1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 26
Текст из файла (страница 26)
àçëîæåíèå, ïîäîáíîå (5), ìîæíîíàïèñàòü è äëÿ ïîëåé E(r, t) è B(r, t), ïðè÷åì àìïëèòóäû ýòèõïîëåé â ñèëó óðàâíåíèé247E=ZXE 2 + B2 3~ωk a∗kλ akλ .dr=8π(65.9)kλ2(65.6a)ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð Ak ëåæèò â ïëîñêîñòè, îðòîãîíàëüíîé âîëíîâîìó âåêòîðó k, ò. å. èìååò ëèøü äâå íåçàâèñèìûå êîìïîíåíòû. Äâå ñòåïåíè ñâîáîäû îñöèëëÿòîðà ñîîòâåòñòâóþò ïîïåðå÷íîñòè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå.
Ââåäåì äâà âåêòîðà ïîëÿðèçàöèè εkλ , ãäå èíäåêñ λ ïðîáåãàåò äâàÄëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì E â âèäå äâîéíîé ñóììûiX£¤h∗∗ikr−ikrik′ r−ik′ rE k′ (t) e + E k′ (t) eE k(t) e + E k(t) eE =2k,k′è ïðîâåäåì èíòåãðèðîâàíèå ïî r, èñïîëüçóÿ (4):ZE 2d3r = VX£¤E k(t) E −k(t) + E ∗k(t) E ∗−k(t) + 2E k(t) E ∗k(t) .k248ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅÇàâèñÿùèå îò âðåìåíè ñëàãàåìûå 65. Êâàíòîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿà èìïóëüñ îòäåëüíîé ìîäû ñ çàäàííîé ïîëÿðèçàöèåé λ ðàâåíE k(t) E −k(t) ∝ e−2iωk t , E ∗k(t) E ∗−k(t) ∝ e2iωk t~k a∗kλ akλ =ñîêðàùàþòñÿ, à íå çàâèñÿùèå îò âðåìåíè ñëàãàåìûå2E k(t) E ∗k(t)RB2 d3r.  èòî-V XV X ωk2E k(t) E ∗k(t) =|Ck|2 a∗kλ akλ .22π2πckkλÎòñþäà âèäíî, ÷òî ïðè âûáîðå íîðìèðîâî÷íîãî ìíîæèòåëÿ ââèäåsCk =2π~c2ωk V,ò.
å. ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçëîæåíèÿA(r, t) =Xkλs¤2π~c2 £akλ(t) εkλ eikr + a∗kλ(t) ε∗kλ e−ikr (65.10)ωk Výíåðãèÿ ïîëÿ äåéñòâèòåëüíî ñâîäèòñÿ ê ñóììå îñöèëëÿòîðíûõýíåðãèé (9), à ýíåðãèÿ êàæäîé ìîäû êîëåáàíèé ñ çàäàííîé ïîëÿðèçàöèåé λ ðàâíàEkλ = ~ωk a∗kλ akλ .(65.11)Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âûðàæåíèå äëÿïîëíîãî èìïóëüñà ïîëÿP=ZE ×B 3dr4πcñâîäèòñÿ ê ñóììå ñîîòâåòñòâóþùèõ èìïóëüñîâ äëÿ êàæäîé ìîäû êîëåáàíèéX~k a∗kλ akλ ,P=kλk Ekλ.k c65.2. Êâàíòîâàíèå ïîëÿóäâàèâàþòñÿ ïðè ó÷¼òå âêëàäà ìàãíèòíîãî ïîëÿãå ïîëó÷àåì:E=249(65.12)Íàïîìíèì, ÷òî ïðè êâàíòîâàíèè îáû÷íîãî îñöèëëÿòîðà çàâèñÿùèå îò âðåìåíè êëàññè÷åñêèå âåëè÷èíû a(t) è a∗ (t) ñòàíîâÿòñÿ îïåðàòîðàìè óíè÷òîæåíèÿ â è ðîæäåíèÿ â+ êâàíòà ñýíåðãèåé ~ω , äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ[â, â+] = 1 .(65.13)Ïðè ýòîì ñàìè îïåðàòîðû â îáû÷íîì øð¼äèíãåðîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, à âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòüîïðåäåëÿåòñÿ âîëíîâûìè óíêöèÿìè.
Êëàññè÷åñèé ãàìèëüòîíèàí H ñòàíîâèòñÿ îïåðàòîðîì Øð¼äèíãåðàĤ = 12 ~ω(â+â + ââ+) .Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé (13) îïåðàòîð Ĥ ïðèâîäèòñÿ ê âèäóĤ = ~ω(n̂ + 12 ), n̂ = â+â ,ãäå n̂ îïåðàòîð ÷èñëà êâàíòîâ, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ñóòü öåëûå ÷èñëà n = 0, 1, 2, . . .Àíàëîãè÷íî ïðè êâàíòîâàíèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âåëè÷èíû a∗kλ (t) è akλ (t) ñòàíîâÿòñÿ îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ â+kλ èóíè÷òîæåíèÿ âkλ êâàíòà, ñîîòâåòñòâóþùåãî îòîíó ñ ýíåðãèåé~ωk , èìïóëüñîì ~k è ïîëÿðèçàöèåé λ, à âåêòîðíûé ïîòåíöèàë(10) ñòàíîâèòñÿ íå çàâèñÿùèì îò âðåìåíè îïåðàòîðîìÂ(r) =Xkλs¢2π~c2 ¡∗−ikr.εeâkλεkλ eikr + â+kλ kλωk V(65.14)250ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ 65.
Êâàíòîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿÏîëÿ E(r, t) è B(r, t) òàêæå ñòàíîâÿòñÿ îïåðàòîðàìèX iωkÊ(r) =ckλB̂(r) =Xkλss¢2π~c2 ¡∗−ikrâkλεkλ eikr − â+,kλ εkλ eωk Vâkλ | nkλ, t i =(65.15)¢¡2π~c2∗−ikr,ik × âkλεkλ eikr − â+kλ εkλ eωk VĤ =Ĥkλ , Ĥkλ =kλ1+~ωk â+kλ âkλ + âkλ âkλ ,2¡¢X k ĤkλP̂ =.k ch nkλ + 1, t | Â(r) | nkλ, t i = Af i(r) eiωk t ,s√2π~c2 ∗ −ikr,Af i(r) = nkλ + 1ε eωk V kλh nkλ − 1, t | Â(r) | nkλ, t i = Af i(r) e−iωk t ,s√2π~c2εkλ eikr .Af i(r) = nkλωk VkλÏðè èñïîëüçîâàíèè ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé(65.17)îïåðàòîð Ĥkλ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó¡¢Ĥkλ = ~ωk n̂kλ + 12 , n̂kλ = â+kλ âkλ ,(65.18)ãäå n̂kλ îïåðàòîð ÷èñëà êâàíòîâ, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ñóòü öåëûå ÷èñëà nkλ = 0, 1, 2, .
. . Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü,÷òî ïðàâîé (ëåâîé) ïîëÿðèçàöèè îòîíà ñîîòâåòñòâóåò åãî ñïèðàëüíîñòü, ðàâíàÿ ±~.65.3. îæäåíèå è óíè÷òîæåíèå êâàíòîâ ïîëÿÏóñòü | nkλ , t i ñîñòîÿíèå ïîëÿ, ñîäåðæàùåå nkλ îòîíîâ ñýíåðãèåé ~ωk , èìïóëüñîì ~k è ïîëÿðèçàöèåé λ êàæäûé. Òàêêàêâ+kλ | nkλ , t i=√nkλ + 1 | nkλ + 1, t i eiωk t,(65.19)ïðè ïîãëîùåíèè îòîíà(65.16)++[âkλ , â+k′ λ′ ] = δλλ′ δkk′ , [âkλ , âk′ λ′ ] = [âkλ , âk′ λ′ ] = 0nkλ | nkλ − 1, t i e−iωk t ,òî èç (14) èëè (15) âèäíî, ÷òî ïðè äåéñòâèè îïåðàòîðà Â(r)èëè îïåðàòîðà Ê(r) íà íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ ìîæåò ïðîèñõîäèòü èçëó÷åíèå èëè ïîãëîùåíèå îäíîãî îòîíà.
Òàêèì îáðàçîì, ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà Â(r) ðàâíû:ïðè èçëó÷åíèè îòîíàà âûðàæåíèÿ äëÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàíîâÿòñÿ ñóììàìè îïåðàòîðîâ Øð¼äèíãåðà è îïåðàòîðîâèìïóëüñà äëÿ îòäåëüíûõ îòîíîâ:X√251(65.20)Èçëó÷åíèå êàêîé-ëèáî ñèñòåìû çàðÿäîâ (íàïðèìåð, àòîìà)ìîæåò ïðîèñõîäèòü â óñëîâèÿõ, êîãäà íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèåýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íå ñîäåðæèò îòîíîâ, ò. å. nkλ = 0(òàêîå èçëó÷åíèå íàçûâàþò ñïîíòàííûì), èëè â â óñëîâèÿõ,êîãäà â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ïîëÿ óæå èìååòñÿ nkλ îòîíîâ(òàêîå èçëó÷åíèå íàçûâàþò âûíóæäåííûì).
Âåðîÿòíîñòü èçëó÷åíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ìîäóëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà(19). Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî âåðîÿòíîñòü âûíóæäåííîãîèçëó÷åíèÿ îêàçûâàåòñÿ â (nkλ + 1) ðàç áîëüøå, ÷åì âåðîÿòíîñòüñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ. Ýòîò àêò ÿâëÿåòñÿ óíäàìåíòàëüíûìäëÿ èçèêè ëàçåðîâ.Ïðèìåð:Ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò ïðîõîäèò ÷åðåç îïòè÷åñêè àêòèâíóþ ñðåäó, âðàùàþùóþ åãî ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè. Îöåíèì252ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅìèíèìàëüíîå ÷èñëî êâàíòîâ, íåîáõîäèìîå äëÿ ðåãèñòðàöèè ìàëîãî óãëà ïîâîðîòà ϕ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè.Óãîë ϕ ñîâïàäàåò (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ 1/2) ñ ðàçíîñòüþ àç öèðêóëÿðíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîéâîëíû, êîòîðàÿ âîçíèêàåò ïðè ïðîõîæäåíèè âîëíû ÷åðåç ñðåäó.Ýòà ðàçíîñòü äîëæíà áûòü íå ìåíüøå íåîïðåäåëåííîñòè ∆ϕ.Âåëè÷èíîé, êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííîé óãëó ϕ, ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèå, ðàâíîå ~N , ãäå N ÷èñëî êâàíòîâ.
Ïîýòîìó íåîïðåäåëåííîñòü ∆ϕ ñâÿçàíà ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ ÷èñëà êâàíòîâ∆N√ñîîòíîøåíèåì ∆ϕ · ∆N & 1. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∆N ∼ N , ïîëó÷àåì:N&1.ϕ2Ïîëó÷åííîìó ðåçóëüòàòó ìîæíî ïðèäàòü òàêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Ïóñòü âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè z , à íà÷àëüíàÿïîëÿðèçàöèÿ íàïðàâëåíà âäîëü√ îñè x.  ýòîì ñëó÷àå àìïëèòóäàýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Ex0 ∝ ~ωN . Ïðè ïîâîðîòå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè íà ìàëûé óãîë ϕ ïîÿâëÿåòñÿ y ñîñòàâëÿþùàÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå åå àìïëèòóäû,√ ñîîòâåòñòâóþùåå ðåãèñòðàöèè îäíîãî îòîíà, ðàâíî Ey0 ∝ ~ω .√Ïîýòîìó îöåíêà äëÿ óãëà ïîâîðîòà òàêîâà: ϕ ∼ Ey0 /Ex0 ∼ 1/ N .Îòñþäà ñëåäóåò òà æå îöåíêà äëÿ N . 66.Èñïóñêàíèå è ïîãëîùåíèå ñâåòà66.1. Ñïîíòàííîå è âûíóæäåííîå èçëó÷åíèåÏóñòü àòîì èç ñîñòîÿíèÿ ψi ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ψf è èçëó÷àåò îòîí ñ ýíåðãèåé ~ω = Ei − Ef , èìïóëüñîì ~k è ïîëÿðèçàöèåé εkλ .
Äëÿ ñèñòåìû àòîì + ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ýòîåñòü ïåðåõîä èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿψi | nkλ i 66. Èñïóñêàíèå è ïîãëîùåíèå ñâåòà253â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèåψf | nkλ + 1 iïîä äåéñòâèåì âîçìóùåíèÿV̂ = −eÂ(r) p̂ ,cm(66.1)ãäå îïåðàòîð Â(r) ∝ eikr îïðåäåëåí â (65.14). Òàê êàê â íàøåìñëó÷àåkr ∼ωvaB ∼≪ 1,ccàòòî çàâèñèìîñòüþ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà îò r ìîæíî ïðåíåáðå÷ü: Â(r) ≈ Â(0), ïîñëå ÷åãî ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðàâîçìóùåíèÿ V̂ ïðèíèìàåò âèäVf i = −eAf i(0) pf i ,cm(66.2)ãäå Af i (r) îïðåäåëåí â (75.19).Ïóñòü äàëåå Ĥ ãàìèëüòîíèàí àòîìà, òîãäàipf i = mṙf i = m hψf | Ĥr − rĤ | ψii = −imωrf i ,~(66.3)÷òî ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü (2) êàê ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðàV̂ = −er Ê(0) ,(66.4)ãäå îïåðàòîð ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Ê(r) îïðåäåë¼í â (65.15).
Äîñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè âçàèìîäåéñòâèå îäíîãî ýëåêòðîíà.Îáîáùåíèå íà ñëó÷àé áîëåå ñëîæíîãî àòîìà î÷åâèäíî, äîñòàòî÷íî çàìåíèòü er íà äèïîëüíûé ìîìåíò ñèñòåìû:er → d =Xea ra .(66.5)aÝòî òàê íàçûâàåìîå äèïîëüíîå ïðèáëèæåíèå (èçëó÷åííûå âýòîì ñëó÷àå îòîíû íàçûâàþòñÿ ýëåêòðè÷åñêèìè äèïîëüíûìèèëè E1 îòîíàìè).254ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅÈñïîëüçóÿ (2) è (63.12), ïîëó÷èì âåðîÿòíîñòü èçëó÷åíèÿ àòîìîì îòîíà â òåëåñíûé óãîë dΩ â åäèíèöó âðåìåíè â âèäådwf i =2πV d3kVω 2| Vf i |2δ (~ω + Ef − Ei)=| Vf i |2 dΩ~(2π)3(2π~)2c3èëè (ïîñëå ïîäñòàíîâêè (65.8) è (3), (5)) â âèäådwkλω3=| df i · ε∗kλ |2 (nkλ + 1) dΩ2π~c3(66.6)(ïðè ýòîì âñïîìîãàòåëüíàÿ âåëè÷èíà îáú¼ì V èñ÷åçëà èçêîíå÷íîãî ðåçóëüòàòà).
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî âåðîÿòíîñòü èçëó÷åíèÿ (6) ïðîïîðöèîíàëüíà ìíîæèòåëþ (nkλ + 1), êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì êâàíòîâ â ïàäàþùåé âîëíå. Êàêóæå îòìå÷àëîñü â 65, èçëó÷åíèå ìîæåò ïðîèñõîäèòü è òîãäà,εkdf iθ25566.2. Óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå è èíòåíñèâíîñòü ñïîíòàííîãî äèïîëüíîãî èçëó÷åíèèÏîñëå ñóììèðîâàíèÿ ïî ïîëÿðèçàöèÿì îòîíà (äëÿ ýòîãîóäîáíî èñïîëüçîâàòü îðìóëó (65.8)) ïîëó÷èì óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èçëó÷åííûõ îòîíîâ è ïîëíóþ âåðîÿòíîñòü èçëó÷åíèÿâ åäèíèöó âðåìåíè:dwkω3=dΩ2π~c3¯¯23¯¯k¯ df i × ¯ , wi→f = 4ω | df i |2 .¯k¯3~c3(66.7)Åñëè df i ∝ (0, 0, 1), òîdwk∝ sin2 θ ,dΩãäå θ ïîëÿðíûé óãîë âûëåòà îòîíà.
Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷åñêîìó èçëó÷åíèþ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, êîëåáëþùåéñÿ âäîëü îñè z .Åñëè df i ∝ (1, ±i, 0), òîdwk∝ 1 + cos2 θ ,dΩkèñ. 31. Âåêòîðû, îïèñûâàþùèå èçëó÷åíèå (εk ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðàïîëÿðèçàöèè, ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè âåêòîðîâ 66. Èñïóñêàíèå è ïîãëîùåíèå ñâåòàkèdf i )êîãäà íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ íå ñîäåðæèò îòîíîâ, ò. å.ïðè nkλ = 0, ýòî òàê íàçûâàåìîå ñïîíòàííîå èçëó÷åíèå. Ïðènkλ ≥ 1 èìååò ìåñòî èíäóöèðîâàííîå èëè âûíóæäåííîå èçëó÷åíèå. Èç îðìóëû (6) è ðèñ. 31 âèäíî, ÷òî ðàáîòàåò ëèøü êîìïîíåíòà âåêòîðà ïîëÿðèçàöèè, ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òîè âåêòîðû k è df i .÷òî ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷åñêîìó èçëó÷åíèþ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, âðàùàþùåéñÿ â ïëîñêîñòè xy .Èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ I ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì ïîëíîéâåðîÿòíîñòè èçëó÷åíèÿ íà ýíåðãèþ îòîíà ~ω :I = ~ωw =4ω 4| df i |2 .3c3(66.8)Ïðîñòàÿ ïîëóêëàññè÷åñêàÿ îöåíêà òàêîâà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
