physics_saveliev_3 (535941), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(рис. 161). Такую систему называют координатной системой ; '. ',-.-. -... л в й-пространстве. Каждой стоячей волне с данным значением /с будет соответствовать 'в уг, а-пространстве точка с коордн- Рас. !Ы натами, определяемыми условиями (52,5) (точки размещаются в октанте с положительными /еа, Ас, й,). Плот- л' аЬс ность этих точек в /г-пространстве равна 1: — =— ' аас л' (объем прямоугольного параллеленпледа с вершинами, помещающимися в соседних точках, равен М,Л/ссай, = л л л — — ° —; в пределы такого параллелепипеда попа- а Ь с ' дает одна точка).
Количество волн с//св, для которых модуль волнового вектора лежит в пределах от /с до й+Ы, равно количеству точек в Чв объема шарового слоя толщины с(/с (см. рис. 161): 9 и В. Свветев, е.!11 257 (У вЂ” объем полости). Произведя в (52.6) замену: Й = ы/с, ~Й = Ны/с, найдем число волн АЧ, частоты которых попадают в интервал от о до ы + ды: м' ев (52.7) Умножив (52.8) на среднюю энергию одного колебания, получим приходящуюся на интервал частот Им энергию излучения, заключенную в единице объема, т. е. и(в, Т)г)ы. Исходя из закона равнораспределения энергии по степеням свободы, Рэлей и Джинс приписали каждому колебанию энергию, равную яТ (см. выше). В этом случае мй и (а, Т) де = йТ г(п = —,, йТ г(а е у~з или я2 п(ы.
7) у э йТ (52.9) Перейдя от и(ы, Т) к г(ы, Т) по формуле (52.3), получим: ~(, Т)- 4„".', йТ. (52,(О) Выражение (52.(0), равно как и (52.9), называется формулой Рэлея — Джинса. Заметим, что функция (5230) удовлетворяет полученному Вином условию (5!.3). Формула Рэлея — Джинса удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн, и резко расходится с опытом для малых длин волн (см. рис. (62, на котором сплошной 25в Вдоль заданного направления могут распространяться две электромагнитные волны одинаковой частоты, отличающиеся направлением поляризации (поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях). Чтобы учесть это обстоятельство, нужно выражение (52.7) умножить на Два.
Число колебаний (52.7) пропорционально объему полости К Поэтому можно говорить о числе колебаний с(п„, приходящихся на единицу объема полости. Учтя оба направления поляризации, получим: М~ ~йд (52. 8) линией изображена экспериментальная кривая, пунктиром — кривая, построенная по формуле Рэлея— Джинса). Интегрирование выражения (52.9) нли (52.10) по си в пределах от 0 до со дает для равновесной плотности энергии и(Т) и для энергетической светимостн )с, бесконечно большие значения.. Этот результат, получивший ~ цт Ь. г У Е Л 4 ~ К 7 Ю Р Лист Рис.
!б2. название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливается при конечных значениях и(Т). $53. Формула Планка Вывод формулы Рэлея — Джинса с классической точки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической статистической физики и электродинамики.
В !900 г. Планку удалось найти вид функции )(си, Т), в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, зи 259 что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии е (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения: е=йю. (53.!) Коэффициент пропорциональности й получил впоследствии название п о с т о я н и о й П л а н к а '). Определенное из опыта значение равно: й = 1,054 10 дж сек = 1,054 1О эре сек. (53.2) В механике есть имегощая размерность «энергияХ Х время» величина, которая называется действием. Поэтому постоянную Планка иногда называют ква итом действия. Заметим, что размерность й совпадает с размерностью момента импульса.
Если излучение испускается порциями Ью, то его энергия е„должна быть кратной этой величине: е„=пйю (и=О, 1, 2, ...). (53.3) Согласно закону Больцмана вероятность Р„ того,что энергия излучения имеет величину е, определяется выра>некием: Р Ае- еп~эт А -пьчээт (53.4) Нормировочный множитель А можно найти, исходя из условия, что сумма всех Р„должна быть равна единице. Действительно, сумма Р„представляет собой вероятность того, что энергия имеет одно из возможных для нее значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет вероятность, равную единице. Итак, ~ Р„=А ~ е "'.
'эт 1 и-е ч э откуда Э Х -ланит е л о ') Собственно говоря, постоянной Планка й называют коэффициент пропорциональностй между е и частотой, е Ь» Постоянная а (а перечеркнутое) есть постоянная Плавка Ь, деленная на 2н. Чис. ленное значение постоянной Планка равно; й 662 ° !Очн дэт сек 6.62 ° 1Очо эрэ ° свк. 260 Подставив найденное значение А в формулу (53А), по- лучим: «ЫОГ Рп = Х -пииыг е п О а = — 1~~~ М„е„= — ~ НРпеп =- ~ Риеп (53.5) п-О и=о п О (ср.
с т. 1, формулой (!06.11)). Таким образом, среднее значение энергии излучения частоты ы определяется следующим выражением: ~ЧЗ ИГИОЕ-ие МГ и=о а= (53.6) — иОЧЪГ Х е п-О Чтобы произвести вычисления, обозначим йв1йТ = х и допустим, что величина х может изменяться, принимая непрерывный ряд значений.
Тогда выражение для а можно записать в виде: уе их ие п=.и е = йы "чп -их ,.е п=О йоО 1п е-п» (53 7) и О Выражение, стоящее под знаком логарифма, пред- ставляет собой сумму членов бесконечной геометриче- ской прогрессии с первым членом, равным единице, и 26! Предположим, что мы имеем возможность измерить значение энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени. Произведем через равные промежутки времени И очень большое число таких измерений М. Разделив сумму полученных значений на число измерений М, мы найдем среднее по времени значенне энергии й. При очень большом М количество измерений М„ которые дадут результат еи, будет равно ИР„.
Поэтому -! ! е-лх ! — е х л Е Подставив это значение суммы в (53.7) и выполнив дифференцирование, получим: И ! -х е= — ееэ — !п х =Ьа — „= ех ! — ех ! — ех е" — ! Наконец, заменив х его значением Ь!е!хТ, получим окончательное выражение для средней энергии излучения частоты ап вм х «хг (53.8) Заметим, что при л, стремящемся к нулю, формула (53.8) переходит в классическое выражение е = хТ.
В этом можно убедиться, положив ехеглт = 1+ лее(ИТ, что выполняется тем точнее, чем меньше е. Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было. бы равно хТ. Заменив в формуле Рэлея — Джинса ИТ выражением (53.8), получим формулу, найденную Планком: Эта формула, как уже отмечалось, точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до ео. Она удовлетворяет критерию Вина (51.3). При условии, что Ъа!йТ (( 1' (малые частоты или большие длины волн), ехы"т можно положить равным приближенно 1 + Бее!хТ, в результате чего формула (53.9) переходит в формулу Рэлея — Джинса.
Это следует также непосредственно из того, что при указанном условии выражение (53.8) приближенно равняется АТ. Осуществив преобразование по формуле (50.9), получим: знаменателем прогрессии, равным е-х. Так как знамена- тель меныпе единицы, прогрессия будет убывающей, и по известной из алгебры формуле На рис. 163 сопоставлены графики функций (53.9) и (53.!О); построенные для одной и той же температуры (5000'К). Масштабы по оси абсцисс логарифмические и выбраны так, что связанные соотношением Х = 2пс/м значения Х и ю совмещены друг с другом. Из рисунка видно, что частота м, соответствующая максимуму /(ы, Т), не совпадает с 2пс/)~, где Х вЂ” длина волны, отвечающая максимуму ~р(Х, Т), Для энергетической светимости абсолютно черного тела получается выражение: /7э ~ /(м~ 7) ~~~ 2 2 ЬЯхг 4х с е"~ — ! о а Введем вместо м безразмерную переменную х = = ба/яТ.
Подстановка м (й7/л)х, Ым = (хТ/л)г/х преобразует формулу для 17, к виду: о Определенный интеграл в последнем выражении может быть вычислен. Он равен п4/15 = б,5. Подставив его значение, мы придем к закону Стефана — Больцмана: (53.11) 60с'й' Подстановка в эту формулу численных значений Й, с и 5 дает для постояаной Стефана — Больцмана величину 5,6696 1О-' вт)м'град', очень' хорошо согласующуюся с экспериментальным значением (5!.2). В заключение найдем значение постоянной в законе смещения Вина (51.5). Для этого продифференцируем функцию (53.!0) по Л и приравияем получившееся выражение нулю: чф (Л, т) 4л Ьс !(2пвс/ИТЛ) етиас)ать — 5 (саламат" — 1)) О. оЛ Лв(еепас1еть 1)з Удовлетворяющие этому уравнению значения Л = 0 и Л = оо соответствуют минимумам функции ф(Л, Т).
Значение Л, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в числителе в квадратных скобках. Обозначив 2лйс)вТЛ = х, получим уравнение: хе' — 5 (ее — 1) = О. Решение ') этого трансцендентного уравнения дает х = 4,965. Следовательно, 2пвс)йТЛ = 4,965, откуда 2пйс Т) = =й. (53.12) Подстановка численных значений Ь, с и й дает для в величину 2,90 10' жк ° град, совпадающузо с экспериментальным значением (51.7).
Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения. 2 54. Оптическая пирометрия В соотношения (53.!0), (53.11) и (53.12) входит температура излучающего тела. Поэтому любое из них может быть использовано для определения температуры раскаленных тел. Соответствующие приборы называются о п т и ч е с к и м и п и р о м е т р а м и. Они подразделяются на три основные группы: !) радиационные, 2) яркостные и 3) цветовые пирометры.
') Резпение можно найти методом последовательпмк приближений. Замечая, что е' л 1, мозкно в первом приближении записать уравнение в виде: хе* — 5е* = О, откуда х = 5. Второе приближение получим из уравнения: хе' — 5(е' — !) = О, и т. д. 254 Радиациоиные пирометры. Схема радиационного пирометра показана на рис. 164. Прибор наводится на излучатель так, чтобы резкое изображение излучающей поверхности, даваемое объективом Об, полностью перекрывало приемник излучения Г)р. Контроль за этим осуществляется при помощи окуляра Ок.
В качестве приемника обычно применяется термостолбпк (см. рис. !7). По отклонению стрелки гальванометра Г можно су- г дить о температуре излучателя. Покажем, что это действительно так. Кроме энергетической светимости !с„ для характеристи- /7р ки излучающего тела можно ввести энергетическую Рис им я р к о с т ь В„аналогичную яркости В, определяемой выражением (6.9). Очевидно, что соотношения, существующие между световым потоком Ф, светимостью !с и яркостью В (см. $6), справедливы для потока энергии Ф„энергетической светимости !т',, и энергетической яркости В,.
В частности, согласно (6 11) для ламбертовского излучателя (54.!) Приняв во внимание (53.1!), получим для энергетической яркости абсолютно черного тела выражение: (54.2) В соответствии с формулой (6.10) поток энергии ЛФ„ излучаемый светящейся площадкой Ло в пределах телесного угла ЛЯ по направлению, образующему угол д с нормалью к площадке, равен ЛФэ — — Вэ йи 55 соз О. (54.3) (54.4) Пусть ЛВ' на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
