1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Иными словами, предыдущая записьозначает, что3XΛi.k xk .(2)x0i =k=0Матрица обратного преобразования Λ(β)−1 = Λ(−β).Контравариантные компоненты некоторых 4-векторов:потенциал Ai = (ϕ, A1 , A2 , A3 ) = (ϕ, A);ток j i = (cρ, j 1 , j 2 , j 3 ) = (cρ, j);волновой вектор k i = ( ωc , k 1 , k 2 , k 3 ) = ( ωc , k);энергия-импульс pi = ( Ec , p1 , p2 , p3 ).Величинаgik1 0= 00000−1 00 0 −1 0 00 −1(3)называется метрическим тензором.

Контравариантные и ковариантные компонентыметрического вектора связаны соотношением−1g ik = gik = gik.Метрический тензор используется для поднятия и опускания индексаAi = gik Ak ; Ai = g ik Ak .118Скалярное произведение 2-х произвольных 4-векторов a и b естьab = gik ai bk = ak bk = ai bi = g ik ai bk .(4)Скалярное произведение инвариантно относительно преобразования Лоренца. Интервал2(ds) = gik dxi dxk = dxk · dxk .(5)pds = cdt 1 − β 2 = cdt/γ = cdτ,(6)где τ – собственное время.Эффект Доплера – преобразование частоты и угла:ω ωωki =, cos θ, sin θ, 0 ,cc 0 c 00ωω0i0 ω0k=,cos θ ,sin θ , 0 ,c cck0i=(7)Λi.k k k .Преобразование частотыАберрация1 − β cos θω 0 = γω(1 − β cos θ) = ω p1 − β2tg θ0 =sin θ.γ(cos θ − β)(8)(9)Продольный эффект Доплера:θ0 = 0 или θ0 = π ⇒ sin θ0 = sin θ = 0.ω 0 = ωγ (1 − β) = ωs1−β.1+βПоперечный эффект Доплера:θ0 = π/2, тогдаpωω0 = γ 1 − β2 ω = = ω 1 − β2.γ(10)(11)4-вектор скорости4ui =4Вdxi= γ (c, v) = γc(1, β).dτ(12)некоторых учебниках, в частности в «Теории поля» Ландау Л.Д.

при определении 4-вектора скоро`´iсти используется безразмерное определение ui = dx= γ 1, vc = γ(1, β).ds1196. Излучение релятивистской частицы4-вектор ускоренияduiduid2 xi=γ= γ 2 2 = γ 2 (0, a); ui ai = 0.dτdtdtСвободная релятивистская частица.2Импульс p = √mv 2 , энергия E = √mc 2 = γmc2 ,ai =1−β1−βE 2 = p 2 c2 + m 2 c4 .Заряженная релятивистская частица. Сила Лоренца(13)pE=vc2 ,dpq1 ∂A= qE + [vH], E = −∇ϕ −, H = rot A.(14)dtcc ∂tУравнение движения заряженной релятивистской частицы в электромагнитном поле вковариантном видеduiq= F ik uk .m(15)dscКонтравариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют видF ik =∂Ak∂Ai−.∂xi∂xkF ik – антисимметричный тензор, F ik = −F ki :0 −Ex −Ey Ex0−HzikF =Ey Hz0Ez −Hy HxПреобразование Лоренца для F ik :(16)−HzHy .−Hx 0F 0ik = Λi.m Λk.n F mn .(17)(18)Преобразование полейHxHyHz= Hx 0 ,= γ(Hy 0 − βEz 0 ),= γ(Hz 0 + βEy 0 ),ExEyEz= Ex 0 ,= γ(Ey 0 + βHz 0 ),= γ(Ez 0 − βHy 0 ).(19)Иногда эти формулы удобнее записать не в x − y − z координатах, а в терминахпараллельных (вектору скорости) и перпендикулярных компонент.

ТогдаEk = E0k , E⊥ = γ (E0⊥ − [β × H0⊥ ]) ,Hk = H0k , H⊥ = γ (H0⊥ + [β × E0⊥ ]) .Инварианты поля:1201. Fik F ik = −2E 2 + 2H 2 = inv ⇒ E 2 − H 2 = inv .2. Fik F˜ik = 4EH = inv ⇒ E · H = inv .Система уравнений Максвелла в вакууме в ковариантной форме :∂F ik4π= − j i.k∂xc(20)∂ F̃ ik= 0.∂xk(21)Излученный 4-импульс:Z2 e4∆p = −Fkl ul F km um dxi ,253m cв частности, излученная энергия2Z ∞ E + 1c [v × H] − c12 (Ev)22 e4∆E =dt.3 m2 c3 −∞1 − v 2 /c2i(22)(23)Торможение излучением нерелятивистской частицыF=−2 e2v̈,3 c3для ультрарелятивистской частицы2 e42βγ 2 |E⊥ + [β × H]| .3 m 2 c46.1. (Задача 5.1.) Оси координат двух инерциальных систем отсчета параллельны между собой, относительная скорость систем направлена вдоль оси X, и приt = t0 = 0 начала координат O и O0 совпадают.

Используя известные формулыпреобразования Лоренца координат и времени для этих систем, найти матрицу Λi.kiтакую, что x0 = Λi.k xk 5 .Решение В соответствии с правилами преобразования координат и времени припереходе из лабораторной системы координат в движущуюсяF=−βx,cx0 = γx − cγβt,t0 = γt −y 0 = y,z 0 = z,5 Иногда используется другое определение 4-вектора: x = (x , x , x , x ) ≡ (r, ict).

Мнимая1234i√единица i = −1, фигурирующая в определении компоненты x4 = ict, физического смысла не несети позволяет, используя стандартное определение скалярного произведения, получить правильные знакиполучающихся выражений. При этом необходимо иначе определить матрицу Λik .1216. Излучение релятивистской частицыгде введены условные обозначения1γ= p,1 − β2β=v.cЭти преобразования можно записать в матричном видеx0i = Λi.k xk ,т.е. ct0γ x0   −βγ 0 = y   0z00−βγγ000010если матрица Λ имеет видΛi.kγ −βγ= 00−βγγ0000100ct x0 0  y1z00 .0 16.2.

(Задача 5.2.) Используя матрицу Λi.k преобразований Лоренца, найденнуюв предыдущей задаче, записать формулы преобразования для следующих 4-векторов:P i = ( Ec , p) (4-вектор энергии-импульса), k i = ( ωc , k) (волновой 4-вектор), Ai =(ϕ, A) (4-вектор потенциала), j i = (cρ, j) (4-вектор плотности тока).Решение Любой из перечисленных далее векторовnε oPi =,p ,c onωki =,k ,cAi = {ϕ, A} ,j i = {cρ, j}преобразуется по правилуA0i = Λi.k Ak .При необходимости выразить компоненты вектора в лабораторной системе координат через компоненты вектора в собственной системе отсчета можно использоватьочевидное свойство матрицы ΛΛ−1 = Λ(−β),122т.е.A0 = γ A00 + βA01 ,A1 = γ βA00 + A01 ,A2 = A02 ,A3 = A03 ,где Ai – любой из данных векторов.6.3.

(Задача 5.4.) Точечный заряд q покоится в системе K 0 в точке r0 = (x0 , y 0 z 0 ).Система K 0 движется относительно K со скоростью v вдоль оси X. Найти: а) скалярный и векторный потенциалы в системе K; б) электрическое и магнитное поля,используя найденные значения потенциалов. Установить связь между значениями полей в системах K 0 и K.Решение В системе K заряд покоится и, следовательно, мы имеем кулоновскоестатическое поле, для которогоqqϕ0 = 0 = p, A0 = 0.02R(x + y 02 + z 02 )Преобразование потенциалов имеет вид  0 γ βγ 0 0ϕϕ Ax   βγ γ 0 0   0  , Ay  =  00 1 0  0 00 0 10Azт.е.ϕ = γϕ0 , Ax = βγϕ0 , Ay = Az = 0.При этом следует иметь в виду, что при переходе из одной системы координат в другую необходимо в функциональной зависимости подставить вместо независимых переменных {ct0 , r0 } преобразованные величины {ct, r}.

Тогда получаемqqqqϕ = γ 0 = γq= q= ∗,2 +z 22yRR2(x − vt) + γ 2γ 2 (x − vt) + y 2 + z 2qAx = β ∗ ,Rгдеy zR∗ = x − vt, ,,γ γsy2 + z 22∗R = (x − vt) +.γ21236. Излучение релятивистской частицыЭлектрическое поле в лабораторной системе координат выражается формулойE=−1 ∂A− ∇ϕ.c ∂t∂ϕ ∂R∗β ∂ϕ ∂R∗∂ϕ ∂R∗1 ∂Ax ∂R∗−=−−=∗ ∂t∗ ∂tc ∂R∂R∗ ∂xc∂R∂R∗ ∂x ∗∗∂ϕ β ∂R∂Rqβ 1 2 (x − vt)1 2 (x − vt)=− ∗+= ∗2(−v) +=∂R c ∂t∂xRc 2R∗2R∗q 1 qR∗= ∗2 ∗ (x − vt) 1 − β 2 = 2 x∗3 .R Rγ REx = −y∂ϕ ∂R∗γq=,∂R∗ ∂yγR∗3z∂ϕ ∂R∗γqEz = − ∗=,∂R ∂zγR∗3H = [β × E] .Ey = −6.4.

Используя закон преобразования 4-вектора {ω/c, k} найти формулы длярелятивистского эффекта Доплера.Решение Пусть источник покоится в лабораторной системе отсчета и излучает с частотой ω, а его волновой вектор имеет отличную от нуля компоненту kx =−ω/c в системе K, наблюдатель движется навстречу источнику со скоростью v вдольоси x (поэтому у вектора kx отрицательный знак. Тогда преобразование 4-вектора{ω/c, k} можно записать в виде ω 0 /cγ kx0   −βγ 0 = ky   00kz0−βγγ000010ω/c00   kx  .0  0 01Тогда получаемω0ωω= γ − βγkx = γ (1 + β) .cccПродольный эффект Доплера имеет нерелятивистский предел при β = v/cll1ω 0 ≈ ω (1 + β) .124Он наблюдается не только с электромагнитными волнами, но и, например, звуковыми.

Гудок движущегося навстречу наблюдателю паровоза имеет более высокую частоту, а при удалении от наблюдателя – более низкую. Рассмотрим теперь поперечныйэффект Доплера. При этом у источника kx = 0, ky ω/c. Тогдаω 0 = γω.Из полученного результата видно, что это эффект сугубо релятивистский, посколькупри разложении γ по степеням β мы получим квадратичную поправку.β2ω0 ≈ ω 1 +.26.5.

С какой скоростью должен ехать автомобилист, чтобы спутать красный светофор с зеленым (анекдот о Вуде)? Считать, что длина красного света λкр = 6, 6 ·10−7 м, а зеленого λзел = 5, 1 · 10−7 м.Решение В соответствие с предыдущей задачейω01=β= p.ω1 − β2Возводя в квадрат обе части уравнения и перенося члены с β в одну сторону, получим2β=(ω 0 /ω) − 12(ω 0 /ω)+1=0, 675≈ 0, 25.2, 675Таким образом Вуд (по его же собственному утверждению) ехал со скоростью v =0, 25 c ≈ 7, 5·104км/с и, следовательно, должен был быть оштрафован не за переездна красный свет, а за превышение скорости.1256. Излучение релятивистской частицыУрок XXIVИзлучение релятивистской частицы.

Синхротронное излучение6.6. (Задача 5.24.) Переходом из системы, где частица покоится, а ускорение еёa, в систему, где её скорость v ∼ c, получить формулу полного излучения 4-импульса:Z2 e4∆pi = −Fkl ul F km um dxi .253m cВ частности,2 e2∆E =3 c3или2 e4∆E =3 m 2 c3+∞Z+∞Z12c2 [v × a]dt2(1 − vc2 )3a2 −−∞{E + [ vc × H]}2 −1−−∞v2c212c2 (Ev)dt.Решение В системе координат, в которой частица покоится, дипольное излучениеприводит к изменению энергии и импульса, которые можно записать в виде классических уравнений.dE02 e2 2=a ,dt03 c3 0dp0= 0.dt0Здесь индексом "0"обозначены значения величин в собственной системе координатчастицы.

Производная от импульса равна нулю в силу симметрии излучения. Направим ось X вдоль скорости частицы и применим к полученным соотношениям правилапреобразования при переходе из системы координат в систему координат. Преобразование 4х-вектора из собственной системы координат в лабораторную запишем в виде dE    dE 0γ βγ 0 0cc dpx   βγ γ 0 0   0  · dpy  =  00 1 0   0 00 0 1dpz0ОтсюдаγvdE0 ,c2dE = γdE0 .dpx =126Вспоминая, что dt = γdt0 , получимdE0dE=,dtdt0dpv dE0= 2.dtc dt0Пусть движение (ускорение) частицы в собственной системе координат определяетсявнешним электрическим полем в этой же системе координат.a0 =eE0 ,mтак как скорость равна 0 и v × H0 = 0.E0 = E0k + E0⊥ = Ek + γ (E⊥ + [β × H]) ,где индексы k и ⊥ означает параллельность и перпендикулярность вектору v. Квадратускорения можно записать через компоненты электромагнитного поля в лабораторнойсистеме отсчета в видеoe2 n2a20 = 2 E2k + γ 2 (E⊥ + [β × H]) + γ 2 Ek2 − γ 2 Ek2 =m1 − γ2 2e2 222= 2 γ E + [β × H] + 2E⊥ · [β × H] +Ek =mγ2noe222= 2 γ 2 (E + [β × H]) − (βE) .mТаким образом, полная интенсивность излученияodEdE02 e4 2 n==γ (E + [β × H])2 − (βE)2 ,23dtdt03m cа полные потери энергии на излучениеZ no222∆E = re2 cγ 2(E + [β × H]) − (βE) dt.36.7.

(Задача 5.26.) Найти мгновенное угловое распределение интенсивности излучения dI/dΩ, полную мгновенную интенсивность излучения I и суммарную (повсем направлениям) скорость потери энергии (−dE/dt0 ) релятивистской частицы,скорость которой v параллельна её ускорению v̇ = w (в момент t0 = t− r/c). Показать, что ультрарелятивистская частица излучает главным образом внутри конуса суглом раствора θ ∼ 1/γ.Решение Поле релятивистской частицы, движущейся в лабораторной системе отсчета со скоростью v и ускорением w на больших расстояниях от нее (приближение1276.

Характеристики

Список файлов курсовой работы