1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 24
Текст из файла (страница 24)
при определении 4-вектораdxi~vi~скорости используется безразмерное определение u = ds = γ 1, c = γ(1, β).1694-вектор ускорения2 iduiduii2d x2ia ==γ=γ=γ(0,~a);ua= 0.(13)idτdtdt2Свободная релятивистская частица.2Импульс p~ = √m~v 2 , энергия E = √mc 2 = γmc2, Ep~ = c~v2 ,1−β22 21−β2 4E =p c +m c .Заряженная релятивистская частица. Сила Лоренца~d~pq ~1 ∂A~~~ = rot A.~= q E + [~v H], E = −∇ϕ −, H(14)dtcc ∂tУравнение движения заряженной релятивистской частицы в электромагнитном поле в ковариантном видеdui q ik= F uk .(15)mdscКонтравариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид∂Ak ∂Aiik−.(16)F =∂xi∂xkF ik – антисимметричный тензор, F ik = −F ki :0 −Ex −Ey −Hz Ex 0 −Hz Hy ikF =(17).0 −Hx Ey HzEz −Hy Hx0Преобразование Лоренца для F ik :F 0ik = Λi.mΛk.nF mn.Преобразование полейHx = Hx 0 ,Ex = Ex0,Hy = γ(Hy 0 − βEz 0), Ey = γ(Ey 0 + βHz 0),Hz = γ(Hz 0 + βEy 0), Ez = γ(Ez 0 − βHy 0).Инварианты поля:(18)1705ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ1.
Fik F ik = −2E 2 + 2H 2 = inv ⇒ E 2 − H 2 = inv .~H~ = inv ⇒ E~ ·H~ = inv .2. Fik F˜ik = 4EСистема уравнений Максвелла в вакууме в ковариантной форме :∂F ik4π i=−j.(19)∂xkc∂ F̃ ik= 0.∂xkИзлученный 4-импульс:4 Z km i2el∆pi = −FuF um dx ,kl3 m 2 c5в частности, излученная энергияno21Z~~~ v )2∞ E + [~− c12 (E~c v × H]2 e4dt.∆E =3 m2c3 −∞1 − v 2/c2Торможение излучением нерелятивистской частицы22eF~ = − 3 ~v¨,3cдля ультрарелятивистской частицы24e22 ~~ × H]~ .E+[ββγF~ = −⊥3 m2 c45.1.(20)(21)(22)Преобразование полей.
Инварианты поля5.1. Оси координат двух инерциальных систем отсчета параллельны между собой, относительная скорость систем направлена вдоль осиX, и при t = t0 = 0 начала координат O и O0 совпадают. Используя известные формулы преобразования Лоренца координат и времени для этих систем, найти матрицу Λi.k такую, что x0i = Λi.k xk6.Иногда используетсядругое определение 4-вектора: xi = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ≡ (~r, ict). Мнимая√единица i = −1, фигурирующая в определении компоненты x4 = ict, физического смысла ненесет и позволяет, используя стандартное определение скалярного произведения, получить правильные знаки получающихся выражений. При этом необходимо иначе определить матрицу Λik .65.1Преобразование полей.
Инварианты поля1715.2. Используя матрицу Λi.k преобразований Лоренца, найденнуюв предыдущей задаче, записать формулы преобразования для следующих 4-векторов: pi = ( Ec , p~) (4-вектор энергии-импульса),~ (4-вектор потенциk i = ( ωc , ~k) (волновой 4-вектор), Ai = (ϕ, A)ала), j i = (cρ, ~j) (4-вектор плотности тока).5.3. Найти величину следующих инвариантов и физический смыслнекоторых из них: p2 = pipi; k 2 = kik i; j 2 = j k jk ; x2 = xk xk ; pixi;k i x i ; Ai j i .5.4. Точечный заряд q покоится в системе K 0 в точке ~r0 = (x0, y 0z 0).Система K 0 движется относительно K со скоростью ~v вдоль оси X.Найти: а) скалярный и векторный потенциалы в системе K; б) электрическое и магнитное поля, используя найденные значения потенциалов. Установить связь между значениями полей в системах K 0 и K.5.5. а) Свет частоты ω0 падает по нормали к поверхности плоскости зеркала, движущегося со скоростью ~v в направлении падающегосвета.
Найти частоту отраженного света. б) Свет падает под углом θ кнормали зеркала, движущегося в направлении этой нормали со скоростью ~v (зеркало «уходит» от падающего света). Найти угол отражения.5.6. Записать формулы преобразования Лоренца для произволь~ если направление относительной скороного 4-вектора Ai = (A0, A),сти ~v систем отсчета произвольно.5.7. 4-тензором второго ранга называется совокупность 16 величин F ik , преобразующихся при переходе из одной системы отсчета в другую как произведения соответствующих компонент 4-вектораAi, Ak , т.е.
по правилу F 0ik = Λi.mΛk.nF mn. а) Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется 4-тензор второго ранга при пространственных поворотах; б) показать, что компоненты антисимметричноготензора второго ранга (т. е. тензора, компоненты которого обладают1725ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫсвойством F ik = −F ki) преобразуются при пространственных поворотах как компоненты двух независимых трехмерных векторов.~ и магнитного5.8. Используя выражения для электрического E~ полей через компоненты 4-вектора потенциала Ai = (ϕ, A),~ найтиHкомпоненты 4-тензора электромагнитного поля.ik4π i5.9.
Показать, что уравнение ∂F=kc j соответствует урав∂x~ = 4πρ, а уравнение~ = 4π~j + 1 ∂ E~ , div Eнениям Максвелла rot Hcc ∂t~∂ F̃ ik1 ∂H~~ = 0.=0.–уравнениямrotE=−и div Hk∂xc ∂t5.10. Исходя из определения 4-тензора второго ранга (задача5.7), показать, что при переходе из одной инерциальной системы от~ и H,~ являющиеся компонентасчета в другую компоненты полей Eми 4-тензора электромагнитного поля, преобразуются по формулам0~k = H~ k0, E~⊥ = γ(E~⊥0 − [β~ × H~⊥0]) и H~⊥ = γ(H~⊥0+E~k = E~k , H0+[β~ × E~⊥ ]), где индексы k и ⊥ характеризуют параллельные и перпендикулярные компоненты полей относительно вектора относительной скорости инерциальных систем отсчета. Записать единые форму~ и H.~лы для преобразования полей E5.11.
Найти инвариант F ik Fik электромагнитного поля. Исполь~ и H,~ найденные в предыдущейзуя формулы преобразования полей E~ · H)~ при переходе иззадаче, доказать инвариантность величины (Eодной инерциальной системы отсчета в другую.~ H~ в K, то E~ 0⊥H~ 0 в K 0;5.12. Покажите, что если: а) E⊥~ иH~ тупойб) E > H в K, то E 0 > H 0 в K 0; в) угол между E~ H~ в K,(острый) в K, то он останется тупым (острым) и в K 0; г) E⊥~ 0 = 0 (при |E|~ < |H|)~ или H~0 =0то существует K 0, в которой или E~ < |E|),~ (K и K 0 – две инерциальные системы отсчета).(при |H|~ H~ движется заряженная части5.13. В скрещенных полях E⊥ца. С какой скоростью и в каком направлении она должна двигаться,5.1Преобразование полей. Инварианты поля173чтобы её траектория оставалась прямолинейной, а скорость – постоянной?5.14. В лабораторной системе заданы однородные электрическое~ и магнитное H~ поля. Определить скорость системы отсчета, в котоEрой электрическое и магнитное поля параллельны.
Чему они равны?~ H.~ Какова скорость системы K 0, в которой5.15. В системе K E⊥останется лишь одно из полей?5.16. Встречные линейные пучки ультрарелятивистских электронов и позитронов с одинаковыми токами и поперечными круговымисечениями имеют энергии Te− = 100 ГэВ и Te+ = 300 Гэв. Указатьтакую систему отсчета и найти её скорость, чтобы в ней электрическоеполе, создаваемое пучками на границе, было минимально.5.17.
Вдоль бесконечного (полого) цилиндра, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда κ, течет ток J. Найти скорость системы отсчета, в которой останется лишь одно из полей (электрическое или магнитное). Найти величину этого поля.~ и5.18. Исходя из законов преобразования полей, найти поля E~ движущегося равномерно точечного заряда q. Убедиться в сплющиHвании электрического поля в направлении движения. Как согласовать0это изменение продольной компоненты с формулой E~k = E~k ?5.19.
Найти электромагнитное поле, создаваемое электрическим~ движущийся с постоянной скородиполем с дипольным моментом d,стью v.~ с равными скоростя5.20. Перпендикулярно магнитному полю Hми v движутся два диэлектрических одинаковых шарика (радиус – a,проницаемость – ε). Расстояние между центрами шариков – l a.Найти силу взаимодействия шариков.5.21. Металлический шар из немагнитного металла движется рав~ со скоростью ~v , направленномерно в постоянном магнитном поле H1745ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ~ Найти выражение напряженности электрическоной под углом θ к H.~ внутри и вне шара в его лабораторной системе отсчета.
Чего поля Eму равна объемная плотность индуцированных зарядов внутри шара.Получить выражение для поверхностной плотности индуцированныхзарядов. Магнитным полем движущихся зарядов пренебречь.5.22. Поле ультрарелятивистской заряженной частицы почти поперечно и E ≈ H, т. е. у него те же свойства, что и у электромагнитной волны. Показать, что число эквивалентных фотонов сопровождаγc dωln(ющего излучения заряженной частицы Nω dω = 2απωbmin ) ω , где1~Edωα = e~c ≈ 137, bmin ∼ mc, т.
е. Nω dω = 2απ · ln( ~ω ) · ω5.2.Излучение релятивистской частицы. Синхротронное излучение.Переходное излучение. Излучение Вавилова–Черенкова.Торможение излучениемУзкий пучок электронов с энергией T = 300 кэВ(mec2 = 511 кэВ) движется параллельdно поверхности металлической дифракциθонной решетки перпендикулярно штрихам.Расстояние между узкими соседними штрихами-бороздами на нейd = 1, 67 · 10−4 см.
Найти: а) период излучения, наблюдаемого подуглом θ к оси пучка; б) характерную длину волны λ; в) цвет, которыйдолжен наблюдаться для угла θ = 15◦.5.23.5.24. Переходом из системы, где частица покоится, а ускорениееё ~a, в систему, где её скорость v ∼ c, получить формулу полногоизлучения 4-импульса:2 e4i∆p = −3 m 2 c5ZFkl ulF kmum dxi.5.2Излучение релятивистской частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
