1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

ä.Ó÷èòûâàÿ îðìóëû (66.4) è (65.15), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþîöåíêó:Mf i ∼Ãr2π~c2 ω·ωVc!22eµ|rni|2|rni|2+∆E − ~ω ∆E + ~ω¶∼264ëàâà X.∼2πe2a2BEn0 − Ei0.µ~ω~ω+∆E − ~ω ∆E + ~ω¶ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ,ãäå ∆E =Ïðè êâàíòîâàíèè ïîëÿ ïðåäïîëàãàëàñü íîðìèðîâêà íà îäèí îòîí âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, ïîýòîìó ïëîòíîñòü ïîòîêà îòîíîâ j = c/V , à ýíåðãåòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòüêîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé̺=ZVd3k ′ω2δ(Ef + ~ω − Ei − ~ω) 2∼V.(2π)3π 2~c3′Òàê êàê ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ðàâíîdσ =dwi→f,jŸ 69.

Ìîëåêóëû265Òîãäà ïîëó÷èì õàðàêòåðíîå ðåçîíàíñíîå ñå÷åíèå:σ∼πa2Bα4µ~ωΓ¶2∼πa2B∼ π λ2 ,2αãäå λ ∼ aB /α = c/ωàò ïîðÿäêà äëèíû âîëíû ïàäàþùåãî ñâåòà.Çàäà÷à68.1. Íàéòè äèåðåíöèàëüíîå è ïîëíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿîòîíîâ ñåðè÷åñêèì ðîòàòîðîì, íàõîäÿùèìñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè. îòàòîð èìååò ìîìåíò èíåðöèè I è ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëüíûé ìîìåíò d, íàïðàâëåííûé âäîëü îñè ðîòàòîðà.ãäå âåðîÿòíîñòü dwi→f ðàñ÷èòûâàåòñÿ ñîãëàñíî (63.13), òî â èòîãå ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ îöåíêó:¶2³´2 µ ~ω2π |Mf i|2̺~ω2 ωaBσ∼∼ π(αaB).+~ jc∆E + ~ω ∆E − ~ω ñëó÷àå ìàëûõ ÷àñòîò ~ω ≪ ∆E ∼ ~ωàò ïîëó÷àåì ðýëååâñêîå ñå÷åíèåµ ¶4σ ∼ πre2ωω,àòãäå re = α aB = e /(mc ) êëàññè÷åñêèé ðàäèóñ ýëåêòðîíà. ñëó÷àå áîëüøèõ ÷àñòîò ~ω ≫ ∆E ïîëó÷àåì òîìñîíîâñêîåñå÷åíè嵶222σ ∼ π(αaB )2³ ωa ´2Bc~ω~ω ðåçîíàíñíîì ñëó÷àå, ~ω = ∆E =øèðèíó ïðîìåæóòî÷íîãî ñîñòîÿíèÿ:àòEn02∼ πre2 .−Ei0,iEn0 → En0 − Γ , Γ ∼ α3 ~ω .2íóæíî ó÷åñòüŸ 69.ÌîëåêóëûÌàëîñòü îòíîøåíèÿ ìàññ ýëåêòðîíà è ÿäðà m/M îáåñïå÷èâàåò ïðèìåíèìîñòü àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàññìîòðåíèÿ äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïðè èêñèðîâàííûõ êîîðäèíàòàõÿäåð Ri .

Ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ E ïàðàìåòðè÷åñêè çàâèñèò îò Ri ,÷òî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü E(Ri ) êàê ïîòåíöèàë äëÿ ÿäåð.Ñîîòíîøåíèå ýëåêòðîííûõ, êîëåáàòåëüíûõ è âðàùàòåëüíûõ÷àñòîòrωelect : ωosc : ωrot ∼ 1 :m m:M Mñëóæèò êîëè÷åñòâåííûì îïðàâäàíèåì àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ (ñì. [1℄, Ÿ 78).Çàäà÷à68.1. Íàéòè ïðÿìûì âàðèàöèîííûì ìåòîäîì ïîòåíöèàëüíóþêðèâóþ U (R) èîíà H2+ .  êà÷åñòâå ïðîáíîé óíêöèè âûáðàòü£ ¡¢¡¢¤ψg (r, R) = C+(R) ψ r − 12 R + ψ r + 12 R ,266ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅãäåe−r/β,(πβ)3/2β âàðèàöèîííûé ïàðàìåòð è ±R/2 êîîðäèíàòû ÿäåð.àññìîòðåòü òàêæå ïîòåíöèàëüíóþ êðèâóþ U (R) äëÿ ïðîáψ(r) =íîé óíêöèè£ ¡¢¡¢¤ψu(r, R) = C−(R) ψ r − 12 R − ψ r + 12 R .ÏÈËÎÆÅÍÈÅ: Î ÔÎÌÀËÈÇÌÅÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈÎñíîâíûå ïîëîæåíèÿÄàäèì êðàòêèé ïåðå÷åíü îñíîâíûõ ïîëîæåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî îðìàëèçìà êâàíòîâîé ìåõàíèêè:à) ñîñòîÿíèþ èçè÷åñêîé ñèñòåìû ñîïîñòàâëÿåòñÿ âåêòîð ñîñòîÿíèÿ |Ψi èç ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà;b) èçè÷åñêîé âåëè÷èíå F ñîïîñòàâëÿåòñÿ ëèíåéíûé ýðìèòîâîïåðàòîð F̂ ;) èçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà F ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ f îïåðàòîðà F̂ ;d) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå çíà÷åíèé âåëè÷èíû F â ñîñòîÿíèè |Ψi îïðåäåëÿåòñÿ äèàãîíàëüíûì ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîìhΨ| F̂ |Ψi;e) çàêîí ýâîëþöèè âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîì àìèëüòîíà ñèñòåìû Ĥ ñîãëàñíî óðàâíåíèþi~∂|Ψi = Ĥ |Ψi .∂tÂåêòîðà ñîñòîÿíèé è âîëíîâûå óíêöèèÂåêòîð ñîñòîÿíèÿ |Ψf i ≡ |f i ñîïîñòàâëÿåòñÿ ñèñòåìå, ñîñòîÿíèå êîòîðîé çàäàíî êëàññè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìèf = (f1, f2, ..., fN ) ,êîòîðûå ìîæíî èçìåðÿòü îäíîâðåìåííî.267268ÏÈËÎÆÅÍÈÅ: Î ÔÎÌÀËÈÇÌÅ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈÏðèìåðû:|Ψpi ≡ |pi âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû ñ îïðåäåë¼ííûì çíà÷åíèåì èìïóëüñà p;|Ψri ≡ |ri âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû, ëîêàëèçîâàííîé âòî÷êå r.Âñå âîçìîæíûå âåêòîðû ñîñòîÿíèé îáðàçóþò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì îïðåäåëåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé |Ψi è |Φi, îíî îáîçíà÷àåòñÿ êàê hΨ|Φi =hΦ|Ψi∗, ãäå hΨ| âåêòîð èç ñîïðÿæ¼ííîãî ïðîñòðàíñòâà. ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé ìîæíî âûáðàòü ïîëíûéíàáîð íåçàâèñèìûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ âåêòîðîâ |f i òàêèõ,÷òîhf |f ′i = δf f ′ .Ýòîò íàáîð îáðàçóåò áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà.

Âûáîð áàçèñà íåîäíîçíà÷åí.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå âûáîð áàçèñà íàçûâàåòñÿ âûáîðîì ïðåäñòàâëåíèÿ .Âîëíîâûå óíêöèè. Ëþáîé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ |Ψi çàäàåòñÿñâîèìè ïðîåêöèÿìè hf |Ψi íà áàçèñíûå âåêòîðà |f i:|Ψi =Xf|f ihf |Ψi =Xf|f iψ(f ) .Ïðîåêöèÿ hf |Ψi ≡ ψ(f ), ðàññìàòðèâàåìàÿ ïðè ðàçëè÷íûõ f ,íàçûâàåòñÿ âîëíîâîé óíêöèåé äàííîãî ñîñòîÿíèÿ â f -ïðåäñòàâëåíèè.Åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè |Ψf i, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðà F̂ , ò. å.F̂ |Ψf i = f |Ψf i ,òî ïðè èçìåðåíèè âåëè÷èíû F áóäåò ïîëó÷åíî çíà÷åíèå, ðàâíîåf , ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.

Ñðåäíåå çíà÷åíèå F ïî ïðîèçâîëü-269íîìó ñîñòîÿíèþ |Ψi ðàâíîhΨ| F̂ |Ψi =Xff′hΨ|f ihf | F̂ |f ′ihf ′|Ψi =Xff |ψ(f )|2 ,ò. å. ïðè èçìåðåíèè âåëè÷èíû F â ñîñòîÿíèè |Ψi áóäåò ïîëó÷åíîîäíî èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé f îïåðàòîðà F̂ ñ âåðîÿòíîñòüþ|ψ(f )|2. Îòñþäà âèäíî, ÷òî |ψ(f )|2 ýòî âåðîÿòíîñòü íàéòè çíà÷åíèå f . Âîëíîâóþ óíêöèþ ψ(f ) íàçûâàþò òàêæå àìïëèòóäîéâåðîÿòíîñòè.Ïðåîáðàçîâàíèå âîëíîâîé óíêöèè ê äðóãîìó ïðåäñòàâëåíèþ çàäà¼òñÿ îðìóëîé13ψ(g) =Xfhg|f iψ(f ) ,ãäå âîëíîâàÿ óíêöèÿ hg|f i = ψf (g) = ψg∗ (f ) îïðåäåëÿåò ñâÿçüäâóõ áàçèñîâ.Ïðèìåð: âîëíîâàÿ óíêöèÿ ÷àñòèöû ñ îïðåäåë¼ííûì èìïóëüñîì â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè (ñì. Ÿ 1.2)eipr/~hr|pi = ψp(r) =.(2π~)3/2Òîãäà äëÿ ëþáîé âîëíîâîé óíêöèè ñ ó÷¼òîìhr|pi = hp|ri∗èìååì:ψ(p) = hp|Ψi =ψ(r) = hr|Ψi =13 Åñëè âåëè÷èíàfXrXphp|rihr|Ψi =hr|pihp|Ψi =δ(f − f ′ ).Ze−ipr/~ψ(r) d3r ;(2π~)3/2eipr/~ψ(p) d3p .(2π~)3/2ïðèíèìàåò íåïðåðûâíûé ðÿä çíà÷åíèé, òî â ýòîé îð-ìóëå ñëåäóåò çàìåíèòü ñóììó íà èíòåãðàëîðòîíîðìèðîâêèZ′hf |f i = δff′ñèìâîëδff′Pf...

→R. . . df ,ñëåäóåò çàìåíèòü íàà â óñëîâèèδ -óíêöèþ270ÏÈËÎÆÅÍÈÅ: Î ÔÎÌÀËÈÇÌÅ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈÎïåðàòîðû. Ñâÿçü ïðåäñòàâëåíèéÅñëè îïðåäåëåíî ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå âåêòîð ñîñòîÿíèÿ |Ψi â âåêòîð ñîñòîÿíèÿ |Φi, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàäàí îïåðàòîð Ĝ:|Φi = Ĝ |Ψi .Ïðèìåð: ìàòðèöà îïåðàòîðà èìïóëüñà â p-ïðåäñòàâëåíèèèìååò âèähp′| p̂ |pi = δ(p′ − p) p ;â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè ′Ìàòðèöà îïåðàòîðà. Äåéñòâèå îïåðàòîðà Ĝ íà áàçèñíûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ |f i çàäà¼òñÿ ìàòðèöåé Gf ′ f = hf ′ | Ĝ |f i:XX|f ′ihf ′| Ĝ |f i =|f ′iGf ′f .Ĝ|f i =f′271f′hr | p̂ |ri =Ĝ|Ψi =f=Xff′|f ihf | Ĝ |Ψi =|f iGf f ′ ψ(f ′) .Xff′|f ihf | Ĝ |f ′ihf ′|Ψi =Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðĜ =Xff′|f iGf f ′ hf ′|ïîëíîñòüþ îïðåäåë¼í, åñëè èçâåñòíà åãî ìàòðèöà Gf f ′ .

Äåéñòâèåîïåðàòîðà íà âîëíîâóþ óíêöèþ ïîëó÷èì, ïðîåöèðóÿ ñîîòíîøåíèå |Φi = Ĝ|Ψi íà f -áàçèñ:ϕ(f ) = hf |Φi =XGf f ′ ψ(f ′);f′ψ(f ′) = hf ′|Ψi.Ñâÿçü îïåðàòîðîâ â ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ:Gf f ′ = hf | Ĝ |f ′i ==Xgg ′Xgg ′hf |gihg| Ĝ |g ′ihg ′|f ′i =hf |gi Ggg′ hg ′|f ′i .ψr∗′ (p′) p δ(p′ − p) ψr(p) d3pd3p′ =∂δ(r′ − r) .− r)Åãî äåéñòâèå íà âîëíîâóþ óíêöèþ ψ(r) ñâîäèòñÿ ê äèåðåí= −i~∂(r′öèðîâàíèþÄëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà ñîñòîÿíèÿXZÀíàëîãè÷íîZhr| p̂ |r′iψ(r′) d3r′ = −i~∂ψ(r).∂r∂hr′| r̂ |ri = δ(r′ − r) r ; hp′| r̂ |pi = i~δ(p′ − p) .′∂(p − p)Z∂ψ(p).hp| r̂ |p′iψ(p′) d3p′ = i~∂pÍà ýòèõ ïðèìåðàõ âèäíî, ÷òî ìàòðèöû îïåðàòîðîâ r̂ è p̂ (èïîñòðîåííûå èç íèõ) ïðîïîðöèîíàëüíû δ -óíêöèè èëè åå ïðîèçâîäíîé:Gf f ′ = ĜS(f ) δ(f ′ − f ) .Èõ äåéñòâèå íà âîëíîâóþ óíêöèþ ñâîäèòñÿ ê äåéñòâèþ íàâîëíîâóþ óíêöèþ îïåðàòîðà ĜS (f ):XGf f ′ ψ(f ′) = ĜS(f ) ψ(f ) .f′Îïåðàòîð ĜS (f ) îáû÷íî íàçûâàþò øð¼äèíãåðîâñêèì îïåðàòîðîì â f -ïðåäñòàâëåíèè (â îòëè÷èå îò ìàòðè÷íîãî Gf f ′ ).

 ÷àñòíîñòè, â r-ïðåäñòàâëåíèèrˆS = r , pˆS = −i~∂;∂r272ÏÈËÎÆÅÍÈÅ: Î ÔÎÌÀËÈÇÌÅ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ273Áèáëèîãðàè÷åñêèé ñïèñîêâ p-ïðåäñòàâëåíèèrˆS = +i~∂, pˆS = p .∂p1. Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèøèö Å. Ì. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ì.:Íàóêà, 1989.2. àëèöêèé Â. Ì., Êàðíàêîâ Á. Ì., Â.È.Êîãàí Â. È. Çàäà÷èïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ì.: Íàóêà, 1992.3. îëüäìàí È. È., Êðèâ÷åíêîâ Â.

Ä. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ì.: ÈÒÒË, 1957.4. Çåëåâèíñêèé Â. . Ëåêöèè ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Íîâîñèáèðñê: Ñèáèðñêîå óíèâåðñèòåòñêîå èçäàòåëüñòâî, 2002.5. Àëüòøóëü Ë. Ì., Çåëåâèíñêèé Â. ., Êîòêèí . Ë., ÑåðáîÂ. ., Õåéåö Ñ. À., Õðèïëîâè÷ È. Á., ×åðíÿê Â. Ë. Ñáîðíèêçàäà÷ ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Íîâîñèáèðñê: îòàïðèíòíîå èçäàíèå ÍÓ, 1974..Ó÷åáíîå èçäàíèåÑåðáî Âàëåðèé åîðãèåâè÷,Õðèïëîâè÷ Èîñè Áåíöèîíîâè÷ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀÓ÷åáíîå ïîñîáèåÂòîðîå èçäàíèå, èñïðàâëåííîåÊîððåêòîð Å.

Ï. ÂîéòåíêîÏîäïèñàíî â ïå÷àòü 22.01.2010 ã.Ôîðìàò 60x84 1/16. Ó÷.-èçä. ë. 17,1. Óñë. ïå÷. ë. 19,9.Òèðàæ 200 ýêç. Çàêàç åäàêöèîííîèçäàòåëüñêèé öåíòð ÍÓ630090, Íîâîñèáèðñê-90, óë. Ïèðîãîâà, 2..

Характеристики

Список файлов книги