1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Найти функцию пропускания голограммы при голографировании объекта, колеблющегося с амплитудой a и частотой ω, такой, что время экспозиции голограммыT À 2π/ω. Колебания происходят вдоль оси, перпендикулярной плоскости голограммы.Решение а) T (x) ∼ J02 (kαa), где α = x/l ¿ 1, l – расстояние до голограммы, J0 – функция Бесселя.
Указание. Записать «предметную» плоскую волну,отражающуюся от объекта в момент времени t.20. Предмет P (функция пропускания G0 (x, y)) находится в передней7ГD αCфокальной плоскости линзы C, расположенной в однойплоскости с призмой D (преломляющий угол α). Предмет и призма освещены плоским когерентным пучкомсвета. Найти функцию пропускания голограммы, расположенной в задней фокальной плоскости линзы (полуffчение фильтра, согласованного с предметом). Указание:использовать результаты задач 3.107 и 3.111.Решение T (x) ∼ g 2 + a0 geikθx + a0 g ∗ e−ikθx , где g(x) – Фурье-образ функции пропускания предмета G0 ; a0 – амплитуда опорной волны; θ – угол преломленияодного пучка призмой.P21.
В передней фокальной плоскости линзы C1 находится транспарант TC Mс функцией пропускания F0 (x0 , y0 ); в задней фокальнойSCплоскости этой линзы размещен фильтр S, согласованный с фрагментом G0 (x0 , y0 ) изображения на транспаранте (см. предыдущую задачу). Транспарант освещенffffплоскимкогерентнымпучком. Найти изображение в задней фокальной плоскостиобъектива C2 , расположенного так, что фильтр S находится в передней фокальнойплоскости этого объектива.Решение В плоскости M под соответствующим углом наблюдается изображениетранспаранта T ; на месте фрагмента G наблюдается светящаяся «точка», размер которой близок к размеру фрагмента.
Указание. Разделить функцию пропускания изпредыдущей задачи на искомый фрагмент и остальную часть.T21112222. Найти спектр пространственных частот при прохождении плоской волны длиной λ через фильтр с функцией пропускания T (x) = T0 + τ cos(κx), (T0 + τ .
1).Решение F (k) ∼ T0 δ (k)+ τ2 [δ (k + κ) + δ (k − κ)], т. е. после фильтра имеется неотклоненный пучок к два пучка, идущих под углами ±κλ/ (2π) к оси системы.23. Найти распределение интенсивности по экрану Э2 , если пропусканиеXтранспаранта T (x) = T0 + τ cos(κx), а раз21xλмер щели в экране Э1 d < κλf /π. Расстояdния между экранами, одинаковыми линзами 1и 2 и транспарантом равны фокусному расстоЭffffЭянию f линз.TРешение Экран равномерно освещен.01224. В установке, рассмотренной в предыдущей задаче, в качестве транспарантаиспользована полупрозрачная фотография, сделанная в снегопад. Каким должен быть8размер щели d, чтобы «убрать» изображение падающего снега в плоскости экранаЭ2 ? Чем определяется разрешение «исправленной» фотографии?Решение d < λf / (πa), где a – характерный размер изображения снежинки нафотографии, ∆xmin & a.
Указание. Изображение снега на фотографии в плоскостиэкрана Э1 описывается пространственной частотой κ ∼ 1/a.25. Разрешение «исправленной» фотографии при «очистке от снега» (см. предыдущую задачу) можно улучшить, если в плоскости транспаранта T поместить ещеодин транспарант с функцией пропускания T1 (x) = T00 + τ 0 cos(κ1 x0 ) , (τ 0 ¿T00 , τ1 + T 0 ≈ 1). Как нужно выбрать κ1 , чтобы добиться этого улучшения? Чемтеперь определяется разрешение?πdπd1Решение a1 − λf< κ1 < a1 + λf, ∆xmin ≈ |κ1 −1/a|< a. Указание.Фильтр T1 в плоскости экрана Э1 преобразует спектр пространственных частот:κ → ± (κ ± κ1 ), где κ – пространственная частота снега.26. В установке, рассмотренной в задаче 3.130, вместо транспаранта помещенарешетка из взаимно перпендикулярных нитей толщиной d и расстоянием a междуосями нитей.
Щель в экране Э1 параллельна одному из двух направлений нитей. Какбудет меняться изображение на экране Э2 по мере уменьшения размера щели? (ОпытАббе–Портера.)Решение Если d . λf / (πa), то изображение нитей, параллельных щели, исчезнет.15. ИЗЛУЧЕНИЕ5. ИЗЛУЧЕНИЕУрок 18Дипольное излучение При наличии токов и зарядов потенциалы электромагнитного поля удовлетворяют системе уравненийB = rot A,A(r, t) = −4πµj/c,E = − grad φ − 1c ∂A∂t ,φ(r, t) = −4πρ(r, t)/ε.(1)Калибровочное условиеdivA +εµ ∂φ= 0.c ∂tРешение приведенной выше системы неоднородных линейных уравнений есть суммаобщего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Определим это частное решение∫ j(x′ ,y′ ,z′ ,t− c R) ′ ′ ′µdx dy dz ,cR∫ ρ(x′ ,y′ ,z′ ,t− √cεµ R) ′ ′ ′1dx dy dz ,εR√A(x, y, z, t)=φ(x, y, z, t)=εµ(2)]1/2[где R = (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 + (z − z ′ )2.Пусть система зарядов находится в ограниченной области вокруг точки О(см. рис.) и r вектор в какой нибудь из зарядов. Пас интересует поO rле в точке на расстоянии R0 ≫ r много большем характерного размера этой области. Тогда можно записать R = |R0 −r| ≈ R0 −nr.Подставив это приближение в (2), можно записать приближенныеR0выражения для скалярного и векторного потенциалаR∫1φ=ρt− R0 + rn dV,ccR0∫1A=jt− R0 + rn dV.cccR0P - ТочканаблюденияЕсли поле можно рассматривать как плоскую волну (для этого необходимо не толькоR0 ≫ r, но и R0 ≫ λ), то это волновая зона и для нее справедливы соотношенияплоской волны]] ]1[1 [[H=Ȧn , E =Ȧn n .ccВременным запаздыванием rn/c можно пренебречь, если распределение зарядов заэто время мало меняется.
Пусть T –характерное время изменения распределения заряда. Излучение будет обладать этим же периодом (ω ∼ 1/T ), a– характерный2размер системы, т.е. rn/c ∼ a/c. Требуется чтобы система изменялась малоa≪ T, a ≪ cT, a ≪ λ, T ∼ a/v, λ ∼ ca/v, → v ≪ c.cВ волновой зоне∫1jt′ dV, j = ρv, t′ = t − R0 /c.A=cR0Для системы дискретных зарядов∑1 ∑d ∑A=ev,ev =er = ḋ, все при t′ .cR0dtОкончательно получаем расчетные формулы для дипольного приближения11 [ ]1 [[ ] ]A=ḋ, H = 2d̈n , E = 2d̈n n .cR0c R0c R05.1.
(Задача 4.7.) Найти: а) угловое распределение интенсивности излучения dIdθот диполя; б) полное излучение dEdt от дипольного излучателя.РешениеИнтенсивность излучения в телесный угол dΩ определяется как количество энергии, протекающее в единицу времени через элемент площади df = R02 dΩ. Потокэнергии определяется вектором ПойнтингаS=ccH2[EH] =[[Hn]H] = cn.4π4π4πТогда интенсивностьdI = c1 [ ]2H2 2R0 dΩ =d̈n dΩ.4π4πc3Выбирая ось z вдоль направления d̈, можно записатьdI =d̈2d̈2sin2 θdΩ =sin3 θ2πdθ.34πc4πc3Или другими словамиdIsin3 θ=dθ2c3 ()2d̈ t − R0 .c Поскольку полный поток энергии (во все стороны) равен изменению энергии системы∫πdE−1 22 |d̈|2= −I = 3 |d̈|sin2 θd cos θ = −.dt2c3 c3035. ИЗЛУЧЕНИЕ5.2.
(Задача 4.9.) Заряд движется с малой скоростью v и ускорением v̇ в ограниченной области размера a. Найти электромагнитное поле частицы в точках, расстояние до которых r ≫ a. Определить границы квазистационарной и волновой зон.Решение Точное выражение для потенциалов одиночного движущегося заряда(потенциалы Лиенара-Вихерта, см., например, Мешков, Чириков, часть 2, стр. 119)имеет вид1evφ(r, t) =, A=φR 1 − vRc.cRТогда электрическое и магнитное поля выражаются следующим образом()2[ [(e · 1 − vc2 (v )ev ) ]]E= (R−R+RR−R v̇)()33ccR − Rvc2 R − Rvcc1[RE]RНерелятивистское приближение (с точностью до членов vc )H=({[ [ v ]]}ev )e)()E= ( 3R−R+[R[Rv̇]]−RRv̇=ccR − 3R2 Rvc2 R3 − 3R2 Rvcce vc Ree R [ [ v ]]e[R [Rv̇]])()=( 3R−−v̇ =+RR3c2 R3 − 3R2 Rvc2 R 3cR − 3R2 Rvcc()eRRve ve [R [Rv̇]] = 3 1+3− 2 + 2t′ =t−R/c .RRcR ccR3Тогда магнитное поле определяется по формулеH=1e [Rv] e [v̇R] [RE] = − 3+ 2 2 t′ =t−R/c .RRcc RГраница между квазистационарной (ближней) и волновой зонами определяется изусловия Re2 ≃ c2eRv̇ гр .гр5.3.
(Задача 4.9.) Найти угловое распределениерассмотренного в предыдущей задаче.Решение В волновой зонеS=cdIdΩи полное излучение заряда,H2e2n=[v̇n]2 n.4π4πc3 R24dI = Sndσ =e22[v̇n] dΩ,4πc3где n – орт в направлении излучения.∫∫e2e2 22 e2 232I=2πv̇sinθdθ=v̇sin3 θdθ =v̇ .334πc2c3 c35.4. (Задача 4.16.) На высоте h над проводящим полупространством на пружинкеkqhс жесткостью k подвешено тело с зарядом q. Найти интенсивность излучения как функцию высоты h при малых колебаниях заряженного малого тела массой m.()22 2q2kРешение I = 83 q ca3 m− 2mh, где a – амплитуда малых колебаний. Ука3зание. Рассмотреть движение заряженного тела под действием притяжения со стороны изображения и возвращающей силы упругости пружины.5.5.
(Задача 4.17.) Расстояние между двумя соприкасающимися концентрическими тонкими металлическими дисками радиуса R, помещенEными в однородное электрическое поле E, изменяется по заxкону x = a(1 − cos ωt), E параллельно оси дисков. Найти среднюю интенсивность дипольного излучения системы.EСчитать, что a ≪ R.Решение При движении металлических дисков на них наводится заряд такой,чтобы поле между дисками было равно 0. Это дает условие для определения зарядана каждом из дисков:→→4πσ = E, откуда Q = R2 πσ =ER2.4Дипольный момент системы d = Qx, а вторая производная d¨ = Qẍ.
Среднее (попериоду) от квадрата второй производной дипольного момента запишется в виде 21 ¨2d = Q2 |ẍ| = Q2 a2 ω 4 .2Тогда средняя интенсивность излученияI=2 ¨2d = E 2 R4 a2 ω 4 /48c3 .3c355. ИЗЛУЧЕНИЕ5.6. (Задача 4.18.) Найти электромагнитное поле, угловое распределение и полную интенсивность, а также исследовать поляризацию при равномерном движении поокружности радиуса a с частотой ω нерелятивистской частицы заряда q (v ≪ c).Решение Пусть частица вращается в плоскости X − Y , а направление на точкуZeнаблюдения поля выберем в плоскости Y − Z.
Этоне сужает полученное решение, потому что итоговоеeθθрешение (средняя интенсивность) не может зависетьR eφот выбора угла φ. Что касается поляризации, то ее хаnрактер тоже вряд ли зависит от этого угла. Впрочем,Yr0 θ’qэто лучше проверить потом. Вторую производную отXдипольного момента d = qr0 вращающейся частицыможно записать в видеRd̈x = −ω 2 qa cos ωt′d̈y = −ω 2 qa sin ωt′d̈z = 0Тогда интенсивность излучения в телесный угол dΩ определяется равенствомdI[d̈n]2q 2 ω 4 a2==sin2 θ′ (t′ ).dΩ4πc34πc3Теперь главная проблема - вычислить угол θ′ . Для этого рассмотрим скалярное произведениеr0 nr0y ny= cos θ′ == sin θ sin ωt′ ,r0r0откудаsin2 θ′ = 1 − cos2 θ′ = 1 − sin2 θ sin2 ωt′ .Окончательно, для средней интенсивности можно записать) q 2 ω 4 a2 () q 2 ω 4 a2 ()dIq 2 ω 4 a2 (1 − sin2 θ sin2 ωt′ ==2 − sin2 θ =1 + cos2 θ .333dΩ4πc8πc8πcДля вычисления полной средней интенсивности необходимо взять интеграл∫()161 + cos2 θ dφ sin θdθ =π.3Окончательно получаемI=2 q 2 a2 ω 4.3 c36Для определения поляризации необходимо найти значение поля (лучше E, но можнои H).
Обычно все утверждения относительно поляризации делаются относительно E,но поскольку в каждый момент времени в вакууме E = H, и только они повернуты впространстве друг относительно друга на π/2, то надо это учесть при окончательномвыводе. Итак, магнитное поле в нашем случае выражается формулойH=или, в координатной записи ijH = d¨x d¨y 0 nyk0nz1c2 R[d̈n], {} = d¨y nz i − d¨x nz j + d¨x ny k .Подставляя вычисленные ранее значения d̈, получим для компонент магнитного поляHx = − qω 2 a sin ωt′ cos θ,Hy =qω 2 a cos ωt′ cos θ,Hz = − qω 2 a cos ωt′ sin θ.Для определения поляризации необходимо вычислить магнитное поле в локальнойсферической системе координат, т.е. найти компоненты HR , Hθ , Hφ , что легко сделать в выбранной системе координат (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
