1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Íàéòè ϕ(p) è hp2i äëÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû âïîëåU (x) = −G δ(x) .30ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛ5.3. Íàéòè óðîâíè ýíåðãèè è âîëíîâûå óíêöèè ñâÿçàííûõ 6. Ýðìèòîâû îïåðàòîðûòî èç ñîîòíîøåíèÿñîñòîÿíèé ÷àñòèöû â ïîëå äâóõ δ -ÿìU (x) = −G δ(x + a) − G δ(x − a)ïðè óñëîâèè a ≫ ~ /(mG). Èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü óðîâíåéýíåðãèè îò ðàññòîÿíèÿ a ìåæäó ÿìàìè.5.4. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ G0 â ïîëå2U (x) = − G δ(x − a) + G0 δ(x) − G δ(x + a)èñ÷åçàþò ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ? Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûé îòâåò,óòî÷íèòü, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ξ = mGa/~2 èìååòñìûñë ïîäîáíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è. 6.Ýðìèòîâû îïåðàòîðûÍàçîâåì îïåðàòîð B̂ ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûì ê îïåðàòîðóÂ, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ óíêöèé ψ1 è ψ2 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîZZψ1∗Âψ2 dx =(B̂ψ1)∗ψ2 dx .Òàêîé îïåðàòîð îáîçíà÷èì B̂ = Â+ . Åñëè  = Â+ , ò. å.
îïåðàòîðñîâïàäàåò ñî ñâîèì ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûì (âìåñòå ñ îáëàñòüþîïðåäåëåíèÿ), íàçîâåì åãî ýðìèòîâûì (èëè ñàìîñîïðÿæåííûì). Äëÿ ýðìèòîâà îïåðàòîðàZψ1∗Âψ2 dx =Z(Âψ1)∗ ψ2 dx .Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýðìèòîâà îïåðàòîðà âåùåñòâåííû.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ψλ ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ îïåðàòîðà Âñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λ, ò. å. åñëè ψλ = λ ψλ,31Zψλ∗  ψλ dx=Z( ψλ)∗ ψλ dxñëåäóåò, ÷òî λ = λ∗ .Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå ýðìèòîâàRîïåðàòîðà ψ ∗  ψ dx â êàêîì-ëèáî êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè ψ âåùåñòâåííîå ÷èñëî.Âñå îïåðàòîðû èçè÷åñêèõ âåëè÷èí ýðìèòîâû.Ïîêàæåì, ÷òî ñîáñòâåííûå óíêöèè, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûìñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì ýðìèòîâà îïåðàòîðà, âçàèìíî îðòîãîíàëüíû.
Äëÿ ýòîãî äîìíîæèì ðàâåíñòâî  ψλ = λ ψλ ñëåâà íàψµ∗ , à ðàâåíñòâî ( ψµ)∗ = µ ψµ∗ ñïðàâà íà ψλ. Ïðîèíòåãðèðîâàâïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ, íàéäåìò. å.λZZψµ∗ ψλ dx = 0ψµ∗ ψλ dx=µZψµ∗ ψλ dx ,ïðè µ 6= λ . ñëó÷àå âûðîæäåíèÿ (êîãäà íåñêîëüêî ñîáñòâåííûõ óíêöèéîòâå÷àþò îäíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ) ìîæíî âûáðàòü ñîáñòâåííûå óíêöèè îðòîãîíàëüíûìè è ñîîòâåòñòâåííî èñïîëüçîâàòü îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó óíêöèéZ∗(x) ψn(x) dx = δmnψmäëÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà èZψλ∗ (x) ψλ′ (x) dx = δ(λ − λ′)äëÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà.Ïîëíîòà ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ óíêöèé ýðìèòîâîãî îïåðàòîðà îçíà÷àåò, ÷òî ëþáóþ óíêöèþ f (x) èç ðàññìàòðèâàåìîãî32ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛêëàññà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:f (x) =Xan ψn(x);an =nf (x) =f (x′)Xψn∗ (x′)f (x′ ) dx′ .ψn(x) ψn∗ (x′) dx′ .nÏîýòîìó èç ïîëíîòû ñîáñòâåííûõ óíêöèé ñëåäóåò, ÷òîXnψn(x) ψn∗ (x′) = δ(x − x′) . ÷àñòíîñòè, äëÿ ñîáñòâåííûõ óíêöèé îïåðàòîðà p̂ èìååìZψp(x) ψp∗(x′) dp1=2π~Z′eip(x−x )/~ dp = δ(x − x′) .Äèðàêîâñêèå îáîçíà÷åíèÿÄèðàê ïðåäëîæèë óäîáíûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà îïåðàòîðà Â:Af i =Zψf∗ (x)  ψi(x) dx = hf |Â|ii . ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ ýðìèòîâîñòü îïåðàòîðà èìååò âèä³´∗hf |Â|ii = hi|Â|f i ,îðòîíîðìèðóåìîñòü âîëíîâûõ óíêöèé îçíà÷àåòhf |ii = δf i ,à èõ ïîëíîòà Xn33Çàäà÷èZÅñëè â ïåðâîå ðàâåíñòâî ïîäñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ an , òî ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèåZ 7.
Ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð|ni hn| = 1 .6.1. Íàéòè îïåðàòîðû, ñîïðÿæåííûå ê îïåðàòîðàì =ddd, B̂ = i, Ĉ = mωx + ~.dxdxdx6.2. Äëÿ îïåðàòîðà Ĉ , îïðåäåë¼ííîãî â ïðåäûäóùåé çàäà÷å,íàéòè ñîáñòâåííûå óíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Ïðîâåðèòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòîãî îïåðàòîðà ìîãóò áûòüêîìïëåêñíûìè, à ñîáñòâåííûå óíêöèè, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, íå îáÿçàòåëüíî îðòîãîíàëüíû.6.3.
Ïóñòü  ýðìèòîâ îïåðàòîð,  = Â+. Ïîêàæèòå, ÷òîñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà ýòîãî îïåðàòîðà íåîòðèöàòåëüíî:h ψ| Â2 | ψ i ≥ 0.6.4. Íàéòè ñîáñòâåííûå óíêöèè îïåðàòîðà x̂ â x- è p-ïðåäñòàâëåíèÿõ. Òî æå äëÿ îïåðàòîðà p̂.6.5. Íàéòè âèä îïåðàòîðà  = 1/r â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå. 7.Ëèíåéíûé îñöèëëÿòîðàññìîòðèì çàäà÷ó î äâèæåíèè ÷àñòèöû ìàññû m â ïîëåU (x) = 12 mω 2x2.
Ïîëó÷åííûå ïðè ýòîì ðåçóëüòàòû è ââåäåííûå ïîíÿòèÿ îêàæóòñÿ ïîëåçíûìè ïðè èçó÷åíèè êîëåáàíèé ìîëåêóë, ÿäåð, êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòîê, ïðè êâàíòîâàíèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è ò. ä.7.1. Óðîâíè ýíåðãèè è âîëíîâûå óíêöèè ýòîé çàäà÷å åñòåñòâåííàÿ ñèñòåìà åäèíèö âêëþ÷àåò ~, m,ω . Èç íèõ ñòðîèòñÿ åäèíèöà äëèíûℓ=r~mω34ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛýíåðãèè ~ω è ò. ä. (íàéäèòå åäèíèöû âðåìåíè, ñêîðîñòè, èìïóëüñà, ñèëû). Ïåðåéäåì ê áåçðàçìåðíûì âåëè÷èíàì:xE;x′ = , E ′ =ℓ~ωïðè ýòîì îáû÷íàÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ ψ(x) ñâÿçàíà ñ áåçðàçìåðíîé âîëíîâîé óíêöèåé ψ̃(x′ ) ñîîòíîøåíèåì 7. Ëèíåéíûé îñöèëëÿòîðÎíî îçíà÷àåò â ÷àñòíîñòè, ÷òî óíêöèÿ v(x) ñîäåðæèò ñëàãàåìûå îäèíàêîâîé ÷¼òíîñòè. Óñëîâèålims→∞2′d ψ̃(x )2+ (2E ′ − x′ )ψ̃(x′) = 0 ;dx′2â äàëüíåéøåì çíàêè òèëüäû è øòðèõà îïóñêàåì.2Ïðè x → ±∞ èìååì d2 ψ/dx2 = x2 ψ , ò. å. ψ → e±x /2 .
Ïîýòîìó èùåì íîðìèðóåìûå, óáûâàþùèå íà áåñêîíå÷íîñòè ðåøåíèÿâ âèäåψ(x) = e−x2 /2v(x) ,ãäå óíêöèÿ v(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþv ′′(x) − 2xv ′(x) + (2E − 1)v(x) = 0 .Èùåì v(x) â âèäå ðÿäàv(x) =∞Xasxs.s=0Âîçíèêàþùåå òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèåXsxs [(2E − 1 − 2s) as + (s + 1)(s + 2) as+2] = 0ïðèâîäèò ê ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ äëÿ êîýèöèåíòîâas+2 =2s + 1 − 2Eas .(s + 1)(s + 2)as+2 2= →0assîáåñïå÷èâàåò ñõîäèìîñòü ðÿäà ïðè âñåõ x, íî ïðè x → ±∞óíêöèÿ v(x) àñèìïòîòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ óíêöèåéX (x)2kψ̃(x/ℓ)ψ(x) = √ .ℓÒîãäà ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà â âèäå35kk!2= ex .×òîáû ïîëó÷èòü ψ(x) → 0 ïðè x → ±∞, íåîáõîäèìî ðÿä äëÿv(x) îáîðâàòü ïðè íåêîòîðîì s = n, ïîëîæèâ2E = 2n + 1 . èòîãå ïîëó÷àåì óðîâíè ýíåðãèè è íîðìèðîâàííûå âîëíîâûåóíêöèè:2e−x /2 Hn(x)√En = n + , ψn(x) = √, n = 0, 1, 2, .
. . .4πn! 2nÇäåñü Hn (x) ïîëèíîìû Ýðìèòà:12H0(x) = 1, H1(x) = 2x, Hn+1(x) = 2xHn(x) − 2nHn−1(x) .Ïîëèíîì Ýðìèòà Hn (x) èìååò, â ñîãëàñèè ñ îñöèëëÿöèîííîéòåîðåìîé, n íóëåé, âñå îíè ðàñïîëîæåíû â êëàññè÷åñêè äîñòóïíîé îáëàñòè |x| < an , ãäåan =p2En =pn + 1/2 àìïëèòóäà êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà ñ ýíåðãèåé En . Îòìåòèì,÷òî ñîñòîÿíèå ψn (x) èìååò îïðåäåë¼ííóþ ÷¼òíîñòü:ψn(−x) = (−1)n ψn(x) .Èíòåðåñíî ñðàâíèòü êëàññè÷åñêîå è êâàíòîâîå îïèñàíèå ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Äëÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâàÿ36ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛ0.60.5 7. Ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð370.25|ψ0(x)|2|ψ30(x)|20.200.40.30.150.20.10.100.0-20-11x20.05èñ. 3. Êâàíòîâàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè äëÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðà (ïóíêòèðíûå ëèíèè îòìå÷àþò êëàññè÷åñêè äîñòóïíóþ îáëàñòü äâèæåíèÿ)2.0êëàñ01x2èñ. 4. Êëàññè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè äëÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðàêëàññ=2v(x)Têëàññn = 30x 10(ïóíêòèðíîé ëèíè-æå ðèñóíêå ïóíêòèðíîé ëèíèåé ïîêàçàíà êëàññè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè äëÿ òîé æå ýíåðãèè îñöèëëÿòîðà.
Âèäíî, ÷òîóñðåäí¼ííîå çíà÷åíèå óíêöèè |ψ30 (x)|2 ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ êëàññè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì â êëàññè÷åñêè äîñòóïíîé îáëàñòè.E0 = 1/2ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè âåëè÷èíà |ψ0 (x)|2 èçîáðàæåíàíà ðèñ. 3. Êëàññè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îïðåäåëÿåòñÿóíêöèåé (ñð. çàäà÷ó 3.1)dW (x)dx5îñöèëëÿòîðà)0.5-10åé èçîáðàæåíà êëàññè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè äëÿ òîé æå ýíåðãèè1.00.0-2-5èñ. 5. Êâàíòîâàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè äëÿdWdx1.50.00-10 p 1π a2n − x2=0ïðè |x| < anïðè |x| > an ,äëÿ E0 = 1/2 ýòà óíêöèÿ èçîáðàæåíà íà ðèñ.
4. Âèäíî ðåçêîå ðàçëè÷èå êëàññè÷åñêîé è êâàíòîâîé êàðòèíû äëÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ. Äëÿ âûñîêîâîçáóæä¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ n = 30êâàíòîâàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ïîêàçàíà íà ðèñ. 5, íà ýòîì7.2. Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ êâàíòàÂâåäåì îïåðàòîðûâ =√12(x + ip̂) , â+ =√12(x − ip̂) ,(7.1)äëÿ êîòîðûõ ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ èìåþò âèäâ â+ − â+ â = 1.(7.2)Íàïîìíèì, ÷òî â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âåëè÷èíû a è ia∗ ÿâëÿþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè, äëÿ êîòîðûõ óíêöèÿ àìèëüòîíèàí H = a∗ a.38ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛ êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïåðàòîð àìèëüòîíà îñöèëëÿòîðà ÷åðåç ââåäåííûå îïåðàòîðû çàïèñûâàåòñÿ â âèäåĤ = 12 (â+â + ââ+) .(7.3)Èñïîëüçóÿ ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (2), íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð àìèëüòîíà ìîæåò áûòü âûðàæåí òàêæå ââèäåĤ = â+â + 12 = ââ+ − 12è ÷òî++Ĥ â = â³´³´Ĥ + 1 , Ĥ â = â Ĥ − 1 .(7.4)(7.5)Ïóñòü |ni íîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå îñöèëëÿòîðà ñ ýíåðãèåé En = n + 12 , ò. å.Ĥ |ni = En |ni = (n + 12 ) |ni .Òîãäà â+ |ni è â |ni ñîñòîÿíèÿ (íåíîðìèðîâàííûå) ñ ýíåðãèåéEn + 1 è En − 1 ñîîòâåòñòâåííî. Äåéñòâèòåëüíî, èç (5) ñëåäóåò,÷òîĤ â+ |ni = â+(Ĥ + 1) |ni = (En + 1) â+ |ni,39â îáû÷íûõ åäèíèöàõ) êàæäàÿ, îïåðàòîð â+ íàçûâàþò ïîâûøàþùèì îïåðàòîðîì, èëè îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿ òàêîé ÷àñòèöû, àîïåðàòîð â ïîíèæàþùèì îïåðàòîðîì, èëè îïåðàòîðîì óíè÷òîæåíèÿ.
Çàìåòèì åùå, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðàn̂ = â+â = Ĥ − 12ðàâíû n, ïîýòîìó n̂ íàçûâàþò îïåðàòîðîì ÷èñëà ÷àñòèö.Íàéäåì êîýèöèåíò cn . Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì íîðìó âåêòîðà(6):h n| ââ+ |n i = h n| Ĥ + 12 |n i = n + 1 = c2n .√Îòñþäà cn = n + 1. Òàêèì îáðàçîì, ñîñòîÿíèå |n i ìîæåò áûòüçàïèñàíî òàê:(â+)n|0 i ,|n i = √n!à îòëè÷íûì îò íóëÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿè óíè÷òîæåíèÿ ðàâíûh n + 1| â+ |n i = h n| â |n + 1 i =Ĥ â |ni = (En − 1) â |ni .Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå îïåðàòîðà â+ íà ñîñòîÿíèå |ni ïåðåâîäèò åãî â ñîñòîÿíèå |n + 1 i, ò.
å. ïîâûøàåò ýíåðãèþ ñîñòîÿíèÿíà 1 (íà ~ω â îáû÷íûõ åäèíèöàõ):(7.6)à äåéñòâèå îïåðàòîðà â íà ñîñòîÿíèå |ni ïåðåâîäèò åãî â ñîñòîÿíèå |n−1 i, ò. å. ïîíèæàåò ýíåðãèþ ñîñòîÿíèÿ íà 1. Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü óäîáíóþ èíòåðïðåòàöèþ: ñîñòîÿíèå |n i ñîäåðæèò n îäèíàêîâûõ ÷àñòèö (êâàíòîâ) ñ ýíåðãèåé E = 1 (èëè ~ω√n + 1.(7.7)Îòñþäà ìîæíî íàéòè è ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êîîðäèíàòû:h n + 1| x |n i = h n| x |n + 1 i =à òàêæå àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèå äëÿ â |ni:â+ |n i = cn |n + 1 i , 7. Ëèíåéíûé îñöèëëÿòîðrn+1.2(7.8)Âîëíîâàÿ óíêöèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ìîæåò áûòü íàéäåíàèç óñëîâèÿâ ψ0(x) = 0 ,÷òî äàåò2e−x /2.ψ0(x) = √4π èòîãå ïîëó÷àåì êîìïàêòíîå âûðàæåíèå äëÿ âîëíîâîé óíêöèè ñ ïðîèçâîëüíûì n:2(â+)n e−x /2√ .ψn(x) = √n! 4 π40ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛÇàäà÷è7.1. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè îñöèëëÿòîð íàõîäèòñÿ â êëàññè÷åñêè íåäîñòóïíîé îáëàñòè |x| > ℓ.7.2. Íàéòè ϕn(p) äëÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Ñðàâíèòü êëàññè÷åñêóþ dWêëàññ /dp è êâàíòîâóþ |ϕ0 (p)|2 ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ïðè n = 0.7.3. Íàéòè ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû pf i, (x2)f i, (p2)f i äëÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà.7.4. Íàéòè ∆x è ∆p äëÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà â n-ì ñîñòîÿíèè.7.5.
×àñòèöà íàõîäèòñÿ â îñöèëëÿòîðíîì ïîëå U (x) =12 2mωx â ñîñòîÿíèè, çàäàííîì âîëíîâîé óíêöèåé2Cψ(x) = 2, C=x + a2r2a3.πÍàéòè âåðîÿòíîñòè W0 è W1 òîãî, ÷òî ïðè èçìåðåíèè ýíåðãèè÷àñòèöû áóäóò íàéäåíû çíà÷åíèÿ, ðàâíûå ñîîòâåòñòâåííî 12 ~ωpè 32 ~ω . Ïðè âû÷èñëåíèè W0 ñ÷èòàòü, ÷òî a ≪ ~/(mω).7.6. Íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå êîììóòàòîðà êèíåòè÷åñêîé K̂ èïîòåíöèàëüíîé U ýíåðãèé äëÿ n-ãî ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, ò. å.
âåëè÷èíóZ 8.ψn∗ (x) [K̂, U ] ψn(x) dx ,p̂2mω 2x2K̂ =, U=.2m2Ýâîëþöèÿ âîëíîâîé óíêöèè ñî âðåìåíåìàññìîòðèì ïîäðîáíåå íåñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà~2∂Ψ(r, t)= ĤΨ(r, t) , Ĥ = −∆ + U (r) ,i~∂t2m 8. Ýâîëþöèÿ âîëíîâîé óíêöèè ñî âðåìåíåì41êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ïîñòóëàòîâ êâàíòîâîé ìåõàíèêè (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
