1625913949-3b5bf0dbc627b001fc8c0870972eb71d (536947), страница 5
Текст из файла (страница 5)
4). Åãî ñâîéñòâà: óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà ëèíåéíî, ïîýòîìó åñëè Ψ1 (r, t) èΨ2(r, t) ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà, òî èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿc1Ψ1(r, t) + c2Ψ2(r, t)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà (ïðèíöèïñóïåðïîçèöèè); óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê ïî âðåìåíè, ïîýòîìó çíà÷åíèå Ψ(r, t) â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ, åñëè èçâåñòíà Ψ(r, t0 ) â íåêîòîðûé ìîìåíòâðåìåíè t0 (ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå).Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿΨ(r, t) = ψn(r) e−iEnt/~ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè |Ψ(r, t)|2 íå çàâèñèò îò t. Îáùåå ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñòàöèîíàðíûìðåøåíèÿìXcn e−iEnt/~ ψn(r) ,Ψ(r, t) =nãäåcn =Zψn∗ (r′) Ψ(r′, 0) d3r′ .ZG(r, r′, t) Ψ(r′, 0) d3r′ ,Òàêèì îáðàçîì, ýâîëþöèÿ Ψ(r, t) ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåìΨ(r, t) =G(r, r′, t) =Xnψn(r) ψn∗ (r′) e−iEnt/~ .42ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛ∂G(r, r′, t)= Ĥ(r) G(r, r′, t)∂tj=G(r, r′, 0) =nΨ=ψn(r) ψn∗ (r′) = δ(r − r′) .Èç îðìóëû äëÿ ñðåäíåé ýíåðãèè â äàííîì ñîñòîÿíèèhEi =ZΨ∗(r, t) Ĥ Ψ(r, t) d3r =Xn̺ eiφ ,ãäå ̺ è φ âåùåñòâåííûå óíêöèè êîîðäèíàò è âðåìåíè è̺ = |Ψ|2, òî~∇φ,mò. å. ïëîòíîñòü òîêà îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà âîëíîâàÿ óíêöèÿ èìååò àçó φ ñ íåòðèâèàëüíîé çàâèñèìîñòüþ îòêîîðäèíàò. ÷àñòíîñòè, äëÿ ïëîñêîé âîëíûïëîòíîñòü òîêà ðàâíàÈçìåíåíèå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ̺(r, t) = |Ψ(r, t)| ñî âðåìåíåì îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì2∂̺∂Ψ ∂Ψ∗= Ψ∗+Ψ.∂t∂t∂tÏîäñòàâèâ ∂Ψ / ∂t èç óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà, ïîëó÷èì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè:¡¢ ¤∂̺i~ £ ∗ 2Ψ ∇ Ψ − ∇2Ψ∗ Ψ = −∇j ,=∂t 2mãäå ïëîòíîñòü òîêà¤1 £ ∗Ψ (−i~∇Ψ) + (−i~∇Ψ)∗ Ψ .2mÂâåäåì îïåðàòîð ñêîðîñòèv̂ =(9.1)Ψ = A ei(kr−ωt)Ïëîòíîñòü òîêàj=√j=̺En |cn|2âèäíî, ÷òî cn åñòü àìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ó ñèñòåìû ýíåðãèþ En .
Íàáîð âåëè÷èí cn åñòü âîëíîâàÿ óíêöèÿñèñòåìû â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè. 9.1 ∗(Ψ v̂ Ψ + êîìï. îïð. ) .2Åñëè ïðåäñòàâèòü âîëíîâóþ óíêöèþ â âèäåñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìX43òîãäà âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè òîêà ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåÔóíêöèÿ ðèíà G(r, r′ , t) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþi~ 10. Îäíîìåðíîå ðàññåÿíèå−i~∇,mj = |A|2 v , 10.ãäå v =~k.mÎäíîìåðíîå ðàññåÿíèåàññìîòðèì ðàññåÿíèÿ ÷àñòèö ïîòåíöèàëüíûì ïîëåì óêàçàííîãî íà ðèñ. 6 âèäà:U (x) →½0Vïðè x → −∞ïðè x → +∞ . ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à ðàññåÿíèÿ ïðè E > V îðìóëèðóåòñÿòàê. Ñëåâà èìååòñÿ ïàäàþùàÿ è îòðàæåííàÿ âîëíû, ñïðàâà ïðîøåäøàÿ âîëíà, ò. å. àñèìïòîòèêè âîëíîâîé óíêöèè òàêîâû:Ψ→eiωt½√eikx + A e−ikx, ~k = p2mEik1 x~k1 = 2m(E − V )Be ,ïðè x → −∞ïðè x → +∞ .44ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛÇàäà÷èV10.1.
×àñòèöà íàõîäèòñÿ â ïîëå U (x) = −G δ(x). Ïðè t = 0âîëíîâàÿ óíêöèÿ èìååò âèäxèñ. 6. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äëÿ ñëó÷àÿ îäíîìåðíîãî ðàññåÿíèÿÑîîòâåòñòâóþùèå x-êîìïîíåíòû ïëîòíîñòè òîêà ðàâíû:ïàä=~k, jmîòð= −|A|2~k, jmïðîø= |B|2~k1.mÎïðåäåëèì êîýèöèåíòû ïðîõîæäåíèÿ D è îòðàæåíèÿ R ñîîòíîøåíèÿìèD=jjïðîø, R=ïàäòîãäàD=45 ýòîì ñëó÷àå îïòè÷åñêèé àíàëîã ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå ñâåòà ïðè ïàäåíèè ïîä íåêîòîðûì óãëîì íà ãðàíèöó ðàçäåëàñòåêëîâàêóóì.U (x)j 9. Îäíîìåðíîå ðàññåÿíèå|jjîòð|e−|x|/bΨ(x, 0) = √ .bÍàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè t → ∞ ÷àñòèöà îêàæåòñÿ âîñíîâíîì ñîñòîÿíèè ψ0 (x).10.2. Òîò æå âîïðîñ äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ïðè2, R + D = 1,ïàäU (x)k1|B|2 , R = |A|2 .kÎïòè÷åñêèé àíàëîã ýòîé êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîé çàäà÷è îòðàæåíèå ñâåòà ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè íà ïëîñêóþ ãðàíèöóðàçäåëà äâóõ ñðåä ñ ðàçíûìè ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ.
 îïòèêå âîëíîâîé âåêòîð2π ωk≡= n,λcp2m(V − E)Vxèñ. 7. Ïîòåíöèàëüíàÿ ñòóïåíüêàãäå n ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ. Íàøåé çàäà÷å ñîîòâåòñòâóåòñèòóàöèÿ, êîãäà ñïðàâà âàêóóì, à ñëåâà ñòåêëî. ñëó÷àå 0 < E < V àñèìïòîòèêà ïðè x → +∞ èçìåíÿåòñÿ:ψ → eiωt B e−κx, ~κ =2e−x /(2b )Ψ(x, 0) =.(πb2)1/4ïðè x → +∞ .10.3. Äëÿ ïîëÿ, îïèñàííîãî â çàäà÷å 5.3, îïðåäåëèòü Ψ(x, t),åñëè ïðè t < 0 ìåæäó ÿìàìè áûëà íåïðîíèöàåìàÿ ïåðåãîðîäêà è ÷àñòèöà íàõîäèëàñü â ñòàöèîíàðíîì ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèèâáëèçè ëåâîé ÿìû.10.4. Íàéòè óíêöèþ ðèíà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû.46ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛ 11. Êîììóòàòîðû4710.5.
Íàéòè êîýèöèåíòû D è R äëÿ ÷àñòèöû â ïîëå(ðèñ. 7)U (x) =½U (x)ïðè x < 0 ,ïðè x > 0 .0V0Óêàçàòü îïòè÷åñêóþ àíàëîãèþ. Èçâåñòíî, ÷òî ïðè îòðàæåíèèîò îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäû ïðîèñõîäèò ïîòåðÿ ïîëóâîëíû. ×åìó ñîîòâåòñòâóåò ýòî ÿâëåíèå â äàííîé çàäà÷å? àññìîòðåòü ïðåäåë ~ → 0.10.6. Íàéòè êîýèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ D äëÿ ÷àñòèöû â ïîëå ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ãëóáèíîþ V è øèðèíîþa (ðèñ. 8). Äàòü ãðàèê D(E), óêàçàòü óñëîâèå ïðîçðà÷íîñòè.ax−V1−V2èñ. 9.
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñëó÷àþ ïðîñâåòëåííîéîïòèêèU (x)VU (x)EEa0x−V0axèñ. 10. Òóííåëèðîâàíèå ÷àñòèöû ÷åðåç îäíîìåðíûé ïðÿìîóãîëüíûé ïîòåíöèàëüíûé áàðüåðèñ. 8. Ïðîõîæäåíèå ÷àñòèöû íàä îäíîìåðíîé ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìîéÈñïîëüçóÿ îïòè÷åñêóþ àíàëîãèþ, óêàçàòü íåîáõîäèìîå óñëîâèåïðîçðà÷íîñòè â ñëó÷àå ïîëÿ (ðèñ. 9) 0U (x) = −V1−V2Eïðè x < 0ïðè 0 < x < aïðè x > a ,ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðè V1 < V2 ïðîñâåòëåííîé îïòèêå.10.7. Íàéòè êîýèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ D(E) äëÿ ÷àñòèöûâ ïîëå ïðÿìîóãîëüíîãî ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà âûñîòîþ V èøèðèíîþ a (ðèñ.
10), îñîáî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé E < V , κa ≫ 1.10.8. àññìîòðåòü ðàññåÿíèå â ïîëå U (x) = −G δ(x). Îáðàòèòü âíèìàíèå íà ïîâåäåíèå àìïëèòóä îòðàæåííîé è ïðîøåäøåé âîëí ïðè ïðîäîëæåíèè ðåøåíèÿ â îáëàñòü E < 0. 11.ÊîììóòàòîðûÂåëè÷èíà[Â, B̂] ≡ ÂB̂ − B̂ Âíàçûâàåòñÿ êîììóòàòîðîì äâóõ îïåðàòîðîâ  è B̂ . Åñëè êîììóòàòîð äâóõ îïåðàòîðîâ ðàâåí íóëþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ýòè îïåðàòîðû êîììóòèðóþò. Åñëè îïåðàòîðû  è B̂ ýðìèòîâû, à èõ48ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ. ÎÏÅÀÒÎÛêîììóòàòîð èìååò âèä [Â, B̂] = iĈ , òî Ĉ ýðìèòîâ îïåðàòîð,Ĉ + = Ĉ . 11.
Êîììóòàòîðû49bn. Ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ ψ ïðåäñòàâèì â âèäå ðàçëîæåíèÿXψ=cn ψnn11.1. Êîììóòàòîðû è èçìåðèìîñòü âåëè÷èíÏóñòü ψa è ψa′ ñîáñòâåííûå óíêöèè îïåðàòîðà  ñ ðàçëè÷íûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, a 6= a′ . ßñíî, ÷òî ìàòðè÷íûéýëåìåíò îïåðàòîðà  ìåæäó äâóìÿ ýòèìè ñîñòîÿíèÿìè ðàâåííóëþ:hψa′ |  |ψai = a hψa′ | ψai = 0 .Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî æå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðàB̂ , êîììóòèðóþùåãî ñ îïåðàòîðîì Â. Äåéñòâèòåëüíî, èç ñîîòíîøåíèÿ0 = hψa′ | [Â, B̂] |ψai = hψa′ |  B̂ |ψai − hψa′ | B̂  |ψaiñëåäóåò′ò. å.0 = (a − a) hψa′ | B̂ |ψai ,hψa′ | B̂ |ψai = 0 .Ïðèâåäåì ïðîñòîé è ïîëåçíûé â äàëüíåéøåì ïðèìåð. Ëåãêîïðîâåðèòü, ÷òî îïåðàòîð M̂z = xp̂y − y p̂x êîììóòèðóåò ñ êîîðäèíàòîé z .
Ïóñòü ψm ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ îïåðàòîðà M̂z .Òîãäà äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ êîîðäèíàòû z ñóùåñòâóåò ïðàâèëî îòáîðà:hψm′ | z |ψmi = 0, åñëè m 6= m′ .Åñëè âåëè÷èíû A è B îäíîâðåìåííî èçìåðèìû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàòîðû êîììóòèðóþò. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ îäíîâðåìåííî èçìåðèìûõ âåëè÷èí A è B ñóùåñòâóåò ïîëíàÿ ñèñòåìà âîëíîâûõ óíêöèé ψn , òàêèõ, ÷òî ψn îäíîâðåìåííî ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ è Â, è B̂ ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè an èè ïîäåéñòâóåì íà íåå îïåðàòîðîì ÂB̂ .  èòîãå ïîëó÷èì:ÂB̂ψ = ÂB̂Xcn ψn =nò. å. â ýòîì ñëó÷àåXcnanbn ψn =nXcnB̂  ψn = B̂  ψ ,n[Â, B̂] = 0.È îáðàòíî, åñëè [Â, B̂] = 0, òî  è B̂ èìåþò îáùóþ ñèñòåìóñîáñòâåííûõ óíêöèé.
Ïóñòü ψa ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ Â: ψa = a ψa ,òîãäàB̂  ψa = aB̂ ψa = ÂB̂ ψa ,ò. å. B̂ψa òîæå ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ îïåðàòîðà  ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì a. Åñëè ñïåêòð íåâûðîæäåí, òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî B̂ψa ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ñîâïàäàåò ñ ψa , ò. å.B̂ψa = bψa, òàê ÷òî ψa, äåéñòâèòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîéóíêöèåé îïåðàòîðà B̂ ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì b.  ñëó÷àåâûðîæäåííîãî ñïåêòðà ìîæíî âûáðàòü òàêèå ëèíåéíûå êîìPáèíàöèè i ci ψai ñîáñòâåííûõ óíêöèé îïåðàòîðà Â, êîòîðûåáóäóò îäíîâðåìåííî ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè B̂ .àññìîòðèòå òàêæå ñëó÷àé a = b = 0.11.2. Êîììóòàòîðû è ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåéÏóñòü ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè |ψi. Ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû A è B â ýòîì ñîñòîÿíèè èìåþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿhAi = hψ|Â|ψi , hBi = hψ|B̂|ψi50ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
ÎÏÅÀÒÎÛè äèñïåðñèè, îïðåäåë¼ííûå ñîîòíîøåíèÿìè 12. Ïðîèçâîäíàÿ îò îïåðàòîðà ïî âðåìåíè. Òåîðåìà ÝðåíåñòàÏðîñòîé ïðèìåð: òàê êàêqq2∆A = h(A − hAi) i , ∆B = h(B − hBi)2i .[x, p̂x] = i ~ ,òî äëÿ ëþáîãî êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåÏóñòü ýðìèòîâû îïåðàòîðû  è B̂ íå êîììóòèðóþò:∆x · ∆px ≥[Â, B̂] = iĈ ,ãäå Ĉ ýðìèòîâ îïåðàòîð.
Ââåäåì îïåðàòîðû 12.â =  − hAi , b̂ = B̂ − hBi ,äëÿ êîòîðûõ222~.2Ïðîèçâîäíàÿ îò îïåðàòîðà ïî âðåìåíè.Òåîðåìà Ýðåíåñòà êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå îñíîâíûå äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå êîîðäèíàòû è èìïóëüñû ÿâíî çàâèñÿò îò âðåìåíè: r(t),p(t). Ïðîèçâîëüíàÿ èçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà A = A(r(t), p(t), t)ìîæåò çàâèñåòü îò âðåìåíè åù¼ è ÷àñòíûì îáðàçîì (êàê îò ïàðàìåòðà). Ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò ýòîé âåëè÷èíû ìîæåòáûòü íàéäåíà ñ ïîìîùüþ ñêîáêè Ïóàññîíà:2hψ|â |ψi = (∆A) , hψ|b̂ |ψi = (∆B) , [â, b̂] = iĈ .àññìîòðèì òåïåðü ñîñòîÿíèå³´|ψ̃i = βâ + ib̂ |ψi ,ãäå êîýèöèåíò β âåùåñòâåí.
ßñíî, ÷òîdA ∂A=+ {H, A} .(12.1)dt∂t êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïåðàòîðû r̂ = r è p̂ = −i~∇ íå çà-J(β) ≡ hψ̃|ψ̃i ≥ 0 ,íî òîãäà2 2512J(β) = hψ|(βâ − ib̂)(βâ + ib̂)|ψi = hψ|β â + iβ(âb̂ − b̂â) + b̂ |ni == β 2(∆A)2 − βhCi + (∆B)2 ≥ 0 .Ïðè hCi =6 0 îòñþäà ñëåäóåò ñîäåðæàòåëüíîå óòâåðæäåíèå:(∆A)2 · (∆B)2 ≥ 14 hCi2. Òàêèì îáðàçîì,∆A · ∆B ≥ 12 | hCi | ,ò.
å. ïðîèçâåäåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé (äèñïåðñèé) äâóõèçè÷åñêèõ âåëè÷èí â äàííîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè íåìåíüøå ïîëîâèíû ìîäóëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ êîììóòàòîðà ýòèõ âåëè÷èí â äàííîì ñîñòîÿíèè.âèñÿò îò âðåìåíè, à îïåðàòîð íåêîòîðîé èçè÷åñêîé âåëè÷èíûÂ(r, p̂, t) ìîæåò çàâèñåòü îò t ëèøü êàê îò ïàðàìåòðà. Çàâèñèìîñòü ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ýòîé âåëè÷èíû îò âðåìåíèhA(t)i =ZΨ∗(r, t)  Ψ(r, t) d3r ≡ hΨ(t)|  |Ψ(t)iñâÿçàíà â îñíîâíîì ñ âîëíîâîé óíêöèåé Ψ(r, t), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Øð¼äèíãåðài~∂Ψ(r, t) = Ĥ Ψ(r, t) .∂tÒàêàÿ ñõåìà êâàíòîâîé ìåõàíèêè íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì Øð¼äèíãåðà (áîëåå áëèçêàÿ ê êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ñõåìà52ëàâà II.ÓÀÂÍÅÍÈÅ ØÄÈÍÅÀ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
