1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 7
Текст из файла (страница 7)
îïð. ) , v̂ =2mcãäå v̂ îïåðàòîð ñêîðîñòè ÷àñòèöû (ñð. îðìóëó (9.1)).Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü.  êëàññè÷åñêîì ñëó÷àåïðè çàìåíå ïîòåíöèàëîâA → A + ∇f, φ → φ −1 ∂fc ∂t60ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛ(çäåñü f = f (r, t) ïðîèçâîëüíàÿ îäíîçíà÷íàÿ óíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè) ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ïîëÿE = −∇φ −1 ∂A, B=∇×Ac ∂tíå èçìåíÿþòñÿ, à çíà÷èò, íå èçìåíÿþòñÿ è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. êâàíòîâîé ìåõàíèêå ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà íå èçìåíÿåòñÿ, åñëè êðîìå óêàçàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿïîòåíöèàëîâ åùå ïðîèçâåñòè è ïðåîáðàçîâàíèå âîëíîâîé óíêöèè:A → A + ∇f , φ → φ −1 ∂f,c ∂tΨ → Ψ eief /(~c) . 16.
Îïåðàòîð ñäâèãà. Ïåðèîäè÷åñêîå ïîëå. Òåîðåìà Áëîõà61ñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå ýòè âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâóþò êîîðäèíàòàì öåíòðà îêðóæíîñòè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà. 16.Îïåðàòîð ñäâèãà. Ïåðèîäè÷åñêîå ïîëå.Òåîðåìà Áëîõà16.1. Îïåðàòîð ñäâèãàÎïåðàòîð T̂a ñäâèãà íà ðàññòîÿíèå a îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìT̂aψ(x) ≡ ψ(x + a) .Çàäà÷è15.1. Îïðåäåëèòü óðîâíè ýíåðãèè è âîëíîâûå óíêöèè äëÿçàðÿæåííîé ÷àñòèöû â ïîñòîÿííîì è îäíîðîäíîì ìàãíèòíîìïîëå B.
Âûáðàòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë â âèäå A = (0, xB, 0).15.2. Ñ÷èòàÿ èçâåñòíûì ãàìèëüòîíèàí ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå, íàéòè:à) âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà ñêîðîñòè v̂;á) êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò ñêîðîñòè;â) âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðàmdv̂dt(îïåðàòîðíûé àíàëîã óðàâíåíèÿ Íüþòîíà);ã) ïîêàçàòü, ÷òî â ïîñòîÿííîì è îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëåB = (0, 0, B) îïåðàòîðûv̂yx̂0 = x +ωv̂xŷ0 = y −ωñîîòâåòñòâóþò ñîõðàíÿþùèìñÿ âåëè÷èíàì, íî íå ìîãóò áûòüèçìåðåíû îäíîâðåìåííî (çäåñü ω = eB/(mc)).  êëàññè÷å-Òàê êàêµ ¶n∞Xan dψ(x + a) =ψ(x) ,n! dxn=0òî îïåðàòîð ñäâèãà ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç îïåðàòîð èìïóëüñàT̂a = eiap̂/~ .Îïåðàòîð ñäâèãà íåýðìèòîâ, òàê êàêT̂a+ = e−iap̂/~ = T̂a−1 6= T̂a .Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ñäâèãåδa → 0 îïåðàòîð ñäâèãà èìååò âèäT̂δa = 1 + iδap̂ ,~ò. å.
îïåðàòîð èìïóëüñà p̂ ≡ p̂x ÿâëÿåòñÿ èíèíèòåçèìàëüíûìîïåðàòîðîì äëÿ ñäâèãà âäîëü îñè x.62ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛ16.2. Îïåðàòîð ñäâèãà è äâèæåíèå ñâîáîäíîé ÷àñòèöûÄëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû îïåðàòîð àìèëüòîíà Ĥ = p̂2 /(2m)êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì ñäâèãà:[Ĥ, T̂a] = 0 ,(16.1)ïîòîìó îïåðàòîðû Ĥ è T̂a èìåþò ñîâìåñòíûå ñîáñòâåííûå óíêöèèĤψEλ(x) = EψEλ(x) , T̂aψEλ(x) = λψEλ(x)(16.2)â âèäå ïëîñêîé âîëíûψk (x) ≡ ψEλ(x) = A eikx(16.3)ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè~2 k 2, λ = eika .E=2m(16.4)Èìïóëüñ òîæå êîììóòèðóåò ñ Ĥ è T̂a è èìååò â ñîñòîÿíèè (3)ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå p = ~k . Äëÿ ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ óðîâíè ýíåðãèè äâóêðàòíî âûðîæäåíû: ïëîñêèå âîëíû ñ èìïóëüñàìè +~k è −~k îòâå÷àþò îäíîé è òîé æå ýíåðãèè, íî ðàçíûìçíà÷åíèÿì ïëîòíîñòè òîêà jx = ±(~k/m)|A|2 .16.3. Äâèæåíèå â ïåðèîäè÷åñêîì ïîëåÅñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèåé ñ ïåðèîäîì a:U (x + a) = U (x) ,òî îïåðàòîð ñäâèãà íà ðàññòîÿíèå a êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì Ĥ = p̂2 /(2m) + U (x), ò.
å. óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1).Ïîýòîìó è â ïåðèîäè÷åñêîì ïîëå ñîáñòâåííûå óíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ìîãóò áûòü âûáðàíû â òàêîì âèäå ψEλ (x), 16. Îïåðàòîð ñäâèãà. Ïåðèîäè÷åñêîå ïîëå. Òåîðåìà Áëîõà63÷òî îíè îäíîâðåìåííî ÿâëÿþòñÿ è ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìèîïåðàòîðà ñäâèãà, ò. å. óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (2). Êîíå÷íî, èìïóëüñ íå ñîõðàíÿåòñÿ â ïåðèîäè÷åñêîì ïîëå, òàê êàê[Ĥ, p̂] 6= 0, ïîýòîìó ïëîñêàÿ âîëíà (3) íå ÿâëÿåòñÿ òåïåðü ðåøåíèåì óðàâíåíèé (2). Ïîêàæåì, ÷òî â êà÷åñòâå îãðàíè÷åííîãîðåøåíèÿ óðàâíåíèé (2) âîçíèêàåò ñâîåîáðàçíàÿ ìîäóëèðîâàííàÿ ïëîñêàÿ âîëíà âèäà (3), â êîòîðîé âìåñòî ïîñòîÿííîé àìïëèòóäû A ñòîèò ïåðèîäè÷åñêàÿ óíêöèÿ ñ ïåðèîäîì a, è îáàñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ E è λ ìîæíî (êàê è â ñëó÷àå ñâîáîäíîãîäâèæåíèÿ) âûðàçèòü ÷åðåç îäíó è òó æå âåëè÷èíó ~q , íàçûâàåìóþ êâàçèèìïóëüñîì.Äëÿ ýòîãî ïîòðåáóåì, ÷òîáû óíêöèÿ ψEλ (x) áûëà êîíå÷íîéïðè x → ±∞, òîãäà èç ñîîòíîøåíèÿψEλ(x ± na) = λ±n ψEλ(x)ñëåäóåò |λ| = 1, ò.
å. λ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåλ = eiqa .Âåùåñòâåííóþ âåëè÷èíó ~q â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò êâàçèèìïóëüñîì. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî êâàçèèìïóëüñû ~q è~(q + 2πn/a) ïðè n = ±1, ±2, ... ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìóæå çíà÷åíèþ λ (â òåîðèè òâåðäîãî òåëà âåëè÷èíó 2π/a íàçûâàþò âåêòîðîì îáðàòíîé ðåøåòêè). Âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ λìîæíî ó÷åñòü, âûáðàâ âåëè÷èíó q èç èíòåðâàëàππ<q≤+ .aa ñëó÷àå ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ (ïðè U (x) = 0) êâàçèèìïóëüñ−ñîâïàäàåò ñ èñòèííûì èìïóëüñîì. Óðîâíè ýíåðãèè â ïåðèîäè÷åñêîì ïîëå ÿâëÿþòñÿ âûðîæäåííûìè, è êâàçèèìïóëüñ ÿâëÿåòñÿóäîáíîé õàðàêòåðèñòèêîé âûðîæäåííûõ ñîñòîÿíèé.Åñëè òåïåðü òàêîå ðåøåíèå ïåðåïèñàòü â âèäåψEλ(x) = uq (x) eiqx ,64ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛòî èç ñîîòíîøåíèÿñëåäóåò ïåðèîäè÷íîñòü óíêöèè uq (x):ψEλ(a) = λψEλ(0) .uq (x + a) = uq (x) .Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Áëîõà, à ðåøåíèå(16.5)äåéñòâèòåëüíî, èìååò âèä ìîäóëèðîâàííîé ïëîñêîé âîëíû.Äëÿ îñòàëüíûõ çíà÷åíèé x âîëíîâóþ óíêöèþ ìîæíî ïîëó÷èòü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé óíêöèåé îïåðàòîðà ñäâèãà ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λ:ψEλ(x) = λn ψEλ(x − na) ïðè na < x < (n + 1)a .(17.2) ÷àñòíîñòè, íà ó÷àñòêå −a < x < 0 îòñþäà èìååìÇàäà÷à16.1.
Äëÿ ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû âîëíîâàÿ óíêöèÿψ(x) = A cos(x/b) ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé óíêöèåé Ĥ , íî íåT̂a è p̂, õîòÿ [Ĥ, T̂a] = [Ĥ, p̂] = 0. Êàê ñîãëàñóåòñÿ ýòîò àêòñ óòâåðæäåíèåì î òîì, ÷òî êîììóòèðóþùèå îïåðàòîðû èìåþòñîâìåñòíûå ñîáñòâåííûå óíêöèè? 17.65ßñíî, ÷òî ýòî åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà, òàê êàê èsh κx è sh κ(a − x) ÿâëÿþòñÿ òàêîâûìè. Êðîìå òîãî, ó äàííîéêîìáèíàöèè åñòü åù¼ îäíî î÷åâèäíîå ñâîéñòâî:ψEλ(x + a) = eiqa ψEλ(x)ψq (x) ≡ ψEλ(x) = uq (x) eiqx , 17.
Ïðèìåð: ïåðèîäè÷åñêîå ïîëå äåëüòà ÿìÏðèìåð: ïåðèîäè÷åñêîå ïîëå äåëüòà ÿìÏóñòü ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ïåðèîäè÷åñêîì ïîòåíöèàëüíîì ïîëåU (x) = −G+∞Xn=−∞δ(x − na) .Íåñìîòðÿ íà ñâîþ ïðîñòîòó, òàêîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ ñîäåðæàòåëüíîé ìîäåëüþ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåø¼òêè òâ¼ðäîãî òåëà. Ìû ðàññìîòðèì çäåñü ëèøü ñëó÷àé E < 0. Âñþäó âíå δ -ÿì â êà÷åñòâåíåçàâèñèìûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðàìîæíî âûáðàòüpκx−κxe èeèëè sh κx è ch κx, ãäå ~κ = 2|E|m. Ìû ïðåäïî÷ò¼ìñëåäóþùóþ êîìáèíàöèþ:ψEλ(x) = A [λ sh κx + sh κ(a − x)]ïðè 0 < x < a .(17.1)£¤ψEλ(x) = λ−1ψEλ(x+a) = A −λ−1 sh κx + sh κ(a + x) . (17.3)Âèäíî, ÷òî óíêöèè (1) è (3) ñîâïàäàþò ïðè x = 0, à óñëîâèÿñøèâêè (5.1) ïðè x = 0,ψ ′(ε) ψ ′(−ε)2mG−=− 2 ,ψ(ε)ψ(−ε)~ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ¢mG1¡κ0λ + λ−1 = ch κa −sh κa , κ0 = 2 .2κ~(17.4)Òàêèì îáðàçîì, âîëíîâàÿ óíêöèÿ, îïðåäåë¼ííàÿ ñîîòíîøåíèÿìè (1) è (3), ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé óíêöèåé îïåðàòîðîâ Ĥè T̂a ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè~2 κ 2è λ = eiqa2mòîëüêî ïðè îïðåäåë¼ííîé ñâÿçè ìåæäó E è λ âèäà (4):κ0sh κa .(17.5)cos qa = ch κa −κÝòî óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò çàâèñèìîñòü ýíåðãèè E îò êâàçèèìïóëüñîì ~q , ÿâëÿÿñü àíàëîãîì äèñïåðñèîííîãî óðàâíåíèÿ äëÿE=−ñâÿçè ýíåðãèè è èìïóëüñà.66ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛÎáà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ E è λ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îäíóâåëè÷èíó q , ïîýòîìó â âîëíîâîé óíêöèè ψEλ (x) äîñòàòî÷íîóêàçàòü ëèøü îäíî çíà÷åíèå q äëÿ ïîëíîé õàðàêòåðèñòèêè ñîñòîÿíèÿψEλ(x) ≡ ψq (x) ,ãäå 17. Ïðèìåð: ïåðèîäè÷åñêîå ïîëå äåëüòà ÿì6754f (κ)321κa0-1£¤ψq (x) = A eiqa shκx + shκ(a − x) ïðè 0 < x < a ,ψq (x) = eiqna ψq (x − na) ïðè na < x < (n + 1)a ,Äëÿ ñîñòîÿíèÿ ψq (x) ïëîòíîñòü òîêà ðàâíàjx =~κ|A|2 sh κa sin qa .2m(17.6)Èç óðàâíåíèé (5) è (6) âèäíî, ÷òî âîëíîâûì óíêöèÿì ψq (x) èψ−q (x) ñîîòâåòñòâóåò îäíà è òà æå ýíåðãèÿ, íî ðàçíûå ïî çíàêóçíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè òîêà.-20.00.51.04κa0-1-20.00.51.01.52.02.5èñ.
11. ðàèê óíêöèè (17.7) ïðè3.03.5κ0 a = 2.5 > 2ðàèêè ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (5),ch κa −κ0sh κa ≡ f (κ) ,κ3.03.5κ0 a = 1.5 < 2~2κ02mG2=− 22m2~(17.8)äëÿ ýíåðãèè ÷àñòèöû â îäíîé δ -ÿìå. Ïðè κ0 a < 2 (ñì. ðèñ. 12)ðàçðåø¼ííàÿ çîíà ïðèìûêàåò ñíèçó ê îáëàñòè ïîëîæèòåëüíûõýíåðãèé.Ïðè κ0 a = mGa/~2 ≫ 1 ãðàèê óíêöèè f (κ) î÷åíü êðóòîïåðåñåêàåò îñü κ â ðàéîíå κ = κ0 , è ïîòîìó âñÿ ðàçðåù¼ííàÿçîíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óçêóþ ïîëîñó âáëèçè çíà÷åíèÿ E0 èç(8). Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (5) â âèäå212.5κ0a > 2 ëþáîìó çíà÷åíèþ cos qa èç èíòåðâàëà −1 < cos qa < 1ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåë¼ííîå çíà÷åíèå κ , âñå ýòè çíà÷åíèÿ îòìå÷åíû æèðíîé ëèíèåé íà îñè κa è çàïîëíÿþò öåëóþ ïîëîñóâáëèçè κ0 .
Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ñïåêòð äîïóñòèìûõçíà÷åíèé ýíåðãèè â îáëàñòè E < 0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé öåëóþçîíó (å¼ íàçûâàþò ðàçðåø¼ííîé çîíîé), âêëþ÷àþùóþ çíà÷åíèåE0 = −32.0èñ. 12. ðàèê óíêöèè (17.7) ïðè5f (κ)1.5κ=(17.7)ïîêàçàíû íà ðèñ. 11 è 12; ïðè ýòîì ó÷òåíî, ÷òî f (0) = 1 − κ0 aè f (κ0 ) = exp(−κ0 a) < 1. Èç ýòèõ ãðàèêîâ âèäíî, ÷òî ïðèκ0.cth κa − cos qa/(sh κa)Ó÷èòûâàÿ, ÷òî κa ≈ κ0 a ≫ 1 è ïîòîìócth κa ≈ 1 + 2 e−2κ0a , sh κa ≈1 κ0 ae ,268ëàâà II.0.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2-1.4-1.0ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛ69ïîêàçàòü, ÷òî ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ýòîãî ïàêåòà îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîéE(q)/|E0|~q0∂E ¯¯¯ =∂(~q) q0 mýè ÿâëÿåòñÿ ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ âåëè÷èíîé ~q0 /m.0.0-0.5èñ. 13. ðàèê óíêöèèE(q)0.5Çàäà÷à1.0qa/π17.1. Ïîâòîðèòå ðàññìîòðåíèå, àíàëîãè÷íîå ïðîâåä¼ííîìó â 17, äëÿ ñëó÷àÿ E > 0.(ñì. óðàâíåíèå (17.9))ïîëó÷èìκ≈ 18. Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèåκ01 − 2e−κ0a cos qa 18.¡¢≈ κ0 1 + 2e−κ0a cos qa .Îòñþäà íàõîäèì â ÿâíîì âèäå çàâèñèìîñòü ýíåðãèè E îò êâàçèèìïóëüñà ~q (ðèñ. 13):¡¢E(q) = E0 1 + 4e−κ0a cos qa .(17.9)àçðåù¼ííàÿ çîíà ðàñïîëîæåíà ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî E0è èìååò ìàëóþ øèðèíó∆E = 8|E0| e−κ0a .Ïðåäñòàâèâ ïðè ìàëûõ q çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò êâàçèèìïóëüñà (9) â âèäå~2 q 2E=+ const ,2míàéä¼ì ýåêòèâíóþ ìàññó ÷àñòèöûmκ0 am =.2 e2(κ0a)ýÊâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå18.1. Óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòèÏîäñòàâèâ â óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà−~2ψ ′′(x) = p2(x) ψ(x) , p(x) ≡âîëíîâóþ óíêöèþ â âèäå2m[E − U (x)]ψ(x) = eiS(x)/~ ,íàéäåì óðàâíåíèå äëÿ óíêöèè S(x):2(S ′(x)) = p2(x) + i~ S ′′(x) .Åñëè îòáðîñèòü ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå, òî ïîëó÷èì êëàññè÷åñêîåóðàâíåíèå àìèëüòîíà ßêîáè, â êîòîðîì S(x) äåéñòâèå êàêóíêöèÿ êîîðäèíàò.
åøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿSý ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå (ïðè κ0 a ≫ 1) ýåêòèâíàÿ ìàññû ìíîãî áîëüøå îáû÷íîé ìàññû m. Ïîñòðîèì âîëíîâîé ïàêåòèç âîëíîâûõ óíêöèé ψq (x) ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì q0 ; ìîæíîpêëàññ(x) = ±Zxp(x) dx .x0Òàêèì îáðàçîì, ïåðåõîä ê êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ïðîèñõîäèò,êîãä௯2(S ′(x)) ≫ ~|S ′′(x)| èëè¯ dλ−(x) ¯¯¯¯ dx ¯ ≪ 1 ,(18.1)70ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛ−(x) = ~/p(x) ïðèâåä¼ííàÿ äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ, ñîãäå λîòâåòñòâóþùàÿ èìïóëüñó p(x), èíà÷å,¯¯¯ −¯− ¯ dλ ¯−∆λ ∼ λ ¯−≪λ,dx ¯−ò. å. èçìåíåíèå äëèíû âîëíû ∆λ(x) íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà λ−(x)äîëæíî áûòü ìíîãî ìåíüøå äëèíû âîëíû.Äðóãàÿ îðìà êðèòåðèÿ êëàññè÷åñêîå äåéñòâèå äîëæíîáûòü âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ êâàíòîì äåéñòâèÿ, ò. å.¯Z¯¯¯xx0¯¯p(x) dx¯¯ ≫ ~ .Ïîä÷åðêíåì, íàêîíåö, ÷òî ïåðåõîä ê êâàçèêëàññè÷åñêîìóïðåäåëó â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ýòî àíàëîã ïåðåõîäà ê ïðåäåëó ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè â îïòèêå âîëíîâîé.
È êðèòåðèè ïðèìåíèìîñòè ýòèõ ïðåäåëîâ îáùèå: äëèíà âîëíû λ äîëæíà áûòüìíîãî ìåíüøå, ÷åì õàðàêòåðíûå ðàññòîÿíèÿ a, íà êîòîðûõ ìåíÿåòñÿ ïîòåíöèàë (â îïòèêå êîýèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ):λ≪ 1 èëè ka ≫ 1 .a18.2. Êâàçèêëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âåðîÿòíîñòü íàéòè ÷àñòèöó íà èíòåðâàëå dx ïðîïîðöèîíàëüíà dt âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ ÷àñòèöûíà ýòîì èíòåðâàëå, ïîýòîìó ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ïðîïîðöèîíàëüíà dt/dx, èëèdWdxêëàññ∝1,v(x)ãäå v(x) = p(x)/m êëàññè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû ñ êîîðäèíàòîé x.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïðè U (x) = const òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà èìååò âèäψ(x) = A eikx + B e−ikx , 19.
Ïðàâèëà êâàíòîâàíèÿ Áîðà Çîììåðåëüäà71ãäå ~k = p. Åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî äëÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû âäîñòàòî÷íî ïëàâíî èçìåíÿþùåìñÿ ïîëå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèåâûãëÿäèò òàê:ψ(x) = p³1k(x)C1 eRi xx k(x) dx0~k(x) = p(x) =p+ C2 e´R−i xx k(x) dx0,2m[E − U (x)] .(18.2)×òîáû ïîêàçàòü ýòî, ïîäñòàâèì~ψ(x) = eiS(x)/~ , S(x) = S0(x) + S1(x) + ...iâ óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà è óäåðæèì ÷ëåíû äî ïåðâîãî ïîðÿäêàïî ~:(S0′ )2 − 2i~S0′ S1′ − i~S0′′ = p2(x) .ÎòñþäàS0(x) = Sêëàñ(x) = ±ò. å.Zp(x) dx , S1′ = −S1(x) = ln p1p(x)1 S0′′1 d=−ln p(x) ,′2 S02 dx+ const ,÷òî è ïðèâîäèò ê (2).Àíàëîãè÷íîå ðàññìîòðåíèå â êëàññè÷åñêè íåäîñòóïíîé îáëàñòè äà¼ò êâàçèêëàññè÷åñêîå ðåøåíèå âèäàψ(x) = p1κ(x)³C3 e~κ(x) =Rxx0 κ(x) dx+ C4 e´R− xx κ(x) dxp2m[U (x) − E] .0,(18.3)72ëàâà II. 19.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
