physics_saveliev_3 (535941), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Ее экспериментальное значение равно: а = 5,7 ° 10 вт(~м ° град». (51.2) Внн (1893), воспользовавшись, кроме термодинамики„ электромагнитной теорией, показал, что функция спектрального распределения должна иметь вид: )(м, Т) =езр ( — ), (51.3) где Р— неизвестная функция отношения частоты к температуре. Согласно формуле (50.9) для функции ~р(Л, Т) получается выражение: <р(Л, Т)= — л," ( — „) Р( — )= — „, ф(ЛТ), (51.4) где ф(ЛТ) — неизвестная функция произведения ЛТ. Соотношение (51.4) позволяет устновить зависимость между длиной волны Л, на которую приходится максимум функции у(Л, Т), н температурой.
Проднфференцнруем (51,4) по Л: ж= Г Тф'(ЛТ) — —,. ф(ЛТ) = = — Лв (ЛТф'(ЛТ)-5ф(ЛТ)]. (51.5) Выражение в квадратных скобках представляет собой некоторую функцию тР(ЛТ). При длине волны Л,, соответствующей максимуму функции ~р(Л, Т), выражение (51.5) должно обращаться в нуль: Поскольку, как следует из опыта, Х,„Ы= оо, должно выполняться условие: Ч1(1.,„Т) = О. Решение последнего уравнения относительно неизвестного Х„„Т дает для этого неизвестного некоторое число, которое мы обозначим буквой Ь.
Таким образом, получается соотношение; ТХ,„= Ь, (5! .5) которое носит название закона смешения Вина. Экспериментальное значение константы Ь равно: Ь = 2,90 10'А град = 2,90 ° 10з мк град. (5!.7) й 52. Формула Рэлея — Джинса и (Т) = ~ и (гэ, Т) Ые. о (52.1) Равновесная плотность энергии излучения и(Т) зависит только от температуры и не зависит от свойств стенок полости.
Это следует из термодинамических соображений. Рассмотрим две полости, стенки которых изготовлены из разных материалов н имеют первоначально езз Рэлей и Дзкннс сделали попытку определить функцию 1(гэ, Т), исходя из теоремы классической статистики о равнораспределенни энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная двум половинкам ЬТ вЂ” одна половинка на электрнческу|о, вторая— на магнитную энергию волны (напомним, что по классическим представлениям на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем энергия, равная двум половинкам ЬТ). Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. Для этого представим себе эвакуированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью и = и(Т).
Спектральное распределение этой энпргии можно охарактеризовать функцией и(ы, Т), определяемой условием: ди = а(ы, Т)г(в, где ди — доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот Ноь Полная плотность энергии может быть представлена в виде: ОЭ одинаковую температуру.
Допустим, что равновесная плотность энергии в обеих полостях различна и, скажем, и~ (Т) ) и,(Т). Соединим полости с помощью небольшого отверстия (рис. 158) и тем самым позволим стенкам полостей вступить в теплообмен через излучение. Так как по предположению и~ ) им по~ок энергии из первой полости во вторую должен быть больше, чем поток, текущий во встречном направлении. В результате стенки второй полости станут поглощать больше энергии, чем излучать, и температура их начнет У повышаться. Стенки же первой полости станут поглощать меньше энергии, чем излучать, так что они а, = и, будут охлаждаться.
Однако два тела с первоначально одинаковой температурой не могут вследствие теплообмена друг с другом приобреРис. 158. стн различные температуры — это запрещено вторым началом термодинамики. Поэтому наше допущение о неодинаковости и, н из должно быть признано неправомерным. Вывод о равенстве и,(Т) и и,(Т) распространяется на каждую спектральную составляющую и(м, Т). Независимость равновесного излучения от природы стенок полости можно пояснить следующими соображениями. Абсолютно черные стенки поглощали бы всю упавшую па них энергию Ф, и испускали бы такой же по величине поток энергии Ф,. Стенки с поглощательной способностью а поглотят долю аФ, упавшего на них потока Ф, н отразят поток, равный (1 — а)Ф,. Кроме того, они излучат поток аФ, (равный поглощенному потоку).
В итоге стенки полости вернут излучению поток энергии Ф, = (1 — п)Ф, + аФ„такой же, какой возвращали бы излучению абсолютно черные стенки. Равновесная плотность энергии излучения и связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела простым соотношением, которое мы сейчас выведем, В случае плоской волны (т, е. когда энергия переносится волной в одном, определяемом вектором к направлении) плотность потока энергии Т может быть представлена как произведение плотности энергии и на скорость волны с: Т = си (см. т. !, формулу (82.8)).
Через каждую точку внутри полости проходит бесчисленное ко- 254 личество волн, направления которых равномерно распределены в пределах телесного угла 4п. Поток энергии 1 = си также распределен равномерно в пределах этого телесного угла. Следовательно„ в пределах телесного угла г(П будет заключен поток энергии, плотность которого равна: Возьмем на поверхности полости элементарную площадку Л5 (рис. 159). Эта площадка посылает в пределах телесного угла дй = з1п б Нб Пф в а'44 направлении, образующем с нор- малью угол 6, поток энергии: ЫФ, = Н ° Л5 соз б = = — аи Л5 сов б = си 4п лл Рис. 159.
= —" Л5 соз О з! и д дб г(ф. 4л По всем направлениям, заключенным в пределах телесного угла 2п, площадка Л5 посылает поток энергии: Мз 2п Ф = )Ф = — '" Л5„~ созб 1пд (б,~ йр= — 'пЛ5. 4п / 4 Вместе с тем поток Ф, должен быть таким, какой излучали бы абсолютно черные стенки. Последний же поток по определению равен КЛ5. Следовательно, (52.2) Соотношение (52.2) должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения. Отсюда вытекает, что ) (, т) = —,' (, т). (52.3) Рэлей и Джинс исходили из того, что равновесное излучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Такое представление оправдывается тем, что замена поглощающих стенок полости идеально отражающими стенками не изменяет плотности энергии равновесного излучения.
Возникновение стоячих волн возможно лишь при выполнении определенных условий (см. т. 1, $ 85). Пусть полость имеет форму прямоугольного параллелепипеда состоронами а, 6 и с, Совместим сребрамипараллелепинеда координатные оси х, у, г (рис. !60). Условие возникновения стоячей волны вдоль оси х имеет вид: А и а=т,— =т,— или Й„=т,— ! 2 й„. (52.4) (т,=1, 2, ...), где Й,— модуль волнового вектора, совпадающий в данном случае с проекцией волнового вектора на ось х.
Заметим, что данная стоячая волна образована наложением двух бегущих волн, для которых значения Й, отличаются зиад ком. Для стоячих волн, устанавливающихся вдоль оси у или оси г, должны выполняться условия, анал логичные (52.4). Если Рис. 160. волновой вектор й не сов- падает с направлением ни одной нз координатных осей, условия, аналогичные (52.4), должны выполняться одновременно для всех трех проекций вектора й: Йх т1 Йу — т2 > Й~ тз а' " ь ' ' с (525) ('% тз та= О, 1, 2,,), В этом случае стоячая волна с данным значением Х (т. е. Й) представляет собой суперпозицию восьми бегущих волн одинаковой длины, но различных направлений, для которых проекции волнового вектора равны: (1) + Й„, + Й„, + Й,; (5) — Й„, — Й„, + Й;, (2) — Й„, + Й„, + Й;, (6) — Й„, + Й„, — Й;, (3) + Й„, — Й„, +Й,; (7) +Й„, — Й„, — Й;, (4) +Й„, +Й„, — Й;1 (8) — Ʉ— Й, — Й,.
Одинаковые по модулю векторы (с, соответствующие восьми приведенным выше комбинациям чисел й„, Фк и й„ располагаются в разных октантах. Векторы (1) н (8) имеют противоположные направления; то же самое относится к векторам (2) и (7), (3) и (6), а также (4) и (5). Векторы (!) и (2) симьгетричны относительно координатной плоскости уг, векторы (1) и (3) — относительно плоскости хг и т. д.
Каждая тройка чисел ть та и тс определяет возмонгиое значение волнового числа: йвчт,т,=)е,7с~пг~ а) +'(гпз ь ) +/(глз с ) ' По определению й = 2л/)..= ес/с. Следовательно, каждой тройке чисел лгь тс и тс соответствует возможное значение частоты стоячей волны м (или длины волны Х). асс Определим количество возможных частот е(Жа, попадающих в интервал Ас. Для этого возьмем прямоугольную систему координат с осями Ае, /св, /с, '..' ' '. '.К' .' ..' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
