1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Êâàíòîâàÿ ïðèðîäà ñâåòàÈçëó÷åíèå àáñîëþòíî ÷¼ðíîãî òåëà. àññìàòðèâàåòñÿñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ðàâíîâåñèè ñî ñòåíêàìè ïîëîñòè, ïîääåðæèâàåìûìè ïðèïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå. Ì. Ïëàíê (1900 ã.) ñóìåë îáúÿñíèòüýêñïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàåìûé ñïåêòð èçëó÷åíèÿ â ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ:1) ñòåíêè ïîëîñòè ìîäåëèðóþòñÿ íàáîðîì îñöèëëÿòîðîâ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, óäåðæèâàåìûõ ëèíåéíûìè ñèëàìè âáëèçèïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ;2) îñöèëëÿòîðû ÷àñòîòû ω ïîãëîùàþò è èñïóñêàþò ýíåðãèþïîðöèÿìè:En = ~ω n ,ãäå ~ = 1, 05·10−27 ýðã·ñ êâàíò äåéñòâèÿ (ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà),à n öåëîå ÷èñëî.Ôîòîýåêò èîíèçàöèÿ àòîìà ïîä äåéñòâèåì ïàäàþùåãîñâåòà; åãî îñíîâíûå çàêîíû; íàëè÷èå êðàñíîé ãðàíèöû. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ÷àñòîòû ω ñîñòîèò èç îòîíîâ γ ñ ýíåðãèåé ~ω , À. Ýéíøòåéí (1905 ã.) ðàññìîòðåë îòîýåêò êàê ïðîöåññ γ+A → e+ A+ , ãäå A è A+ àòîì è èîí.10ëàâà I.ÂÂÅÄÅÍÈÅÇàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ýòîãî ïðîöåññà èìååò âèä1~ω = mev 2 + I ,2ãäå I ðàáîòà âûõîäà (èíà÷å, ýíåðãèÿ èîíèçàöèè).
Îòñþäà ìèíèìàëüíàÿ ÷àñòîòà îòîíà (êðàñíàÿ ãðàíèöà îòîýåêòà)ðàâíàωmin =I.~Ýåêò Êîìïòîíà. À. Êîìïòîí íàáëþäàë èçìåíåíèå äëèíû âîëíû ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ ïðè ðàññåÿíèè ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé íà àòîìàõ. Ýåêò Êîìïòîíà èíòåðïðåòèðóåòñÿêàê ðàññåÿíèå îòîíà íà àòîìàðíîì ýëåêòðîíå, êîòîðûé ìîæíî ñ÷èòàòü ïî÷òè ñâîáîäíûì: γ + e → γ + e (ðèñ. 1).
Ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó ñ ÷àñòîòîé ω è âîëíîâûì âåêòîðîì k ìîæíîèñ. 1. Êèíåìàòèêà ýåêòà Êîìïòîíàïðåäñòàâèòü êàê ïîòîê îòîíîâ. àññìîòðèì îòîí êàê ÷àñòèöó, ó êîòîðîé ýíåðãèÿ è èìïóëüñ îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìèEγ = ~ω , pγ = ~k ,è ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþò ìåñòî îáû÷íûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿýíåðãèè è èìïóëüñà äëÿ ñîóäàðåíèÿ ÷àñòèö~ω + E = ~ω ′ + E ′, ~k + p = ~k′ + p′ . 1. Ïåðâûå êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèå ïîíÿòèÿ11Ïîêàæèòå, ÷òî èç ýòèõ ïðåäïîëîæåíèé ñëåäóåò (ïðè óñëîâèèE 2 − p2c2 = m2e c4 è ω 2 − k2c2 = 0), ÷òî èçìåíåíèå äëèíû âîëíû ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ ïðè ðàññåÿíèè íà ïåðâîíà÷àëüíîíåïîäâèæíîì ýëåêòðîíå ðàâíîλ′ − λ = 4πλ−e sin2ãäåλ−e =θγ2π2π, λ=, λ′ = ′ ,2kk~= 3, 86 · 10−11 ñìme c (ïðèâåä¼ííàÿ) êîìïòîíîâñêàÿ äëèíà âîëíû ýëåêòðîíà.
Èìåííî òàêîå èçìåíåíèå äëèíû âîëíû è íàáëþäàë À. Êîìïòîíîì â1923 ã.Ïîíÿòèå î íåëèíåéíîì îòîýåêòå è íåëèíåéíîì ýåêòåÊîìïòîíà.Î ñâÿçè âîëíîâîãî è êâàíòîâîãî îïèñàíèÿ ñâåòà.Ïðè îáû÷íîé ðåíòãåíîãðàèè íà îòîïëàñòèíêå ìåñòà áîëüøåé èëè ìåíüøåé çàñâåòêè îïðåäåëÿþòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ âîëíû,£ò. å.
âåëè÷èíîé¤ ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïî22ëÿ E (r) + B (r) /(8π) . Íî òàêóþ æå êàðòèíó ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ðåíòãåíîâñêèé èñòî÷íèê íèçêîé èíòåíñèâíîñòè, ðåãèñòðèðóÿ îòäåëüíûå îòîíû è íàêàïëèâàÿ èíîðìàöèþ.  ýòîì ñëó÷àå íåëüçÿ ïðåäñêàçàòü, ãäå èìåííî áóäåò çàðåãèñòðèðîâàí îòäåëüíûé îòîí, íî ìîæíî óêàçàòü âåðîÿòíîñòü åãî ðåãèñòðàöèè, êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà èíòåíñèâíîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû.1.2. Âîëíîâûå ñâîéñòâà ÷àñòèöÎïûòû Ý. åçåðîðäà ïî ðàññåÿíèþ α-÷àñòèö íà àòîìàõ(1911 ã.) ïðèâåëè ê ïëàíåòàðíîé ìîäåëè àòîìà, â êîòîðîé ðàçìåð ÿäðàRÿ ∼ 10−13 ÷ 10−12 ñì ,12ëàâà I.ÂÂÅÄÅÍÈÅaàò ∼ 10−8 ñì .Ñòàáèëüíîñòü è ñòàíäàðòíîñòü àòîìîâ; ïðîòèâîðå÷èÿ ñ êëàññè÷åñêîé èçèêîé. Ïîëóêëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü Í.
Áîðà (1913 ã.)äëÿ àòîìà âîäîðîäà.èïîòåçà Ë. äå Áðîéëÿ î âîëíîâûõ ñâîéñòâàõ ÷àñòèö(1924 ã.) ÷àñòèöå ñ ýíåðãèåé E è èìïóëüñîì p ñîïîñòàâëÿåòñÿ âîëíà ñ ÷àñòîòîé ω è âîëíîâûì âåêòîðîì k:Ep, k= .~~(1.1)Ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå âîëíîâûõ ñâîéñòâ ÷àñòèö äèðàêöèÿ ýëåêòðîíîâ, íåéòðîíîâ, àòîìîâ è ò. ä. êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû îïèñûâàåòñÿ çàäàíèåì êîîðäèíàòû r(t0 ) è èìïóëüñà p(t0 ) â íåêîòîðûéìîìåíò âðåìåíè t0 .
Äàëüíåéøåå äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (r) ïðîèñõîäèò ñîãëàñíî óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ óðàâíåíèÿì àìèëüòîíà:ãäå13äàåòñÿ ñëåäóþùèì ïîñòóëàòîì: êâàäðàò ìîäóëÿ âîëíîâîéóíêöèè ïðîïîðöèîíàëåí ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè, ò. å.âåðîÿòíîñòü dW (r) íàéòè ÷àñòèöó â îáúåìå dV åñòüà ðàçìåð ýëåêòðîííîé îáîëî÷êèω= 1. Ïåðâûå êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèå ïîíÿòèÿdr ∂H dp∂H=,=−,dt∂pdt∂r(1.2)p2H(r, p) =+ U (r)2m(1.3) óíêöèÿ àìèëüòîíà. êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïðèíöèïèàëüíî èçìåíÿåòñÿ ïîíÿ-òèå ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû óæå ïîòîìó, ÷òî ó âîëíû íåò òðàåêòîðèè è çàäàòü îäíîâðåìåííî êîîðäèíàòó è èìïóëüñ íåâîçìîæíî.
Îïèñàíèå âîëíîâûõ ñâîéñòâ ÷àñòèöû â íåêîòîðûé ìîìåíòâðåìåíè t0 äà¼òñÿ âîëíîâîé óíêöèåé Ψ(r, t0 ). Èçìåíåíèå ýòîéóíêöèè ñî âðåìåíåì ïðîèñõîäèò ñîãëàñíî óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà (ñì. 4 è 7). Ñâÿçü òàêîãî îïèñàíèÿ ñ ýêñïåðèìåíòîìdW (r) ∝ |Ψ(r, t)|2 dV .(1.4)Îòñþäà âèäíî, ÷òî óíêöèè Ψ1 (r, t) è Ψ2 (r, t) = eiα Ψ1 (r, t) çàäàþò îäíó è òó æå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè.Ïëîñêàÿ âîëíà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòèöå ñ ýíåðãèåé E = ~ω ,èìïóëüñîì p = (~k, 0, 0) è ìàññîé m, èìååò âèäΨ(x, t) = Aei(kx−ωt) . ýòîé âîëíå ïîâåðõíîñòü ïîñòîÿííîé àçû ïåðåìåùàåòñÿ ñ àçîâîé ñêîðîñòüþu=ω E= ,kp(1.5)à çàêîí äèñïåðñèè ñîîòâåòñòâóåò íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ÷àñòîòû îò âîëíîâîãî âåêòîðàω(k) =~k 2.2m(1.6)àññìîòðèì âîëíîâîé ïàêåò, áëèçêèé ê ìîíîõðîìàòè÷åñêîéâîëíå ñ âîëíîâûì âåêòîðîì k0 è ÷àñòîòîé ω0 = ω(k0 ):Ψ(x, t) =Zk0 +∆kA(k0)ei(kx−ωt) dk ,(1.7)k0 −∆kè ðàçëîæèì ÷àñòîòó ω(k) ïî ìàëîìó îòêëîíåíèþ k − k0 ≡ q äîëèíåéíûõ ÷ëåíîâ:ω(k) = ω0 + vq + .
. . , v = ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷èì:∂ω ¯¯¯ .∂k k0Ψ(x, t) = B ei(k0x−ω0t) f (x, t), B = A(k0) 2∆k ,(1.8)14ëàâà I.1f (x, t) =2∆kZ∆kei(qx−qvt) dq =−∆kÂÂÅÄÅÍÈÅsin[(x − vt)∆k].(x − vt)∆k(1.9)Çàâèñèìîñòü óíêöèè f 2 (x, t) îò x èçîáðàæåíà íà ðèñ. 2.Èç îðìóëû (8) è ðèñ. 2 âèäíî, ÷òî ìàêñèìóì âûðàæåíèÿ1.0f20.80.60.40.2 2. Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé.
Îöåíêè 2.Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé. Îöåíêè ìîíîõðîìàòè÷åñêîé ïëîñêîé âîëíå èìïóëüñ ÷àñòèöû èìååòîïðåäåë¼ííîå çíà÷åíèå, à å¼ êîîðäèíàòà ïîëíîñòüþ íå îïðåäåëåíà, ïîýòîìó äèñïåðñèÿ èìïóëüñà ∆p = 0, à äèñïåðñèÿ êîîðäèíàòû ∆x = ∞. Àíàëîãè÷íî â ýòîé âîëíå ∆E = 0, ∆t = ∞.Êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ ∆x è ∆t ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ âîëíîâûå ïàêåòû, íàïðèìåð, âèäà (1.8). Èç îðìóëû (1.8) è ðèñ. 2âèäíî, ÷òî â ýòîì ïàêåòå ïðè èêñèðîâàííîì âðåìåíè t àìïëèòóäà f (x, t) çàìåòíî îòëè÷íà îò íóëÿ â îáëàñòè ðàçìåðîì∆x &0.002èñ. 2. Çàâèñèìîñòü óíêöèè42f (x, t)vt68x (â1/∆k )èç (1.9) îòäëèíû âûáðàíà âåëè÷èíàxêà÷åñòâå åäèíèöûò. å.∆p · ∆x & ~ .∆ω =x = vtè ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè ïàêåò äâèæåòñÿ, íå èçìåíÿÿ ñâîåé îðìû, ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ∂ω ¯¯∂E ¯¯~k0.¯ =¯ =∂k k0∂p p0mω(k)~k=k2mðàçëè÷íà äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé âîëíîâîãî âåêòîðà.(1.11)∂ω∆k = v ∆k .∂kÏðè èêñèðîâàííîì x èç (1.9) ñëåäóåò, ÷òî f (x, t) çàìåòíî îòëè÷íà îò íóëÿ â èíòåðâàëå âðåìåí(1.10) ñëåäóþùåì ïðèáëèæåíèè êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèå âîëíîâûåïàêåòû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñâîáîäíûì ÷àñòèöàì, ðàñïëûâàþòñÿèç-çà òîãî, ÷òî àçîâàÿ ñêîðîñòüu=1,∆kàçáðîñ ÷àñòîò îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì|Ψ(x, t)|2 = |Bf (x, t)|2 íàõîäèòñÿ â òî÷êåv=15∆t & v ∆k ∼1,∆ωò.
å.∆E · ∆t & ~ .Îöåíèì, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå ∆x · ∆p & ~, ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà:E=p2mω 2x2+.2m2Ïîñêîëüêó ó îñöèëëÿòîðà ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà ðàâíû íóëþ (hxi = 0, hpi = 0), òî èç hx2 i = (∆x)2 è16ëàâà I.ÂÂÅÄÅÍÈÅ(∆p)2 mω 2(∆x)21~2+ mω 2(∆x)2 .+&22m22m(∆x)2ðûõ v .
1 ì/ñ. Íàéòè èõ äëèíó âîëíû è òåìïåðàòóðó.2.5. Íàéòè |Ψ(x, t)|2, åñëè2 /(2∆k)2A(k) = A0 e−(k−k0)Ìèíèìóì óíêöèè E(∆x) ñîîòâåòñòâóåò∆x ∼÷òî äàåòr~,mωEmin ∼ ~ω(òî÷íîå çíà÷åíèå Emin = 12 ~ω , ñì. 7).Çàäà÷è2.1. Ïîêàæèòå, ÷òî ïðè ëîáîâîì ñîóäàðåíèè ëàçåðíîãî îòîíà (ýíåðãèÿ ~ω ) ñ óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèì ýëåêòðîíîì (ýíåðãèÿE ≫ mec2) ýíåðãèÿ ðàññåÿííîãî íàçàä îòîíà ðàâíà~ω ′ =4~ωExE, x= 2 4 .x+1me cÍàéòè ~ω äëÿ:à) ~ω = 1, 2 ý (èíðàêðàñíûé ëàçåð íà íåîäèìîâîì ñòåêëå) è E = 46 ý (óñêîðèòåëü SLAC (Ñòýíîðä), îïûòû ïîíåëèíåéíîìó ýåêòó Êîìïòîíà, 1996 ã.);á) ~ω = 1, 2 ý è E = 5 ý (óñêîðèòåëü ÂÝÏÏ-4Ì (Íîâîñèáèðñê), îïûòû ïî ðàñùåïëåíèþ îòîíà íà äâà îòîíà â ïîëåÿäðà, 1997 ã.).2.2.
Ïîëàãàÿ, ÷òî äëÿ äèðàêöèè íà êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ïîëåçíî èìåòü ÷àñòèöû ñ äëèíîé âîëíû λ ∼ 10−8 ñì, íàéòèýíåðãèþ îòîíà, ýëåêòðîíà è íåéòðîíà ñ ýòîé äëèíîé âîëíû.2.3. Îöåíèòü ýíåðãèþ ýëåêòðîíà, íåîáõîäèìóþ äëÿ èçó÷åíèÿñòðîåíèÿ àòîìà (ðàçìåð a ∼ 10−8 ñì), àòîìíîãî ÿäðà (ðàçìåðR ∼ 10−12 ñì), ïðîòîíà (ðàçìåð Rp ∼ 10−13 ñì).′172.4. Óëüòðàõîëîäíûìè íàçûâàþòñÿ íåéòðîíû, ñêîðîñòü êîòî-hp2i = (∆p)2 ïîëó÷àåì:E= 3. Êîîðäèíàòíîå è èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèÿ. Îïåðàòîðû,äëÿ ÷àñòèö ñ çàêîíîì äèñïåðñèè ω = ck (ýëåêòðîìàãíèòíûåâîëíû â ïóñòîòå) èω=~k 22m(íåðåëÿòèâèñòñêàÿ ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà ìàññû m).2.6. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé, îöåíèòüýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå U (x) = α |x|.2.7.
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé, îöåíèòüãëóáèíó óðîâíÿ â îäíîìåðíîé ïðÿìîóãîëüíîé ìåëêîé ÿìå.2.8. Îöåíèòü ìèíèìàëüíóþ ýíåðãèþ äëÿ ÷àñòèöû â ïîëåU (x) = −Va2x2 + a2ïðè óñëîâèè V ma2 /~2 ≪ 1.2.9. Ïîêàæèòå, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé,÷òî ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäàEmin ∼ − 3.me4= −13, 6 ý .2~2Êîîðäèíàòíîå è èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèÿ.Îïåðàòîðû èçè÷åñêèõ âåëè÷èíÌû óæå çíàåì, ÷òî â äàííîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè Ψ(x, t)ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íàéòè ÷àñòèöó â òî÷êå x, ò.
å. âåëè÷èíódW/dx, ïðîïîðöèîíàëüíà |Ψ(x, t)|2 êâàäðàòó ìîäóëÿ âîëíîâîé óíêöèè. Åñëè æå âîëíîâàÿ óíêöèÿ Ψ(x, t) íîðìèðîâàíà18ëàâà I.óñëîâèåì1Z+∞−∞òîÂÂÅÄÅÍÈÅ|Ψ(x, t)|2 dx = 1 ,Àíàëîãè÷íî ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé óíêöèè F (x) ðàâíîÅñëèZψ(x) =ψ ∗(x) F (x) ψ(x) dx .ZA(k) eikx dk ,dW (k)∝ |A(k)|2 .dkÓñëîâèþ íîðìèðîâêè â x-ïðîñòðàíñòâåZ|ψ(x)|2 dx = 1ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèå íîðìèðîâêè â k -ïðîñòðàíñòâåãäåZZeikxe−ikxψ(x) = ϕ(k) √ dk , ϕ(k) = ψ(x) √ dx .2π2πÏîýòîìó ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè â k -ïðîñòðàíñòâå åñòüdW (k)= |ϕ(k)|2dkè ñðåäíåå çíà÷åíèå óíêöèè F (k) ðàâíîZZhF (k)i = F (k) dW (k) = ϕ∗(k) F (k) ϕ(k) dk .|ϕ(k)|2 dk = 1 ,A(k)ϕ(k) = √2π1  äàëüíåéøåì ìû áóäåì îïóñêàòü îáîçíà÷åíèÿ ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâà-íèÿ, åñëè èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåé îñè.(3.1)Âûðàçèì hpi ÷åðåç ψ(x).
Ïîäñòàâëÿÿ â ñîîòíîøåíèåhpi =òî âåðîÿòíîñòü íàéòè ÷àñòèöó ñ èìïóëüñîì p = ~k ïðîïîðöèîíàëüíà |A(k)|2 , èëèZ19 íîðìèðîâàííûé Ôóðüå-îáðàç óíêöèè ψ(x), ò. å.dW (x, t)= |Ψ(x, t)|2 .dxÎòñþäà ñðåäíåå çíà÷åíèå x ðàâíîZZZ2hxi = x dW = x |ψ(x)| dx = ψ ∗(x) x ψ(x) dx .hF (x)i = 3. Êîîðäèíàòíîå è èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèÿ. ÎïåðàòîðûZϕ∗(k) ~k ϕ(k) dkâûðàæåíèå ϕ(k) ÷åðåç ψ(x) èç (3.1), ïîëó÷èìhpi =Z "Z# ·Z¸ikx′ee−ikx∗ ′′ψ (x ) √ dx ~kψ(x) √ dx dk .2π2πÈñïîëüçóÿ òîæäåñòâîd −ikxedxè èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì ïî ïåðåìåííîé x , ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíZd∗ψ(x) dx .hpi = ψ (x) −i~dxÇäåñü ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî k èñïîëüçîâàíà îðìóëàZ′eik(x −x) dk = 2πδ(x′ − x) .ke−ikx = iÒàêèì îáðàçîì, ïðè íàõîæäåíèè hpi ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ îðìóëîéZhpi =ψ ∗(x) p̂ ψ(x) dx ,20ëàâà I.ãäå îïåðàòîðÂÂÅÄÅÍÈÅdp̂ = −i~ .dx(3.2) êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïîñòóëèðóåòñÿ, ÷òî íàáëþäàåìûåäèíàìè÷åñêèå âåëè÷èíû îïèñûâàþòñÿ îïåðàòîðàìè, òàê÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå íåêîòîðîé âåëè÷èíû A â ñîñòîÿíèè ñ çàäàííîé âîëíîâîé óíêöèåé ψ(x) (èëè ϕ(p)) ðàâíîhAi =Z∗ψ (x)  ψ(x) dx =Zϕ∗(p)  ϕ(p) dp . ÷àñòíîñòè, îïåðàòîð èìïóëüñà â x-ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿîðìóëîé (3.2), à â p-ïðîñòðàíñòâå ýòî ïðîñòî îïåðàòîð óìíîæåíèÿ p̂ = p.
Àíàëîãè÷íî îïåðàòîð x̂ = x â x-ïðîñòðàíñòâå èx̂ = +i~ddpâ p-ïðîñòðàíñòâå.Èç îïåðàòîðîâ r̂ è p̂ ñòðîÿòñÿ âñå äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå.Íàïðèìåð, îïåðàòîð ìîìåíòà èìïóëüñà:M̂ = r̂ × p̂ = −i~r × ∇ .Íåñêîëüêî áîëåå ïîäðîáíî îðìàëèçì êâàíòîâîé ìåõàíèêè èçëîæåí â Ïðèëîæåíèè. 3. Êîîðäèíàòíîå è èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèÿ. Îïåðàòîðûâîëíîé âèäà ψ(x) = A sin(kx) ñ óçëàìè íà ãðàíèöàõ ÿùèêà.Îöåíèòü En äëÿ:à) ÷àñòèöû ìàññû m ∼ 1 ã â ÿùèêå ðàçìåðîì a ∼ 1 ñì;á) ìîëåêóëû H2 â ÿùèêå ðàçìåðîì a ∼ 1 ñì; íàéòè n, ñîîòâåòñòâóþùèé ýíåðãèè En ∼ kT , ãäå T ∼ 300 Ê; îöåíèòü(En − En−1)/En äëÿ äàííîé ýíåðãèè;â) ýëåêòðîíà â ÿùèêå ðàçìåðîì a ∼ 10−8 ñì.Ñðàâíèòü êëàññè÷åñêóþ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè, îïðåäåë¼ííóþ ñîîòíîøåíèåìdW (x)dxêëàññ=2v(x)T3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
