physics_saveliev_3 (535941), страница 37
Текст из файла (страница 37)
145,б1). Проекции на оси системы К скоростей шаров, до и после соударения имеют значения, приведенные в табл. 2. Легко видеть, что в систе- Это соотношение должно выполняться при любых значениях а и Ь. В частности, оно должно выполняться и при Ь, равном нулю. В этом случае соотношение (42.2) принимает вид 1у обращается в нуль вместе с Ь; см. формулы (42.1)): Подставив значение (42.!) для а, перепишем (42.3) следующим образом: (42;4) Это соотношение связывает массу шара, движущегося со скоростью (42.5) 1+ —, Р' с массой покоящегося шара то = л1(0), Перепишем равенство (42.5) следующим образом: с а' 1+— с~ Отсюда 2 — (1+ — ~ 1+ — =1+ а' !+в с' 2 — (1 — — ) 1 — 1 Р2 Р2 1+ — 1+ —.
Р' с' Перемножив эти равенства, получим, что откуда сс 1+— с' ! с' 1~ 1 —— Подставив это значение в формулу (42.4) и заменив обозначение величины скорости и' на и, придем к окончательной формуле: то (42.6) ! — — ' сс Здесь спс — инвариантная, т. е. одинаковая во всех инерциальных системах отсчета, величина, называемая м а ссой покоя данного тела; сп = т(о) — масса того же тела, которой оно обладает, двигаясь со скоростью о.
Величина т называется релятивистской массойй или просто массой тела. Формула (42.6) нам уже хорошо знакома. Напомним, что Томсон в опытах по определению удельного заряда электрона наблюдал изменение получаемых им значений е/и, происходившее в точном соответствии с формулой (42.6) [см. т. 11, $ 66[. Умножив (42.6) на скорость ч, получим релятивистское выражение для импульса материальной точки: гссс (42.7) При и « с выражение (42.7) переходит в классическое выражение для импульса р = пгсч, где ш,— постоянная величина.
Аналогично, все другие формулы релятивистской динамики переходят прн скоростях, много меньших скорости света в пустоте, в формулы классической механики. Одна из формулировок второго закона Ньютона гласит, что производная импульса материальной точки по времени равна действующей на тело силе [см. т. 1, формулу (22.3)[. В такой формулировке уравнение второго закона оказывается инвариантным относительно преобразований Лоренца, если под импульсом подразумевать 223 величину (42.7). Следовательно, релятивистское выра- жение второго закона Ньютона имеет вид: (42.8) где 4 — результирующая сил, действующих на тело. При переходе от одной системы отсчета к другой сила ( преобразуется по определенным законам.
Рассмотрение этих законов выходит за рамки нашего курса. Найдем релятивистское выражение для энергии материальной точки (для краткости будем называть ее частицей). Будем исходить из уравнения движения (42.8). Умножим его на чг(Г; Правая часть этого соотношения дает работу дА, совершаемую над частицей за время Ж. Из закона сохранения энергии следует, что работа, совершаемая над частицей, должна быть равна приращению энергии частицы г(Е.
Поэтому можно написать: Преобразуем правую часть этого выражения, помня, что 0' = У2, а о НО = ч((т; тдс'И ~ —,1 тот сЬ вЂ” 2(~ — ) Интегрирование полученного нами соотношения дает: Е = ='+сопя(. 02 1 —— с' Эйнштейн положил константу равной нулю. Прн этом условии для энергии частицы получается выражение: Е= м'а =тса (42.9) у' где т — релятивистская масса частицы. В случае, когда скорость частицы п = О, энергия принимает значение Еа = тас .
(42.10) Величина (42.!0) носит название э не р г и и покоя частицы. Эта энергия, очевидно, представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением частицы как целого. Кинетическую энергию частицы Т естественно определить как разность Е и Еа. Подставив значения (42.9) и (42.!0) этих величин, получим: т-в-я,-( "~ -~,')=~, ( ' -в). (42.11) В случае малых скоростей (о « с) эту формулу можно преобразовать следующим образом: а! ! ! а~ ! та а! Т = т,с )а ~ 2с' ) я — 1Х - "таса ! ! + — — — ! ! = ! — —— 2 а! Мы пришли к классическому выражению для кинетической энергии частицы.
В этом нет ничего удивительного — выше уже отмечалось, что при скоростях, много меньших скорости света, все формулы релятивистской механики переходят в формулы классической механики. Исключив из уравнений (42.7) и (42.9) скорость о !уравнение (42.7) нужно взять в скалярном виде), получим выражение энергии частицы череэ импульс р: Е = с ф'Ра+ тааса (42. 12) (классическое выражение имеет вид: Е = ра/2т).
Формулы (42.9) и (42.10) справедливы не только для элементарной частицы, но и для сложного тела, состоящего из. многих частиц. Энергия Еа покоящегося 3 и. В, Савааьев, т. !!! 225 тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра инерции тела) и энергию их взаимодействия друг с другом. В энергию покоя, как и в полную энергию (42.9), не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.
Из соотношения (42.9) вытекает, что энергия и масса тела всегда пропорциональны друг другу. Всякое ') изменение энергии тела ЛЕ сопровождается изменением массы тела Лт = ЛЕ/са и, наоборот, всякое изменение массы Лт сопровождается изменением энергии /тЕ = = селт. Это утверждение носит название з а к о н а взаимосвязи или закона пропорциональности м ассы и э перги и'). Отметим, что пропорциональность между релятивистской массой и энергией приводит к тому, что утверждение о сохранении суммарной релятивистской массы частиц представляет собой сказанное иными словами утверждение о сохранении суммарной полной энергии. В связи с этим в физике не принято говорить о законе сохранения релятивистской массы как об отдельном законе. Обратимся снова к неупругому соудареиию двух шаров (рис.. 145,а).
На первый взгляд может показаться, что записав закон сохранения импульса в системе К' в виде т(иД и'= 2т(и') и' (42.13) (где и'= — 2п/(1+ от/с'), а и' = — и) и взяв в качестве т(и') функцию (42.6), мы получим тождество. Однако нас ждет .разочарование. В самом деле, подставив и (42.13) функцию т(и') и соответствующие значения проекций скоростей, получим соотношение: ~ оо/(1 + о т/с»)~е пт г ьл — 2 ' ( и), (42.14) ') За исключениеи нэмепения потенциальной энергии ва внещнем поле сил.
а) Иногда говорят об эквивалентности масси н энергии, подрааумевая под этим их вэаимосвяэь и пропорциональность друг другу. Очевидно, что термин «пропорциональность» правильнее отражает существо дела, чем термин «эквивалентность». 226 которое после элементарных преобразований приобретает вид: ! ! у ! Х, У Таким образом, никакого тождества не получилось.
Причина нашей неудачи заключается в том, что мы без должных на то оснований полагали, что масса покоя Мь составного тела, возникающего после удара шаров, равна удвоенной массе покоя каждого шара в отдельности. В действительности внутренняя энергия составного тела больше суммы внутренних энергий шаров перед ударом (удар неупругий), а следовательно, и масса покоя Мо должна быть больше 2то (см. формулу (42.10)1.
Если не делать заранее никаких предположений относительно Мр, в правую часть уравнения (42.14) нужно вместо 2гпв подставить Мо. Тогда после преобразований мы придем к соотношениям Мо= ' =2т(и). !- — "' а' Заметим, что формула (42.15) следует непосредственно из закона сохранения энергии. В этом можно убедиться, умножив обе части формулы на сэ и приняв во внимание выражение (42.9). Итак, при неупругнх соударениях масса покоя образующегося составного тела не равна сумме масс покоя соударяющихся частиц.
При взаимодействиях частиц суммарная масса покоя не сохраняется, ГЛАВА ЧИ~ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ $ 43. Дисперсия света Дисперсией света называются явления, обусловленные зависимостью показателя преломления вещества от частоты (или длины) световой волны.
Эту зависимость можно охарактеризовать функцией и=7(А4) (43.!) где Аа †дли световой волны в вакууме, Первое экспериментальное исследование дисперсии света было выполнено Ньютоном в 1672 г. по способу преломления в стеклянной призме. «р Ф «р Ф б7 а б) аГ Рвс. !46. Характер дисперсии становится особенно наглядным, если применить метод скрещенных призм. Первая (вспомогательная) стеклянная. призма разворачивает пучок света вдоль одного, направления (см. пунктирную полосу на рис. 146,аиб). Вторая призма, изготовленная из исследуемого вещества, отклоняет каждый из лучей в з28 другом направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
