îïåðàòîðà ñïèðàëüíîñòè Λ̂ = 12 σ p̂/|p|, òàê êàê â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå |p| = ε. Ïîýòîìó ïðàâûì èëè ëåâûì êèðàëüíûì ñîñòîÿíèÿì ñîîòâåòñòâóþò îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ ñïèðàëüíîñòè λ = +1/2 èëè λ = −1/2.
 êâàçèêëàññè÷åñêîìâåêòîð√ ïðèáëèæåíèè îïåðàòîðó p̂ − eA ñîîòâåòñòâóåò√mv/ 1 − v 2, à îïåðàòîðó ε − eA0 âåëè÷èíà m/ 1 − v 2, òàê÷òî îïåðàòîðó K̂ è â ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííàÿïðîåêöèÿ ñïèíà íà íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. îáû÷íîì îðìàëèçìå ÷åòûðåõêîìïîíåíòíûõ ñïèíîðîâψ(r) äîïîëíèòåëüíàÿ ñèììåòðèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà ïðè m = 0ñâÿçàíà ñ íàëè÷èåì äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà äâèæåíèÿ. Ñîîòâåòñòâóþùèì åìó îïåðàòîðîì ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà (ñì. (44.7))γ5 = −iγ0γxγy γz =ñî ñâîéñòâàìèµ0−I−I0¶(γ5)2 = 1 , γ5γµ + γµγ5 = 0 , γ5α − αγ5 = 0 .Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ γ5ðàâíû ±1, à èç âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî γ5 íåêîììóòèðóåò ñ ïîëíûì ãàìèëüòîíèàíîìĤ = α(p̂ − eA) + eA0 + mγ0 ,ñîäåðæàùèì ñëàãàåìîå mγ0 , íî êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì(3), â êîòîðîì ýòî ñëàãàåìîå îòñóòñòâóåò.
Ïîýòîìó ìû ìîæåìñòàâèòü çàäà÷ó íà ïîèñê ñîâìåñòíûõ ñîáñòâåííûõ óíêöèé îïå- 49. Ñõîäñòâî è ðàçëè÷èå óðàâíåíèé Äèðàêà è Êëåéíà Ôîêà îðäîíà189ðàòîðîâ Ĥ (3) è γ5 . Ïóñòü ψ(r) åñòü íåêîòîðîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ĥ ψ(r) = ε ψ(r). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óíêöèè1 − γ5ψ(r) =ψR (r) =21 + γ5ψL(r) =ψ(r) =2µµξ(r)ξ(r)¶η(r)−η(r)ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè γ5 :,¶γ5 ψR,L(r) = ∓ ψR,L(r) .Èç ýêñïåðèìåíòà ñëåäóåò, ÷òî ìàññà íåéòðèíî î÷åíü ìàëà, è÷òî îáû÷íî íåéòðèíî ìîæíî ñ÷èòàòü ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ ëåâûì, à àíòèíåéòðèíî ïðàâûì.
Âî âçàèìîäåéñòâèÿõ íåéòðèíî÷¼òíîñòü íå ñîõðàíÿåòñÿ. 49.Ñõîäñòâî è ðàçëè÷èå óðàâíåíèé Äèðàêàè Êëåéíà Ôîêà îðäîíàÏðèìåíèâ îïåðàòîð γ µ (i∂µ − eAµ ) + m ê óðàâíåíèþ Äèðàêà,êâàäðèðóåì ýòî óðàâíåíèå:ie µ νγ γ Fµν − m2}Ψ(x) = 0 ,2= ∂µ Aν − ∂ν Aµ .{(i∂µ − eAµ)(i∂ µ − eAµ) −Fµν(49.1)Îòëè÷èå ýòîãî óðàâíåíèÿ îò óðàâíåíèÿ Êëåéíà Ôîêà îðäîíà âî âòîðîì ñïèíîâîì ñëàãàåìîì.àññìîòðèì äâèæåíèå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â ïîñòîÿííîì (íîíå îáÿçàòåëüíî îäíîðîäíîì) ìàãíèòíîì ïîëå B(r) â îòñóòñòâèåýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
 ýòîì ñëó÷àå ñïèíîâîå ñëàãàåìîå ïðèíèìàåò îðìóie− γ µγ ν Fµν = eΣB .2190ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀÄëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ Ψ(r, t) = ψE (r) e−iEt â ñèëó óðàâíåíèÿ (1) ïîëó÷àåì:Òàê êàꩪ(E 2 − (p̂ − eA)2 + eΣB − m2 ψE (r) = 0 .(p̂ − eA)2 − eΣB = (2ŝ(p̂ − eA))2 ,ãäå ŝ = 12 Σ îïåðàòîð ñïèíà ýëåêòðîíà, òî ìû ïðèõîäèì êâûâîäó, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñîñòîÿíèå ñ îïðåäåë¼ííîé ýíåðãèåé ψE (r) îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì ñ îïðåäåë¼ííûì2çíà÷åíèåì îïåðàòîðà (2ŝ(p̂ − eA)) ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåìE 2 − m2.
Ïîýòîìó ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåŝ (p̂ − eA)òàêæå√ èìååò â äàííîì ñîñòîÿíèè îïðåäåë¼ííîå çíà÷åíèå1± 2 E 2 − m2 . êâàçèêëàññè÷åñêîìïðèáëèæåíèè âåëè÷èíà p − eA ñîâïà√2äàåò ñ mv/ 1 − v , à ìîäóëü ýòîé âåëè÷èíû ñîõðàíÿåòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå, íå çàâèñÿùåì îò âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, èç ñîõðàíåíèÿ âåëè÷èí sv è |v| ñëåäóåò, ÷òî â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ñîõðàíÿåòñÿ âåëè÷èíà λ = s v/|v|, ò.
å. ñïèðàëüíîñòüýëåêòðîíà (ïðîåêöèÿ ñïèíà ýëåêòðîíà íà íàïðàâëåíèå åãî äâèæåíèÿ). äåéñòâèòåëüíîñòè ýòî óòâåðæäåíèå íàðóøàåòñÿ çà ñ÷åò ìàëîãî àíîìàëüíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà. Ìàãíèòíûéìîìåíò ýëåêòðîíà ðàâåí (â îáû÷íûõ åäèíèöàõ)µ=e~(1 + κ),2mcκ≈α≪ 1.2πÝòó ïîïðàâêó ìîæíî ó÷åñòü, ìîäèèöèðîâàâ óðàâíåíèå Äèðàêàñëåäóþùèì îáðàçîì:·¸ieκ µ νµγ γ Fµν Ψ(x) = 0.γ (i∂µ − eAµ) − m −4m 50. àññåÿíèå ðåëÿòèâèñòñêîãî ýëåêòðîíà â êóëîíîâñêîì ïîëå 50.191àññåÿíèå ðåëÿòèâèñòñêîãî ýëåêòðîíàâ êóëîíîâñêîì ïîëåÏóñòü ðåëÿòèâèñòñêèé ýëåêòðîí ðàññåèâàåòñÿ â êóëîíîâñêîìïîëå ïðîòîíà (−e2 /r), ïåðåõîäÿ èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿψi(r) = up eiprpñ èìïóëüñîì p è ýíåðãèåé ε = m2 + p2 â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå′ψf (r) = up′ eip r èìïóëüñîì p′ è òîé æå ýíåðãèåé ε.
Çäåñü ÷åòûðåõêîìïîíåíòíûå ñïèíîðû up è up′ îïðåäåëåíû ÷åðåç îáû÷íûå äâóõêîìïîíåíòíûå ñïèíîðû ϕi è ϕf ñîîòâåòñòâåííî (ñì. 47):up =rε+m2εµϕi ϕi =¶, up′ =rε+m2εσp′σp, Â′ =.ε+mε+mµϕfÂ′ ϕf¶,Áîðíîâñêàÿ àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ8f =−εUf i2πñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ðàâíà óðüå-îáðàçó ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ, èëè ìàòðè÷íîìó ýëåìåíòóUf i = U (q) =4πe2= − 2 ϕ+fq½Zψf+(r)µe2−r¶ψi(r) d3r = −q2i[p′ × p]σ1−+4ε(ε + m) 2ε(ε + m)¾4πe2 +u ′ up =q2 pϕi ,q = p′ − p .Âûðàæåíèå â èãóðíûõ ñêîáêàõ ïåðåïèøåì â âèäå½q2i[p′ × p]σ1−+4ε(ε + m) 2ε(ε + m)¾= A + i nσ B , n =p′ × p,|p′ × p|8 Òàêîå ðåëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå îðìóë 33 ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñïîìîùüþ íåñòàöèîíàðíîé òåîðèè âîçìóùåíèé (ñì.
íèæå 63).192ëàâà VIII.ÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÀß ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀãäå n íîðìàëü ê ïëîñêîñòè ðàññåÿíèÿ. Åñëè âûáðàòü n â êà÷åñòâå îñè êâàíòîâàíèÿ ñïèíà (îñè z ), òîòîëüêî åñëè íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå ïðîåêöèè ñïèíîâ íà ýòó îñüñîâïàäàþò, mi = mf . Ýòî äåëàåò òðèâèàëüíûì óñðåäíåíèå ñå÷åíèÿ ïî ïîëÿðèçàöèÿì íà÷àëüíîãî ýëåêòðîíà è ñóììèðîâàíèåïî ïîëÿðèçàöèÿì êîíå÷íîãî ýëåêòðîíà, òàê ÷òîΣmi,mf¯¯2v2 2¯ +¯22¯ϕf (A + i nσ B) ϕi¯ = A + B = 1 − 2 sin (θ/2) ,cãäå θ óãîë ðàññåÿíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
