1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 27
Текст из файла (страница 27)
f =R1 R2 /2nR1 +(n−1)R2 .(|R1| + |R2|).1.34. ` '15,3 см; увеличение равно η ' −1, 6.1.35. f −1 = 1/f1 + 1/f2 − `/f1f2. Расстояния от линзы 1(2) до`fвходной (выходной) главных плоскостей равны соответственно ∓ `−f11,2−f2 ,так что расстояние между главными плоскостями равно `2f f1f2.1.36. Прямое сильно увеличенное (в ∼ 500 раз) изображение будет расположено практически в бесконечности.1.37.
а) Расстояние от точки выхода пучка из n-й линзы до оптической оси системы равно xn = A sin (nα+β), где cos α = 1− 2fd , а константы A и β определяются координатой и углом входа луча в первуюлинзу; при d < 4f решение неустойчиво. б) xn = A sin (nα + β), где2cos 2α = 1 − 12 fd2 , A и β находятся из начальных условий на входе впервую линзу.~ – направление главной нормали к лучу.1.38. 1 = d ln n , где NρdN' 1, 6 · 10−9 см−1.1.40. Mпл = M3/R3 · dndz 3 = 4M3 .
Указание. Плотность и температуру атмосферы планеты принять такими же, как на Земле.n0kx1.41. y = k ch n0 − 1 .1.39. ρ ' 33 000 км;dndz1.42. α∞ − α0 = −n0R sin α0R∞ d ln nRdr√drn2 r2 −n20 R2 sin2 α0.1902ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ1.43. α∞ − α0 = 2 (n0 − 1) x0tgα0R∞e−(x2 −x20)dx,x0mgRT(1 − sin α0) (m – масса «молекулы» воздуха, R – радиусx20 =Земли, T – температура атмосферы).1.44. ∆τ ' 142 с.2.ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕВ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ2.1.
Спектры обоих импульсов одинаковы.12 [δ (ωτ sin(ωτ /2)2π ωτ /22.2. а) fω =в) fω=д) fω =τ4πsin(ωτ /4)ωτ /42− ω0) + δ (ω + ω0)]; б) fω =≡τωτ2π sinc( 2 );г) fω=22√1 e−ω /4β ;2 πβτ cos(ωτ /2);2π 2 1−( 2 · ωτ )2π 2.~ ω = iωµ H~ ω , div εE~ ω = 4πρω , rot H~ ω = − iωε E~ ω + 4π~jω ,2.3. а) rot Eccc~div µHhω = 0. i1 ~˙~~~~б) i k × E~k = − c B~k , i k D~k = 4πρ~k ,ih˙14π~~~~ = D~i ~k × Hkc ~k + c j~k , k B~k = 0.hiωµ~~ = − H~ ~ , i ~k D~ ~ = 4πρ~ ,в) ~k × Ekωkωkωchi kω 4π~~~~~ ~ = iω Di ~k × Hkωc ~kω + c j~kω , k B~kω = 0.~ ω (r) = − grad ϕω (~r) + iω A~ r), H~ ω (~r) = rot A~2.4.
а) Ec ω (~hi ω (~r).~ ~ (t) = −i~kϕ~ (t) − 1 A~˙ ~ (t), H~ ~ (t) = i ~k × A~~ (t) .б) Ekkkkc khi~~~~~ ~ = −i~kϕ~ + iω Aв) Ekωkωc ~kω , H~kω = i k × A~kω .2.5. а) ϕ~k = 2πe2k2 , б) (Az )~k = J/ πck 2 .hi~ie~kiJ [k×~ez ]~~~~~2.6. а) E~k = −ikϕ~k = 2π2k2 , б) H~k = i k × A~k = πc.k2191~~e δ (k~v −ω ) ~e~v δ (k~v −ω )2.7. ϕ~kω = 2π2 k2−ω2/c2 , A~kω = 2π2c k2−ω2/c2 ;δ (~k~v −ω )eω~~v~ ~ = i 2 2 2 2 −~k + 2 , H~ ~ = i e2Ekωkω2π k −ω /cc2π chi δ ~k~v−ω~k × ~v 2( 2 )2 .k −ω /c2.9. vгр = ∆ω/∆k, где величина ∆k определяется значением ∆ωв соответствии с дисперсионными свойствами среды.√2 22.10.
ψ (x, 0) = a0 π∆ke−∆k x /4 · eik0x.q3i(~k~r−ω0 t)(ρq)e, где J3/2 – функцияJ2.11. ψ (r, t) = 4πa0 πq2ρ3 3/2dωdk – групповаяk0 rθ2 ik0 r.4 eБесселя, ρ = |~r − ~vg t| , ~vg =2.12. ψ (r, θ) =4πk0r2.13. ψ (x, t) = a0sinqскорость пакета.2x−vt()gπα+iβt exp − 4(α+iβt) + i (k0 x − ωt) ≡≡ Aei(k0x−ω0t), при этом закон дисперсии предполагается имеющимвид ω (k) = ω0 + vg (k − k0) + β (k − k0)2. Пакет расплывается иуменьшается (по амплитуде во времени); при этом его «полная» ин+∞Rтенсивность|A (x, t)|2 dx постоянна.−∞2.14.
∆x ' a2d/vg ∆x0.2.15. Указание: воспользоваться решением задачи 2.13.dv2.17. u = v − λ dλ; u = v 1 + nλ dndλ , где λ – длина волны в среде,u – групповая скорость, v – фазовая скорость.2.18. а) u = v; б) uг) u =2√ cc2 +b2 λ22.19. v ==√cε0c2v;д) u =1−ω2 21 ωp ω2 ε0 ω042ω ω0; v = c 1 + 21 ωp2 >√a λ= 2 = v2 ;1 hc2iω/2d(εµ) .εµ 1+εµ dω vв) u =< c, u = √cε0 121 ωpc, u = c 1 − 2 ω2−3 √a2 λ2 23 ωp ω2 ε0 ω04=32 v;< c при< c при ω ω0.2.20. а) vфаз = 0, 495c и vгр = 1, 01vфаз для ω = 1014 Гц,vфаз = 0.448c и vгр = 1, 246vфаз для ω = 1015 Гц, vфаз = vгр. = 01922ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИдля ω = 1016 Гц; √ ∆x2 d2ω −1б) τ = 2 3 π2 dk2' 7 · 10−10 с и ` = τ dωdk ' 8, 5 см дляω = 1015 Гц.2.21.
б) ∆t∆f ' 0, 3; в) ∆t∆f ' 2; г) ∆t∆f ' 1; д)∆t∆f ' 4.2.22. ∆xmin ' λ/ (2π sin θ), где 2θ – угол, под которым виденобъектив микроскопа из рассматриваемого объекта.√2.23. ∆x ≥ λ`.2.24. d λ.√2.25. d ' λ`.λ`/d2.26. ∆x ' d + cos3 θ.√2.27. d ' λL ' 14 км.2.28. dпятна ' λF/d.`>2.29. В виде кружка, так как θ `среднλdпри d ∼ 1 см.2.30. а) λ . 3000 м; б) λ . 10 м.2.31. В среде, граничащей с идеальным проводником, Eτ = Bn =0. Указание: Воспользоваться конечностью плотности тока в идеальном проводнике.2.32. Для E-волныik ∂Eziεω ∂Eziεω ∂Ezik ∂Ez,E=,H=−,H=−.yxyκ 2 ∂xκ 2 ∂ycκ 2 ∂ycκ 2 ∂xω 222Ez удовлетворяет уравнению ∆2Ez + κ Ez = 0, где κ = v − k 2,∂2∂2v 2 = c2/ (εµ), ∆2 = ∂x+.
Для H-волны в приведенных выше2∂y 2формулах следует сделать замены E ↔ H и ε ↔ −µ.Ex =2.34. Для E-волны:πmxπny i(kz−ωt)Ez = Amn sinsine; (m, n = 1, 2...)ab193иcω=√εµrk2+ πm 2a+ πn 2b, ωminπc √ 22=√a + b /ab .εµДля H-волны:πmxπny i(kz−ωt)cose; (m, n = 0, 1...)ab( но m · n 6= 0!).
Значение ω то же, а ωmin = √πcεµa (при a ≥ b).Hz = Amn cos2.35. Для H10-волны: в боковых стенках ηx = ηz = 0 иz (x)|y=0,b,ηy = ±Hz |x=0,a; на «крыше» и «дне» – ηy = 0, ηx = ± cH4πηz = ∓ 4πc Hx (x) |y=0,b, где Hx, Hz – компоненты поля в волноводе.Для E11-волны: в боковых стенках ηx = ηy = 0 и ηz = ± 4πc Hy (y) |x=0,a;на «крыше» и «дне» ηx = ηy = 0, и ηz = ∓ 4πc Hx (x) |y=0,b, где Hx,Hy – компоненты поля в волноводе, η – поверхностная плотностьтока.2.36. В волноводе возбуждается H10-волна, когдаωmin ≤ ω ≤ 1, 67ωmin, ωmin = 1, 9 · 1010c−1.2.37. Указание: записать выражение для поля H10-волны в видесуммы плоских монохроматических волн.2.38.
Волны электрического типа:а) Четные решения(Ex (x) = Ex (−x) = Hy (−x) , Ez (x) = −Ez (−x)) :для |x| > a Ez = Asignx · exp (−s |x|), Ex = A iks exp (−s |x|),Hy = A iωcs exp (−s |x|) ; для |x| ≤ a Ez = B sin x · exp (κx),iωεsaEx = B ikκ cos (κx), Hy = B cκ cos (κx), где A = Be sin (κa),2 2κ, s определяется из уравнений: (κa)2 + (sa)2 = ωc2a (εµ − 1) (1),sa = 1ε κatg (κa) (2).б) Нечетные решения(Ex (x) = −Ex (−x) , Hy (x) = −Hy (−x) , Ez (x) = Ez (−x)) :1942ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИдля |x| > a Ez = A exp (−s (x)), Ex = iks signx · exp (−s |x|),Hy = A iωcs signx · exp (−s |x|); для |x| ≤ a Ez = B cos (κx),iωεsaEx = −B ikκ sin (κx), Hy = −B cκ κ sin (κx), где A = Be cos (κa),κ, s определяются из уравнений (1) и sa = − 1ε κa·ctg (κa) (3).
Волны магнитного типа рассматриваются аналогично. Волноводные свойства слоя следуют из того, что поле бегущей волны, как видно из результата, концентрируется в основном внутри слоя.2.39. ω∗ ≤ ω ≤ ω∗ + ω0.2.40. E 2ab = const.2.41. τ '1 a4 ω 33 c4≈10−2 τ1βτ2π2ac= 3 · 10−9с, где ω ' 76 ω∗ 'πca.2 2 21 1−ω0 /c k02k0 c 22.42. l '' 10 м, где β =' 4 · 10−23 с2/см,qω02π2а k0 =2 + a2 ' 5 см – волновое число данного СВЧ-сигнала вволноводе.√√2.43. l ' 2πckz a σ/ω 3/2 ' 150 м. Указание: Длина затухания пропорциональна отношению потока энергии в волноводе к джоулевым потерям в стенках волновода на единицу его длины.2.44. Каждое собственное колебание описывается векторным потенциалом~ : Ax = N1 cos (k1x) sin (k2y) sin (k3z) e−iωt,AAy = N2 sin (k1x) cos (k2y) sin (k3z) e−iωt,Az = N3 sin (k1x) sin (k2y) cos (k3z) e−iωt,iгде ki = πnai , n1 , n2 , n3 = 0, 1, 2, ...; k1 N1 + k2 N2 + k3 N3 = 0;a1, a2, a3 ≡ a, b, c.pπc2.45.
ωmin = a2a3 a22 + a23 ' 1010c−1. (Стороны резонатора(a1 < a2 < a3.)195~ 0 и магнит2.46. Указание: учесть связь между электрическим E~ 0 полями для собственных колебаний резонатора и условиеным Hhi~ τ = ~n × E~ 0 = 0 на поверхности резонатора.E2.47. Fx = 0, Fy = Fz = W/2a.3.КОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ.ДИФРАКЦИЯ3.1. ∆x = λL/ (2d).3.2.
I (x) = 4I0 cos2 (kxd/L), где I0 – интенсивность в каждомиз отверстий.d3.3. n = 1 + ∆xh L.3.4. I (x) = 4I0 sin2 kxhL , где I0 – интенсивность источника.Указание. Учесть потерю полуволны при отражении от зеркала.◦3.5. λ =∆x·∆h2 L(η−1)' 6 · 10 A.3.6. x ≤λ2 Lh·∆λ , lk≈3hxL≈λ2∆λ .3.7. h ≤ λa/d; l⊥ ≈ λa/h ' λ/α, где α – угол, под которымвидны источники из месторасположения экрана со щелями.kad 3.8. V = sinc. Высота щели h не влияет на видность полос.2l3.9. d/a ≥ 4/3. Указание. Учесть, что в интерференционной картине должны быть видны хотя бы несколько полос.3.10.
V = 32 cos2 kLd2acos α ; Vmax = 2/3 при α = π/2, т. е. когдастержень с источниками стоит параллельно экрану со щелями.aλа также любые d, такие, что d 2πl., где 2l – размер источника, 2b – рас3.12. V = sinc 4πblLλстояние между щелями, L – расстояние от источника до экрана сощелями. Указание. Проинтегрировать распределение интенсивности3.11. d =amλl ,1963КОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ. ДИФРАКЦИЯв заданном месте экрана по малым участкам источника, считая соседние участки некогерентными.3.13. L ≥3.14.
d ≤bdλ ' 1 м.dзрачка l'2L3.15. V = sinc3.16. ∆x 'см.kαdkαd0·cos.22(λ2/∆λ)2(a+b)4αb(n−1) .c3.17. lk ∼ ∆ν' 3·108 см; l⊥ ' D у генератора и l1 ' lk Dλ ' 3·103смвдали от него. παd 1 λπαd√3.18. а) V = cos; б) V =J1, где J1 – функцияλ2 π αdλБесселя.3.19. а) 1, 6 · 106 км; б) 6, 2 · 108 км.3.20. L ≥ af α/λ = 20 м.2223.21. I (~r1, ~r2) = I1 (~r1, t) I2 (~r2, t) = |A1| + |A2|+hi+2 |A1|2 |A2|2 cos ~k1 − ~k2 (~r1 − ~r2) , где Ii (~ri, t) – интенсивностьв точке наблюдения ~ri в момент t, черта означает усреднение за время времени когерентности каждого источника. Угол между ~k1 и ~k2равен θ = 2π/ (k∆r), где ∆r – расстояние между точками наблюдения, при котором изменение I (~r1, ~r2) – максимально.√1 I23.22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
