1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755), страница 15
Текст из файла (страница 15)
На каком расстоянии от сосуда произойдет фокусировка пучка?XРешениеdf = L2 / (n0 d).2. Плоскаяволнападает на тонкую собирающую или рассеивающуюXXA BA Bлинзу с радиусами кривизны R1 и R2 и показателем преломления n. Длина волны – λ, угол между волновымOOвектором и оптической осью линзы мал. Найти зависимость от X фазового сдвига, приобретаемого волной вDCD Cплоском слое ABCD, часть которого занята линзой.аπx2бРешение ∆ϕ = ± λf = ±kx2 / (2f ), где f – фокусное расстояние линзы:−1f= (n − 1) (1/R1 + 1/R2 ); знак «+» («–») для рассеивающей (фокусирующей) линзы.03. Найти, используя интеграл Кирхгофа (обобщенный принцип Гюйгенса), изображение предмета, расположенного на расстоянии a от тонкой линзы (фокусное расстояние f ; изображение получается с помощью параксиального пучка света на расстоянии b, удовлетворяющем формуле линзы 1/a + 1/b = 1/f ).РешениеРассмотрим задачу о получении изображения точки A, которая находится слеваот плоскости линзы на расстоянии a.
Найдем поле в плоскости линзы (перед линзой).2kE(xL , yL , 0) =2πizZZ½ µ¶¾(x − xp )2 + (y − yp )2E(S) exp i kz − ωt + kdxdy,2zSздесь z – расстояние от плоскости интегрирования (предмета) до линзы. В нашемслучае z = a, а поле E(S) в плоскости предмета E(S) = E0 S0 δ(x − xA )δ(y).Тогда после интегрирование по плоскости изображения получим½ µ¶¾2(xL − xA )2 + yLkS0E(xL , yL , 0) =E0 exp ik a +.2πia2aПоле в плоскости z = b определяется фазовым множителем линзы и интеграломКирхгофа по апертуре линзы.k ikbEb =e2πib½ZZE(xL , yL , 0) exp ikD(xL − xB )2 + (yL − yB )2−2b¾2x2 + yL−ik LdxL dyL2FПодставив выражение для E(xL , yL , 0), получимZZk 2 S0Eb = − 2 E0eiϕ(xL ,yL ) dxL dyL ,4π abDгде½22(xL − xA )2 + yL(xL − xB )2 + (yL − yB )2x2 + yLϕ(xL , yL ) = k (a + b) ++− L2a2b2Fϕ(xL , yL ) = k(a + b) − k · xLnxxB oyB k+− k · yL+abb2A½2x2B + yBx2+ Aba¾Квадратичные по xL и yL члены выражения взаимно сократились в связи с тождеством a1 + 1b = F1 .После вычисления интеграла по аппертуре линзы (считая линзу квадратной, ±D/2по обеим координатам), и вычисления квадрата модуля амплитуды, получим для интенсивности в плоскости z = bcIB =4πµk 2 S0 2D E04π 2 ab¶2 µ¶2 µ¶2sin Uxsin Uy··,UxUy¾.3гдеkD ³ xAxB ´kD yB+; Uy =·.2ab2bИз приведенного результата видно, что максимум интенсивности изображенияприходится на точку, в которой Ux = Uy = 0; xB0 = −xA /a ∗ b; yB0 = yA = 0,что соответствует законам геометрической оптики.
А «размытие» пятна точечногоисточника определяется соотношением Ux ∼ Uy ∼ π, что соответствует 4xB ∼λ4yB ∼ Db.Ux =4. Показать, что если предмет расположен в передней фокальной плоскости линзы, то распределение амплитуд поля в задней фокальной плоскости представляет собой фурье-образ функции пропускания предмета. Рассмотреть, что получится, еслипредмет расположен вплотную к линзе.5. Найти создаваемое линзой конечной апертуры изображение точечного источника, находящегося на оси линзы (ограничиться приближением Фраунгофера).J 2 (αD/λ), где I0 – интенсивРешение В плоскости изображения I (α) = I0 1 α2ность в апертуре линзы; D – ее диаметр; J1 – функция Бесселя.
Указание. Воспользоваться при вычислениях разложением из задачи 3.84.6. На длиннофокусную собирающую линзу с ирисовой диафрагмой падает параллельный пучок монохроматического света. На расстоянии a от линзы помещенэкран, на котором наблюдаются дифракционные кольца. При каких радиусах диафрагмы центр колец будет темным и при каких светлым, если фокусное расстояниелинзы равно f ? qРешение R = maλf|a−f | : светлые при нечетном и темный при четном m.7. Найти распределение интенсивности I по поверхности голограммы,полученной при перекрытии опорной плоской волныXX(n − 1)α(n − 1)α(попавшей на голограмму после прохождения тонкойλ αλ αпризмы с углом преломления α ¿ 1 и показателемZZпреломления n), и а) предметной сферической волны00от точечного источника, расположенного на расстояfнии f от голограммы; б)³плоской предметнойволны.´2б = A20 + A2 (x) + 2A0 A (x) cos βx + kx , где A0 (A (x))аРешениеа) I (x)2f– амплитуда опорной плоской (предметной сферической) волны, β = kα (n − 1);б) I (x) = A20 + A2 + 2A0 A cos kθx, где A0 (A) – амплитуда опорной плоской(предметнойплоской)волны,θ – угол между опорной и предметной волнами.48.
Найти пропускание T голограмм, полученных в предыдущей задаче (голограммы проявлены до коэффициента контрастности γ = −2, где T ∼ I −γ/2 ; считать,что при экспонировании голограмм интенсивность опорной волны была много больше интенсивности предметной волны). Найти волновое поле за голограммами в обоихслучаях при освещении ее нормально падающей плоской волной (той же длины волны).Решение а) Поле за голограммой:¢¡iU (x) ' A20 + A2 eikz + A0 Aeikz · e“”2βx+ kx2f+ A0 Aeikz·e“”2−i βx+ kx2f;первый член описывает плоский неотклоненный пучок, второй (третий) действует каккомбинация призмы, отклоняющей вверх (вниз), и рассеивающей (собирающей) линзы с фокусным расстоянием f , т.
е. описывает изображение предмета; б) Поле заголограммойU (x) = A0 aeikz + A0 ei(kz+θx) + A0 bei(kz−θx) ,где a = A20 + γ2 A2 , b = 2γA0 A; первый член описывает неотклоненный центральный пучок, а второй (третий) – пучок первого порядка, отклоненный на θ (−θ).9. Найти распределение интенсивности по поверхности голограммы, полученной при перекрытии плоского опорного и двух сфеГλ′рических предметных пучков (отверстия находятся вλплоскости призмы на расстоянии 2δ друг от друга).Голограммапроявлена до коэффициента контрастно2δсти γ = −2. Изображение восстанавливается с помоpщью точечного источника, размещенного на расстоянии p от голограммы и имеющего другую длину волбаны λ0 .
Найти волновое поле за голограммой и описать физический смысл получившихся выражений. Показать, что: а) действительное изображение находится на расλ0стоянии q от голограммы, таком, что p1 + 1q = λf; б) линейное увеличение равноq2∆M = 2δ = 1 + p .³´Решение U (x) = A20 + A2 1 + cos 2kxδ+f·+A0 Ae10.iβxeik(x−δ)22fГолограмму+eik(x+δ)22f¸−iβx+ A0 Aeэкспонировалипо·¸−ik(x−δ)2−ik(x+δ)22f2fe+e.схемеголографииФренеля.2hаλГfб5Гλ θОпорный угол – θ, расстояние от предмета с поперечнымразмером 2h до фотопластинки – l (см. рисунок а). Голограмму восстанавливают в лазерном пучке света, сфокусированном на расстоянии f от нее (см.
рисунок б). Найти расстояние от изображения до голограммы и его размер.Решение l0 = lf / (l + f ); увеличение равно l0 /l.11. Рассмотреть предыдущую задачу при восстановлении изображения с помощью расходящегося пучка света.Решение В ответе предыдущей задачи нужно сменить знак f .12. Голограмму экспонируют по схеме Френеля в пучке света длинойXволны λ, расходящемся в конусе с углом θ. Найти расnαλAстояние между изображениями двух точечных источниYBков A и B при восстановлении голограммы с помощью2θГплоского пучка.Решение См. ответ к задаче 3.117.13. Голограмма точечного источника S экспонируется по схеме Френеля.lРазрешение фотоматериала δ & λ (длины волны излучения). Какой минимальный размер фотопластинкиλSθнужно выбрать, чтобы зря не расходовать фотоматеZриалы и записать (с учетом конечного разрешения δ)максимальную информацию об объекте? Где при этомYXдолжен быть центр пластинки? Найти распределение плотности почернения по поверхности голограммы I(x, y).Решение R ≤ λl/δ.
Координаты³ 2центра´ пластинки: x = 0, y = l sin θ.√I (x, y)=I0 + α I0 cos2 kR=kl − ky sin θ и2l + ϕ , ϕ2R2 = x2 + (y − l sin θ) − l2 sin2 θ.14. Фурье-голограмму точечного предмета регистрируют на фотопластинке в пучке света длиной волны λ, а восстанавливают в пучке света длиной волны λ0 . Найтиизображение, если предмет и опорный пучок отстояли на расстоянии ∆. Рассмотретьбезлинзовый и линзовый варианты.Решение Указание. Опорное и «предметное» отверстия можно рассматриватькак интерференционную схему Юнга.615.
Голограмма Фурье точечного предмета при проявлении получила переменнуютолщину чувствительного слоя d(x) = d0−κx2 . Как изменится изображение предметапри восстановлении?Решение Изображение будет сфокусировано на расстоянии 1/(2 · κ) от голограммы.16. Сравнить разрешающие способности голограммы Френеля и Фурье (рассмотреть схемы, использованные в задачах 3.112 и 3.118).Решение Разрешающая способность голограммы Френеля ограничена зернистостью фотоэмульсии, а голограмма Фурье – полным размером голограммы.17. Голограмма получена при экспонировании толстослойной эмульсии (голограмма Денисюка), на которую под углом α падает опорный плоский пучок (длинаволны – λ), а под углами βi (i = 1, 2) – две «предметных» плоских волны.а) Под каким углом следует освещать голограмму при восстановлении? б) Каковапри этом разница между действительным и мнимым изображениями? в) Что будет, если при восстановлении голограмму освещать белым светом?Решение а) Голограмму следует освещать пучком, падающим под углом α (уголпадения опорного пучка); при этом восстанавливается полное мнимое изображение«предмета».
б) При освещении голограммы пучком под углом βi (один из «предметных» пучков) восстанавливается лишь часть действительного изображения предмета.Указание. Учесть, что голограмма Денисюка представляет собой системуhзеркальных³´iiслоев серебра фотоэмульсии, расстояние между которыми равно di = λ/ 2 sin α+β2для каждого из «предметных» пучков.18. Голограмма Денисюка (см. предыдущую задачу) экспонирована последовательно в свете трех лазеров (с разными λ). Найти изображение, полученное при восстановлении в белом свете.Решение Восстанавливается цветное изображение предмета.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
