1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Показать, следуя И. Померанчуку, что оставшаяся послепролета через поле энергия ультрарелятивистской заряженной частицы не может превышать Eкрит, где5.3Решение типичных задач1Eкрит=2 1e2 2(243 m c mc2 )181+∞R (Ey − Hz )2 + (Ez + Hy )2 dx.−∞5.56. Какую максимальную энергию может излучить ультрарелятивистская частица, пройдя область однородного магнитного поля?5.3.Решение типичных задачРешения этих задач взяты нами из статьи И.Б.Хрипловича «Synchrotron Radiation Without Special Functions» в Сибирском физическомжурнале, 1995, №3, сохранив по возможности стиль этой на нашвзгляд весьма поучительной статьи. Мы решили также не переводитьее на русский язык, надеясь, что чтение физического текста на английском языке будет полезно нашим студентам.The synchrotron radiation (SR), i.e.
the radiation of a charged particlein an external magnetic field, is discussed in numerous textbooks, some ofthem being truly excellent. However, as a rule, the essential features of theultrarelativistic SR are derived in a rather formal, mathematical way, thetreatment lacking the intuitive, physical element. The aim of the presentarticle is to fill in this gap. It justifies perhaps the publication, though anessential part of the paper is in fact a kind of folklore, well-known at leastamong my colleagues at the Budker Institute of Nuclear Physics.Р.51. We will start with the total intensity of radiation. In the comoving(with electron) inertial frame (CIF) it ise42(1)I ∼ e (a ) ∼ 2 (E 0) .mHere e and m are the electron charge and mass, a is its acceleration, E isthe electric field strength; I, a and E are supplied with primes to indicatethat they refer to the CIF. E 0 is obtained from the laboratory frame (LF)magnetic field B by the Lorentz transformation020 2E 0 ∼ Bγ,(2)1825ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫwhereγ=p1.(1 − v 2)Here and below we use the units where the velocity of light c = 1, and omitin our qualitative treatment numerical factors.Let us recall now that I is an invariant.
Rather unusual demonstration ofthis fact is as follows. The radiation intensity is obviously expressed throughthe emission probability W and the photon energy ~ω asI = W ~ω.Then, the probability W in the laboratory frame is related to that in theCIF, W , in the following way:W = W 0/γ.(just recall that the life-time of an unstable particle in the LF is γ timeslarger than that in the CIF). On the other hand, it is well-known thatω = ω 0γ.Therefore, indeedI = I 0.Now, substituting into formula (P.51.1) expression (P.51.2) for the CIFelectric field E 0, we obtain the well-known result:e4 2 2I ∼ 2B γ .(3)mIf instead of the magnetic field B, we fix the curvature radius r0 of theelectron trajectory, related to В aseB = mγ/r0,the expression for the total intensity becomese2γ 4I∼ 2.r0(4)5.3Решение типичных задач183Р.52. Let us go over to the radiation angular distribution.
In the CIF itis a simple dipole one, mere trigonometry. In other, words, typical-angles inthe CIF areθ0 = kt0/kl 0 ∼ 1.0Here kt(l)is the transverse (longitudinal) component of the photon wavevector. In the LF those components are:kt = kt0 ,kl = kl0γTherefore, in the LF ultrarelativistic electron radiates into a cone with thecharacteristic angleθc ∼ kt/kl ∼ γ −1.(1)Р.53. An observer receives the radiation only while staying inside theradiation cone which rotates together with the electron.
Then a simple consideration demonstrates that the electron radiates at the observer only froma trajectory arc of the same angular size as the cone itself. In the presentcase it means that the size of the arc is θc ∼ γ −1. In other words, theradiation formation length which coincides in our ultrarelativistic problem(v ∼ c = 1) with the radiation formation time, is∆t ∼ r0θc ∼ r0γ −1.(1)Then the duration of the signal receiving is, taking into account the longitudinalDoppler effect,δt = (1 − ~n~v )∆t ∼ (θ2 + γ −2)∆t,where ~n = ~k/k.
At θ ∼ θc ∼ γ −1 we obtainδtc ∼ r0γ −3.(2)1845ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫIt means that the characteristic radiation frequency is γ 3 larger than theelectron revolution frequency ω0:3 −13ωc ∼ δt−1c ∼ γ r0 ∼ γ ω0 .(3)Р.54. We turn now to the spectral distribution of the synchrotron radiation.Its intensity falls off rapidly at ω >> ωs. Let us assume for it a power lawat ω << ωc:I(ω) ∼ ω ν .Then, comparing the total intensity as given by the integralZ ωcdωI(ω) ∼ ωcν+1 ∼ γ 3(ν+1)with formula (P.51.4), we obtain ν = 1/3. In other words,I(ω) ∼ ω 1/3 at ω ≤ ωc,(1)In ∼ n1/3 at n ≤ γ 3,(2)orfor the discrete spectrum.Р.55. And at last we will find characteristic radiation angles θ for thespectral regionω0 << ω << ωc, or 1 << n << γ 3.One may expect here that theta is larger than γ −1.
Now, with a radiationcone of the angle θ << 1, the electron radiates at the observer only from atrajectory arc of the same angular size θ. Then relation (P.53.2) transformstoδt ∼ ω −1 ∼ θ2∆t ∼ θ3r0 ∼ θ3ω0−1.(1)Thereforeθ ∼ (ω/ω0)−1/3 ∼ n−1/3.(2)5.3Решение типичных задач185In conclusion let us emphasize that the results obtained apply to the classicalradiation not only at the finite motion of an ultrarelativistic particle in magneticfield, but in the more general case as well, that of scattering in externalelectromagnetic fields, if the deflection angle exceeds γ −1.1861КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ1.КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН1.2. В момент t фронт волны, испущенной в момент t0, описываетсяуравнением 2eE 022x−t+ y 2 + z 2 = c2 (t − t0) ,2mгде x – расстояние, пройденное электроном (движущимся вдоль осиX от начальной точки x = 0) за время t0.1.3.
E ' 7, 2 В/см; H ' 2, 4 · 10−2 эрстед.~ 0 = Ex cos(ωt−~k~r +ϕ)~e0 , E~ 0 = Ey sin(ωt−~k~r +ϕ)~e0 , где1.6. E10x02yсистема ортов ~ex, ~ey повернута относительно заданной системы ~ex, ~eycos χ. Амплитуды Ex и Ey волн равнына угол β, такой, что tg2β = 2ab2(a −b2)Ex = a cos β + beiχ sin β; Ey = a sin β − beiχ cos β1.7. При Eл = Eп поляризация линейная; Eл < Eп – эллиптическая правая; Eл > Eп – эллиптическая левая; Eл = 0 – круговаяправая; Eп = 0 – круговая левая.1.8. IN = I0 cos2N α, I50 ' 0, 95 I0.~ или ω = ω01.9. ω = γω 0(1 + ~n0β)~k = γ(~k 0 + β~ ω0 ) +c;~γ(1−~nβ)~kγ−1,где~n=n0~ β]~k, ~β 2 [[~k 0 ×β]×~0= kk , k = ωc , k 0 =ω0c.1.10.
v ' 7, 5 · 104 км/с.1.11. Если ω0 – частота в системе, где источник покоится, а β– скорость источника относительноприемника, то приемник зарегиpстрирует частоту ω = ω0 1 − β 2 («красное смещение»). В системе,связанной с источником, луч распространяется под углом θ к направлению движения источника, таким, что cos θ = −β.1871.12. a) λ = λ01.13. n =p∆ν/ν0βp(1 − β)/(1 + β); б)λ = λ0 (1 + β)/(1 − β).' 0, 5.0 2I0exp[−( ν−νδ/2 ) ],ν0cp1.14. I(ν) =2RT /µ. Здесь µ –где δ/2 =молярная масса газа, R – газовая постоянная.√1−β 2(1−β 2 )3/21.15. ω = ω0 1−β cos θ , I = I0 (1−β; ω = ω0 при θ0, таком,cos θ)2pчто cos θ0 = β1 (1 −1 − β 2). В угле 0 ≤ θ ≤ θ0N1 = 2πI0(1 − β 2)1/2(1 + cos θ0) и в угле θ0 ≤ θ ≤ πN2 = 2πI0(1 − β 2)1/2(1 − cos θ0).√4nn−1 21.17. R = n+1 , D = (n+1)εµ – показатель пре2 , где n =ломления среды.1.19.
tg β ∗ =√(cos α·n2 tg βn2 −sin2 α+sin2 α)2.1.20. a = nλ4 2 , где n = 1, 2, ...; λ2 – длина волны в среде 2. Отра√жение отсутствует при ε2 = ε1ε3.21.21. R ' π 2(n2 − 1)2 λd2 .1.22. Для E⊥ – волны (1 – отраженная, 2 – преломленная; индексы ⊥ и k относятся к перпендикулярным и параллельным компонентам поля, лежащим в плоскостипадения волны):√cos ϕ− n2 −sin2 ϕ ⊥⊥√E1⊥ = sin(ψ−ϕ)E=E0 ;sin(ψ+ϕ) 02cos ϕ+E2⊥ =2 sin ψ cos ϕ ⊥sin(ψ+ϕ) E0n2 −sin ϕ2√cos ϕ⊥E.0cos ϕ+ n2 −sin2 ϕ√n2 −sin2 ϕ−n2 cos ϕ kkktg(ψ−ϕ)√Для Ek-волны: E1 = tg(ψ+ϕ) E0 =E0 ;222=n −sin ϕ+n cos ϕkkk2 sin ψ cos ϕ2n√cos ϕE2 = sin(ψ+ϕ)E=E.
В этих формулах00cos(ψ−ϕ)n2 cos ϕ+ n2 −sin2 ϕϕ – угол преломления (sin ψ = sinn ϕ ). Коэффициенты отражения R 2 2E12и прохождения T равны соответственно R = E0 , T = n E,E0при этом R +Tcos ψcos ϕ= 1, где косинусы учитывают сечения пучков.1881КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН1.23. При ϕ = ϕБр, где угол Брюстера определяется соотношениемtg ϕБр = nn12 (волна падает из среды 1).kk1.24.
Сдвига фаз δ⊥ и δk между E1⊥, E0⊥ и E1 , E0 определяютсяизtgδ⊥2p=2sin ϕ −cos ϕn2 p 2δksin ϕ − n2и tg=.2n cos ϕkВолна эллиптически поляризована. При E0⊥ = E0 и δk − δ⊥ = π2волна поляризована по кругу; последнее возможно, если 2n ≤ 1 − n2,где n . 0, 414. 2 hi−1pE222α2 −k 2 2ω1.25. T = E0 = ch αa + ( 2αk ) sh αa; α = c ε sin2 ϕ − 1,k = ωεc cos ϕ.1.26. В обозначениях задачи 1.22:для отраженной волныpp2−ε cos ϕ + εµ − sin2 ϕ kµ cos ϕ − εµ − sin ϕ ⊥k⊥ppE0 и E1 =E0 ;E1 =22µ cos ϕ + εµ − sin ϕε cos ϕ + εµ − sin ϕдля преломленной волны√2µ cos ϕ2µcosϕkkppE2⊥ =E0⊥ и E2 = √E0 .µ cos ϕ + εµ − sin2 ϕε cos ϕ + µ − sin2 ϕЗдесь µ = µ2/µ1, ε = ε2/ε1.1.27. ∆ = (rq − r⊥)/(1 − rq · r⊥).21.28. T = 1/(1 + 2πσc ) , (ε = µ = 1 всюду!).
2 1/3R∞3Au(z − z1),1.29. E(ξ) = √π 0 cos( 3 − uξ)du, где ξ = cω2z1ω2,4πe2 N0 /m(z1 =так что ε = 1 − z/z1).AДля ξ 1 E (ξ) = ξ 1/4sin 23 ξ 3/2 + π4 , а для ξ −13/4A2E (ξ) = 1/4 exp − 3 |ξ|.2|ξ|1891.30. а) sin ϕ/ sin ψ = n2/n1 (свет падает под углом ϕ из сре11−1ды с показателем преломления n1); б) f = (n − 1) R1 − R2 иf = R/2 для сферического зеркала.1.31. 2) В соответствии с обозначениями на рисунке кзадачеd(n−1)211−1h1,2 = ∓ f (n−1)d,f=f=f,f=(n−1)−+12nR2,1R1R2nR1 R2 .1.32. d =nn−11.33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
