physics_saveliev_3 (535941), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Это отклонение определяется значением и(!м) для данного вещества, так что получающаяся на экране искривленная радужная полоса наглядно передает ход показателя преломления с длиной волны ),ь Для всех прозрачных бесцветных веществ функция (43.!) имеет в видимой части спектра вид, показанный на рис. 146,в. С уменьшением длины волны показатель преломления увеличивается со все возрастающей скоростью, так что величина ап/Жо, называемая дисперсией вещества, также увеличивается по модулю с уменьшением Хо.
Такой характер дисперсия. называют норм а льны м. Рис. 146,а соответствует случаю нормальной дисперсии, Зависимость и от Хо в области нормальной дисперсии может быть представлена приближенно формулой: п=а+ — + — + ..., Ь с х2 (43.2) где а, Ь, с, ... — постоянные, значения ноторых для каждого вещества определяются экспериментально. В большинстве случаев можно ограничиться двумя первыми членами формулы, полагая ь п=а+ —. В этом случае дисперсия вещества изменяется по закону'. ап ЗЬ "хо хо Если вещество поглощает часть лучей, в области поглощения и вблизи от нее ход дисперсии обнаруживает аномалию (рис. 146,6).
На некотором участке более короткие волны преломляются меньше, чем более длинные. Такой ход зависимости п от Хе называется аномальной дисперсией. й 44. Групповая скорость Волна, описываемая уравнением ! = А соз (м! — йх), (44,1) представляет собой последовательность горбов и впадин, имеющую бесконечные протяженность и длительность, В самом деле, уравнение (44.1) определяет смещение $ для всех значений х и 1, заключенных в пределах от — со до +со. Ясно, что с помощью такой волны нельзя передать никакого сигнала.
Для того чтобы волна могла быть использована для передачи сигнала, на ней нужно сделать «отметку», скажем, оборвать ее на какой-то промежуток времени. Однако в этом случае волна уже не будет описываться уравнением (44.1), Возьмем фиксированное значение фазы волны (44.1): в>! — Йх = сопз1. Дифференцирование этого выражения дает: ь> Ж вЂ” Фс(х= =О, откуда для скорости о = Нх/Ж, с которой перемещается данное значение фазы в пространстве, получается значение: (44,2) Величина ш как мы знаем, называется фазовой скоростью волны.
В 9 19 мы уже отмечали, что даже свет, определяемый как монохроматическии, представляет собой наложение волн вида (44.1) с частотами, заключенными в интервале Ль>. Суперпозиция воли, мало отличающихся друг от друга по частоте (или длине волны), называется группой волн. Выра>кение группы волн имеет вид; »»хм (44.3) .4 соз (»>! — й х) с(»>. о — лы Суммнруемые в (44.3) волны отличаются друг от друга по Л, а следовательно и по А (й = 2п>х).
В некоторый момент времени ! отличие по фазе складываемых волн в разных точках (для разных х) будет различно. В одних точках волны усиливают друг друга больше, в других — меньше. В том месте, где волны в данный момент больше всего усиливают друг друга, будет наблюдаться максимум интенсивности. С течением времени этот максимум перемещается в пространстве. Сказанное можно пояснить на примере слонсения двух волн с различными Х (рис. 147). Одна из волн изображена сплошной линией, вторая — пунктирной.
Интенсивность максимальна в точке А, где фазы обеих волн в данный момент совпадают. В точках В и С обе волны находятся в противофазе, вследствие чего интенсивность результирующей волны минимальна. Точку, в которой амплитуда (а следовательно и интенсивность) группы волн имеет максимум, называют цеятром г р уп п ы воли. Если все составля1ощие группы волн распространяются с одинаковой фазовой скоростью о, то относительное расположение волн остается все время неизменным.
Следовательно, центр В А С / Ф, ! 1 ! ! ! ! ! 7~7~!~71! ~! Рвс. 14Л группы также будет перемещаться в пространстве со скоростью в. Иначе обстоит дело, если наблюдается дисперсия, т. е. зависимость фазовой скорости волн от частоты. В этом случае центр группы волн перемещается со скоростью (44.4) называемой г р у п п о во й с к о р о с т ь ю. Заменив согласно (44.2) ы через ой, выражение для групповой скоросги можно представить в виде !! (вФ) !!о и= иь аь ' =о+А —.
Заменим в этом выражении !(о/Н через (Но/НЛ) Х Х (сГл/г(й). По определению А = 2п/Л или Л = 2п/й. Следовательно г(Л/г/й = — 2я/иэ = — Л/й, так что г(о/г(й = = — (!(о/Ж) (Л/й). Подставив это значение в формулу для и, получим: и=о — Л вЂ” „ !!ч !!Л ' (44.5) Очевидно, что выражения (44.4) и (44.5) эквивалентны. Докажем правильность формулы (44.4) на примере двух слагаемых волн, описываемых уравнениями $! = а сов(ы/ — Йх), 5з = а сов 1(гв + Лв) / — (Й + б/г) х1. Для упрощения выкладок мы положили амплигуды обеих волн одинаковыми.
Будем предполагать выполняюьцимися условия: Лто « ип Лй « й. Сложив уравнения и произведя преобразования по формуле для суммы косинусов, получим уравнение результирующей волны: ь = $, + ва = [2а соз ( ~ à — — х)1 сов (от) — йх) (44.6) (во втором множителе мы пренебрегли Лто по сравнению с 2от н Лй по сравнению с 2й).
Множитель, стояший в квадратных скобках, изменяется с г и х гораздо медленнее, чем второй множитель, Поэтому выражение (44.6) можно рассматривать как уравнение плоской волны, амплитуда которой изменяется по закону') Амплитуда = ~2а сок ( — ( — —, х)1. Максимуму амплитуды соответствует фаза, равная нулю (нли +тип, где т — целое числа).
Следовательно, координата х центра уруппы волн в момент времени 1 определяется из условия: дм Лй — 1 — — х =О. о 2 м Отсюда для групповой скорости и = дх,„/Л получается значение: и = Лсо/Ай. Перейдя к дифференциалам, получим формулу (44.4). Из формулы (44.5) видно, что в зависимости от знака Йо/тОь групповая скорость и может быть как меньше, так и больше фазовой скорости о. В отсутствие дисперсии 40/дХ = О и групповая скорость совпадает с фазовой. Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому в тех случаях, когда понятие групповой скорости имеет смысл, скорость переноса энергии волной равна групповой скорости.
Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение энергии волны в данной среде невелико. Прн значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Такой случай имеет место в области аномальной дисперсии. В этой ')' Ср. с т. ), формулами (70.1) и (70.2). Зависимость функции (44.0) от к ири фиксированном т изображавтск кривой, аналогичной кривой иа рис. 173, а в т. !. 232 области поглощение очень велико и понятие групповой скорости оказывается неприменимым.
Из сказанного в этом параграфе ясно, что во всех описанных в 3 4 опытах определялась не фазовая, а групповая скорость световых волн (напомним, что в вакууме эти скорости совпадают). $ 45. Элементарная теория дисперсии Дисперсия света может быть объяснена на основе электромагнитной теории и электронной теории вещества. Для этого нужно рассмотреть процесс взаимодействия света с веществом.
Движение электронов в атоме подчиняется законом квантовой механики (см. $66). В частности, понятие траектории электрона в атоме теряет всякий смысл. Однако, как показал Лоренц, для' качественного понимания многих оптических явлений достаточно ограничиться гипотезой о существовании внутри атомов н молекул электронов, связайных квазиупруго. Будучи выведены из положения равновесия, такие электроны начнут колебаться, постепенно теряя энергйю колебания на излучение электромагнитных волн. В результате колебания будут затухающими.
Затухание можно учесть, введя «силу трения», пропорциональную скорости. При прохождении через вещество электромагнитной волны каждый электрон оказывается под действием электрической силы, изменяющейся по закону: 7 = еЕо соз (аз~ 4- а), (еЕо~т) ~,Г( 3 2)2+чйз 3 2ре (ач = О)з — м (45.2) (см. т. ц формулы (75.7) и (75.8); вз — собственная частота электрона, () — коэффициент затухания]. 233 где а — величина, определяемая координатами данного электрона, Ез — амплитуда напряженности электрического поля волны.
Под воздействием этой силы электрон начинает совершать вынужденные колебания, амплитуда (г ) и фаза (~р) которых определяются формулами: Колеблющийся электрон возбуждает вторичную волну, распространяющуюся со скоростью с. Вторичные волны, складываясь с первичной, образуют результирующую волну. Фазы вторичных волн отличаются от фазы первичной волны (см. (45,2)). Это приводит к тому, что результирующая волна распространяется в веществе с фазовой скоростью и, отличной от скорости волн в пустоте (фазовая скорость первичной и вторичной волн в веществе равна с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
