1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Íåñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé+∞−∞∂Vf i(t) iωf itedt∂t¯2∂Vf i(t) iωf it ¯¯edt ¯ .∂t(63.14)àññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà âîçìóùåíèå âêëþ÷àåòñÿ â ìîìåíòâðåìåíè t0 î÷åíü áûñòðî, òàê ÷òî õàðàêòåðíîå âðåìÿ âêëþ÷åíèÿ τ ≪ 1/ωf i (òàê íàçûâàåìîå âíåçàïíîå âîçìóùåíèå).  ýòîìñëó÷àå â èíòåãðàëå (14) ìåäëåííî èçìåíÿþùóþñÿ óíêöèþexp(iωf it) ìîæíî âûíåñòè èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà â âèäå ìíîæèòåëÿ exp(iωf i t0 ) è ïîëó÷èòü âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â âèäåWi→f63.3.Ïðèìåð:¯¯¯ Vf i(∞) ¯2¯¯ .=¯~ωf i ¯âîçáóæäåíèåàòîìàâîäîðîäà(63.15)ïðîëåòàþùèìèîíîìÈîí ñ÷èòàåòñÿ íàñòîëüêî òÿæ¼ëûì, ÷òî òðàåêòîðèÿ åãî R(t)ïðÿìîëèíåéíà, çàðÿä èîíà Ze.
Âîçìóùåíèå V (t) ñêëàäûâàåòñÿèç âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ýëåêòðîíîì è ñ ÿäðîì:V (t) = −Ze2Ze2+, R(t) = ρ + vt = (vt, ρ, 0) .|R(t) − re| |R(t) − rp|238ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅÎòíîñèòåëüíî ïðèöåëüíîãî ïàðàìåòðà ρ ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îíìíîãî áîëüøå áîðîâñêîãî ðàäèóñà: ρ ≫ aB .
ÒîãäàV (t) = −xvt + yρZe2Rr= −Ze2 2,3R(ρ + v 2t2)3/2ãäå r = re − rp îáû÷íàÿ àòîìíàÿ êîîðäèíàòà. Ïî ïðàâèëàì îòáîðà, ýòî âîçìóùåíèå âûçûâàåò ïåðåõîäû èç îñíîâíîãîs-ñîñòîÿíèÿ â p-ñîñòîÿíèÿ ñ lz = ±1. Îãðàíè÷èìñÿ ñîñòîÿíèåì2p è ðàññìîòðèì ñíà÷àëà lz = +1, òîãäà27E2 − E1 3 e2=xf i = iyf i = − 5 aB , ωf i =.3~8 ~aBÂâåäåì áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû ξ è β :tρξ = , β = τ ωf i = ,τρ08 ~vaB .3 e2 ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ àìïëèòóäà ïåðåõîäà (2) ðàâíà2 Ze2 xf iaf i(∞) =I(β) ,~v ρ1I(β) =2Z∞eiβξ−∞iξ + 1dξ .(1 + ξ 2)3/2Ôóíêöèÿ I(β) = 1 ïðè ìàëûõ β ≪ 1 è áûñòðî ïàäàåò ñ ðîñòîìβ .
Åñëè ïåðåéòè â êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü ñ ðàçðåçîì âäîëüìíèìîé îñè îò ξ = i äî áåñêîíå÷íîñòè, òî ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî−βI(β) = eZ0∞e−βξ pdξξ(2 +ξ)3Îòñþäà íàõîäèòñÿ àñèìïòîòèêà:I(β) =rπ −βeïðè β ≫ 1 .8β.239àññìîòðèì äâà ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿ.1. Ìåäëåííûé èîí, ïàðàìåòð τ ωf i = β ≫ 1, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò àäèàáàòè÷åñêîìó âîçìóùåíèþ.
 ýòîì ñëó÷àå ρ ≫ ρ0 èâåðîÿòíîñòü (ñ ó÷åòîì óäâîåíèÿ îò âêëàäà lz = −1) îêàçûâàåòñÿ, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîé:W (ρ) = AZ 2e2 a3B −2ρ/ρ0217e,A=π ≈ 2, 32 .~v ρ33112. Áûñòðûé èîí, åãî ñêîðîñòü Ze2/~ ≪ v ≪ c. Ïðè ýòîìõàðàêòåðíûé ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð ρ0 ≫ aB .  îáëàñòè ïðèöåëüíûõ ïàðàìåòðîâ ρ ≪ ρ0 âåëè÷èíà β ≪ 1 è âåðîÿòíîñòüïåðåõîäàW (ρ) = Bãäå õàðàêòåðíîå âðåìÿ ïðîëåòà τ = ρ/v , à õàðàêòåðíûé ïðèöåëüíûé ïàðàìåòðρ0 = 63. Íåñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèéµZe2~v¶2a2B217,B=≈ 2, 22ρ2310ìàëà (è, ñëåäîâàòåëüíî, òåîðèÿ âîçìóùåíèÿ ïðèìåíèìà) âïëîòüäî çíà÷åíèé ρ0 ∼ aB .  îáëàñòè áîëüøèõ ïðèöåëüíûõ ïàðàìåòðîâ ρ ≫ ρ0 âåëè÷èíà β ≫ 1 è âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ýêñïîíåíöèàëüíî ïîäàâëåíà. Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àåîñíîâíîé âêëàä â ïîëíîå ñå÷åíèå âîçáóæäåíèÿ σ ïðîèñõîäèò èçîáëàñòè aB ≪ ρ ≪ ρ0 , â êîòîðîédσ = W (ρ) 2πρdρ = 2BµZe2~v¶2πa2Bdρ.ρÎòñþäà ñ ëîãàðèìè÷åñêîé òî÷íîñòüþ ïî ïàðàìåòðó ~v/e2 ≫ 1ñå÷åíèå ðàâíîσ ≈ 2πZρ0aBW (ρ) ρdρ = 2BµZe2~v¶2πa2B ln~v.e2240ëàâà X. 64.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅÔîòîýåêò 64.
Ôîòîýåêò241ïðåäñòàâèì â âèäå (63.7)V̂ (r, t) = F̂ e−iωt + F̂ +eiωt , F̂ = −Ïóñòü íà àòîì âîäîðîäà, íàõîäÿùèéñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèèe−r/a~2ψi(r) = √, a=me2πa3ñ ýíåðãèåé Ei = −Ry, ïàäàåò ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà(ðèñ. 30), îïèñûâàåìàÿ 4-ïîòåíöèàëîìãäå îïåðàòîð F̂ îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü âûëåòà ýëåêòðîíà âåäèíèöó âðåìåíè ïðè ïîãëîùåíèè êâàíòà ïîëÿ ~ω (ñì.
(63.10))ñ ÷èñëîì êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé dνf = d3 p/(2π~)3 ):φ = 0, A(r, t) = A0 ei(kr−ωt) + A∗0 e−i(kr−ωt), ω = c |k|, kA0 = 0.Íàéäåì ñå÷åíèå îòîýåêòà, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñêîðîñòü âûëåòåâøåãî ýëåêòðîíà v = p/m âåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ àòîìíîé,íî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà: e2 /~ ≪ v ≪ c.
Òà-E0eA0 eikr p̂ ,mcdwi→f =2πd3p.| Ff i |2 δ(Ef − Ei − ~ω)~(2π~)3Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ðàâåíie~Ff i =A0mcZe−iqr√e−r/a 38e~ πa3 pA0∇√d r≈−.mc (pa/~)4 ~πa3Ïðåîáðàçóåì àçîâûé îáúåì êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿd3p = p2dpdΩ = mpdEf dΩ ,fòîãäàèñ. 30. Êèíåìàòèêà îòîýåêòàêîé ýëåêòðîí ìîæíî ñ÷èòàòü ñâîáîäíûì, òàê ÷òî åãî âîëíîâàÿóíêöèÿψf (r) = eip r/~ ,δ(Ef − Ei − ~ω) d3p → mpdΩ .Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âîëíû1 ∂A= E 0 ei(kr−ωt) + E ∗0 e−i(kr−ωt)c ∂tèìååò àìïëèòóäó E 0 = i(ω/c) A0 , òàê ÷òîE=−à åãî ýíåðãèÿp2Ef == ~ω + Ei ≈ ~ω .2mÏðè ýòîì ïåðåäàííûé èìïóëüñ ~q = p − ~k ≈ p, òàê êàê~kp2v≈=≪ 1.p2mcp 2cÎïåðàòîð âîçìóùåíèÿ àòîìà ïîëåìV̂ (r, t) = −eA(r, t)p̂mc|pA0|2 = (c/ω)2 |pE 0|2 . èòîãå âåðîÿòíîñòü âûëåòà ýëåêòðîíà â ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëàdΩ ñîñòàâëÿåò â åäèíèöó âðåìåíèdwi→f =64 | nE 0 |2 a3 ³ ω0 ´7/2pRydΩ , n = , ω0 =ω0.π~ωωp~×òîáû ïîëó÷èòü äèåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå îòîýåêòàdσ , îñòàåòñÿ ðàçäåëèòü dwi→f íà ïëîòíîñòü ïîòîêà îòîíîâ j,242ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅñâÿçàííóþ ñ âåëè÷èíîé óñðåäí¼ííîãî âåêòîðà Ïîéíòèíãà S ñîîòíîøåíèåì S = ~ωj .
 ñâîþ î÷åðåäü,ccS = |E(t)|2 = |E 0|24π2π(÷åðòà ñâåðõó îçíà÷àåò óñðåäíåíèå ïî âðåìåíè). Òàêèì îáðàçîì,äèåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå îòîýåêòà ðàâíî³ ω ´7/2dσ0cos2 ϑ ,= 64α a2dΩωãäå ϑ óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì âûëåòà ýëåêòðîíà p è âåêòîðîì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû E0 . Îáðàùåíèå dσ â íóëü ïðèϑ = π/2 ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷åñêîé êàðòèíå, â êîòîðîé ýëåêòðîí ðàñêà÷èâàåòñÿ âíåøíèì ïîëåì è ïîòîìó âûëåòàåò â îñíîâíîì âäîëü èëè ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãîïîëÿ.
Ïîëíîå ñå÷åíèå îòîýåêòà áûñòðî ïàäàåò ñ ðîñòîì ÷àñòîòû âíåøíåãî ïîëÿ:σ=³ ω ´7/2256π0.α a23ω âîäîðîäîïîäîáíîì èîíå ñ çàðÿäîì ÿäðà Ze ñå÷åíèå ðàñòåòêàê Z 5 . Ïðè ýòîì Z 2 âîçíèêàåò îò êâàäðàòà ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà, êîòîðûé ïðîïîðöèîíàëåí ñêîðîñòè àòîìíîãî ýëåêòðîíàâáëèçè ÿäðà, åùå Z 3 îò âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ýòîãî ýëåêòðîíà âáëèçè ÿäðà (ÿñíî, ÷òî ñâîáîäíûé ýëåêòðîí íå ìîæåòïîãëîòèòü îòîí). Ñå÷åíèå îòîýåêòà íà íåéòðàëüíûõ àòîìàõ òàêæå ðàñòåò êàê Z 5 çà ñ÷åò âêëàäà áëèæàéùåé ê ÿäðóîáîëî÷êè (K -îáîëî÷êè).Ïðè ïðîõîæäåíèè îòîíîâ íå ñëèøêîì áîëüøèõ ýíåðãèé(~ω .
1 ÌýÂ) ÷åðåç âåùåñòâî ïîëíîå ñå÷åíèå èõ ïîãëîùåíèÿîïðåäåëÿåòñÿ â îñíîâíîì îòîýåêòîì. 65. Êâàíòîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ243Çàäà÷è64.1. Íàéòè âåðîÿòíîñòü èîíèçàöèè àòîìà âîäîðîäà ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E(t) = E 0 e−|t|/τ (ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà êîíå÷íûé ýëåêòðîí ìîæíî ñ÷èòàòü ñâîáîäíûì). Óêàçàíèå: äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà óäîáíî èñïîëüçîâàòü îðìóëóâ êîòîðîé¯Z¯21 ¯¯ ∞ ∂Vf i iωt ¯¯ d3pdWf i = 2 2 ¯,e dt ¯~ω(2π~)3−∞ ∂te∂Vf i= E(t)pf i .∂tm64.2. Âû÷èñëèòü ñóììàðíóþ âåðîÿòíîñòü âîçáóæäåíèÿ èèîíèçèöèè àòîìà âîäîðîäà, ïåðâîíà÷àëüíî íàõîäÿùåãîñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè, â ðåçóëüòàòå âíåçàïíîãî âñòðÿõèâàíèÿ, ïðèêîòîðîì ÿäðó ñîîáùàåòñÿ ñêîðîñòü V .64.3.
Åñëè ïðè ðàñ÷åòå îòîýåêòà âìåñòî −(e/mc)Ap̂ èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå âîçìóùåíèÿ −erE , òî â òîì æå ïðèáëèæåíèè îòâåò äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà îêàçûâàåòñÿ âäâîå áîëüøå ïðèâåä¼ííîãî âûøå. Êîòîðûé èç îòâåòîâ ïðàâèëüíûé?  ÷¼ìïðè÷èíà ðàñõîæäåíèÿ? 65.Êâàíòîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿàìèëüòîíèàí îáû÷íîãî ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà èìååò âèäp2mω 2x2+,2m2à êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå x è p çàâèñÿò îò âðåìåíè ïî èçâåñòH=íîìó çàêîíó:x(t) = b cos(ωt + ϕ) , p(t) = −mωb sin(ωt + ϕ) ,244ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅãäå b àìïëèòóäà, à ϕ íà÷àëüíàÿ àçà êîëåáàíèé. Ââåä¼ìëèíåéíûå êîìáèíàöèè x è p âèäàmωx + ip ∗ mωx − ip, a = √a= √2m~ω2m~ω∗è íàïîìíèì, ÷òî âåëè÷èíû a è i~a òàêæå ÿâëÿþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè ñ ïðîñòîé çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè: 65.
Êâàíòîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿÏðè ýòîì èç óðàâíåíèÿrot B = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇A) − ∆A =H = ~ωa∗a .Ïîêàæåì, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ïóñòîòå ìîæåò áûòüñâåäåíî ê íàáîðó îñöèëëÿòîðîâ, îïèñûâàåìûõ ïåðåìåííûìè aè a∗ .1 ∂ 2A1 ∂E=− 2 2c ∂tc ∂tñëåäóåò, ÷òî òðåõìåðíûé âåêòîðíûé ïîòåíöèàë óäîâëåòâîðÿåòâîëíîâîìó óðàâíåíèþ1 ∂ 2A− ∆A = 0 .c2 ∂t2a(t) ∝ b e−i (ωt+ϕ) , a∗(t) ∝ b e+i (ωt+ϕ) . ýòèõ ïåðåìåííûõ ãàìèëüòîíèàí ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà èìååòîñîáåííî ïðîñòîé âèä245 èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè, ó÷èòûâàþùåì â ÿâíîì âèäå âåùåñòâåííîñòü âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà,A(r, t) =Z¤d3k £ikr∗−ikrA(t)e+A(t)ekk(2π)3(65.1)àìïëèòóäû Ak (t) óäîâëåòâîðÿþò îñöèëëÿòîðíîìó óðàâíåíèþÄk + ωk2 Ak = 0, ωk = c| k| .(65.2)65.1. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå êàê íàáîð îñöèëëÿòîðîâÝëåêòðè÷åñêîå E è ìàãíèòíîå B ïîëÿ â ïóñòîòå óäîâëåòâîðÿþòóðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà:rot E = −1 ∂E1 ∂B, div E = 0 , rot B =, div B = 0 .c ∂tc ∂tÓäîáíî ââåñòè ÷åòûð¼õìåðíûé ïîòåíöèàëAµ(r, t) = (φ, A) ,÷åðåç êîòîðûé ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ âûðàæàþòñÿòàê:E = −∇φ −1 ∂A, B = ∇ × A.c ∂tÈç-çà íåîäíîçíà÷íîñòè âûáîðà 4-ïîòåíöèàëà íà íåãî â îòñóòñòâèå èñòî÷íèêîâ ïîëÿ ìîæíî íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå (òàê íàçûâàåìàÿ êóëîíîâñêàÿ êàëèáðîâêà):φ = 0 , div A(r, t) = 0.Èòàê, â êàæäîé ìîäå, ò.
å. äëÿ êàæäîãî k, èìååì ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð, êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå êîòîðîãî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç Ak è A∗k , ñ òîé æå çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè, ÷òî óïåðåìåííûõ a è a∗ :Ak(t) ∝ e−iωk t , A∗k(t) ∝ eiωk t .(65.3)àçëîæåíèå ïî ïëîñêèì âîëíàì (1) ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü îáýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå êàê î áåñêîíå÷íîì íàáîðå îñöèëëÿòîðîâ, ÷àñòîòû êîòîðûõ ωk ïðîáåãàþò íåïðåðûâíûé ðÿä çíà÷åíèé. Ïðè êâàíòîâàíèè ýòèõ îñöèëëÿòîðîâ âîçíèêàåò êâàíòîâàííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå.
Äëÿ ïðèäàíèÿ áîëüøåé íàãëÿäíîñòè ïðîöåäóðå êâàíòîâàíèÿ óäîáíî ïåðåéòè ê äèñêðåòíîìóíàáîðó îñöèëëÿòîðîâ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïîëå â êîíå÷íîìîáúåìåV = Lx Ly L z246ëàâà X.ÈÇËÓ×ÅÍÈÅè èñïîëüçóåì óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ïîëÿ íà ãðàíèöàõ îáúåìà.Ïðè ýòîì êîìïîíåíòû âîëíîâîãî âåêòîðà (è ÷àñòîòû) ñòàíîâÿòñÿ äèñêðåòíûìè:2π nx2π ny2π nzkx =, ky =, kz =,LxLyLzãäå nx,y,z öåëûå (ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå) ÷èñëà, àïëîñêèå âîëíû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ îðòîãîíàëüíîñòè âèäàZ′ei(k−k )r d3r = V δk, k′ .(65.4) èòîãå âìåñòî ðàçëîæåíèÿ â èíòåãðàë Ôóðüå (1) âîçíèêàåòðàçëîæåíèå â ðÿä ÔóðüåA(r, t) =X£¤Ak(t) eikr + A∗k(t) e−ikr ,(65.5) 65. Êâàíòîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿçíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, äëÿ öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííîé âîëíû ñâîëíîâûì âåêòîðîì k = (0, 0, k) âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè èìåþòâèäλεkλ = − √ (1, λi, 0) ,2ãäå λ = ±1 ñîîòâåòñòâóþò ïðàâîé (ëåâîé) öèðêóëÿðíîé ïîëÿðèçàöèè. Âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ïîïåðå÷íîñòè (6a)1 ∂A, B=∇×AE=−c ∂t(65.6b)ε∗kλεkλ′ = δλλ′(65.7)è ïîëíîòûXλ(εkλ)i (ε∗kλ)j = δij −ki kjk2(65.8)(çäåñü i, j êîìïîíåíòû âåêòîðà ïîëÿðèçàöèè; ñïðàâà ñòîèòåäèíè÷íûé òåíçîð â ïëîñêîñòè, îðòîãîíàëüíîé âåêòîðó k).àçëîæèì âåêòîð Ak (t) ïî âåêòîðàì ïîëÿðèçàöèèAk(t) = CkXakλ(t) εkλλñâÿçàíû ñ àìïëèòóäàìè âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ñîîòíîøåíèÿìèiωkAk , Bk = ik × Ak .cÈç óñëîâèÿ div A(r, t) = 0 èëèè âûáåðåì íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü Ck òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ýíåðãèÿ ïîëÿ ñâåëàñü ê ñóììå îñöèëëÿòîðíûõ ýíåðãèé:Ek =k · Ak = 0k · εkλ = 0 ,âçàèìíîé îðòîãîíàëüíîñòèkãäå íîâûå àìïëèòóäû Ak (t) óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ñîîòíîøåíèÿì (2)(3), ÷òî è ðàíüøå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
