1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Исходя из условия ~j = c rotMв магнитостатике, полагая, что плотность заряда ρ ≡ 0 и, следовательно, ϕ ≡ 0, и введя вектор Герца Z~m, связанный с намагничением~ уравнением Z~m = −4π M~ , решение которого естьMZ ~ ~0Z00Z(r,t−R/c)dV1m~m =~ (r~0, t−r/c)dV 0 = m(t−r/c)/rZ≈M~Rr∂при e λ, e r, показать, что E~m = − 1c ∂trot Zm и H~m =rot rot Z~m. Сравнить с результатами предыдущей задачи.Запишем систему для потенциалов в этом случае:~1 ∂A~~~~~A = −4π j/c, div A = 0, Em = −, H~m = rot A.c ∂t1604ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ~ , чтобы прийти к уравнениюИспользуем замену ~j = c rot M~:Z~m = −4π M~ = −4π~j/c = −4π rot M~.A~ = rot Z~m.

Тогда div A~ = div Z~m = 0 :Очевидно, что A~1∂1 ∂A~ = rot rot Z~m.=−rot Z~m, H~m = rot AEm = −c ∂tc ∂tZ~m = m(t~ − r/c)/r.Поле излучения магнитного диполя E~m, H~m отличается от полей~e ⇔ H~ m,излучения электрического диполя лишь заменой E~ m ⇔ −H~ e, p~e ⇔ mE~ m.~ иH~ для точечного диполя с диР.46. Найти поля излучения Eпольным моментом: а) p~ = p~0e−iωt; б) m~ =m~ 0e−iωt. Указание: использовать результаты двух последних задач.ZPθur urp, m θ PrrrXа) В сферической системе координат r, θ, αвектор p~ (его направление выбрано за направлении оси Z) выглядит так: p~ = (pr , pθ , pα ) =(p cos θ, −p sin θ, 0).Задача аксиально симметрична относительно оси Z, угол θ отсчитывается от оси Z, а неот плоскости X, Y .Тогда вектор ГерцаrZ~e = p~(t − r/c)/r = p~0eiω( c −t)/rимеет следующие проекции:Ze = (Zer , Zeθ , Zeα ) = (Ze cos θ, −Ze sin θ, 0).4.4Решение типичных задач161~ e:Магнитное поле излучения H~ e = − 1 ∂ rot Z~e.Hc ∂tНайдем rot Z~e: e~rre~θr sin θe~α1∂∂rot Z~e = 20∂θr sin θ ∂rZe cos θ −r · Ze sin θ0.∂(Вместо ∂αпоставлен 0, так как из-за аксиальной симметрии нетзависимости от угла α).rotr Z~e = 0; rotθ Z~e = 0, следовательно, Hr = Hθ = 0.r sin θ∂∂(Ze cos θ) =rotα Z~e = 2− (r · Ze sin θ) −r sin θ∂r∂θ∂Ze1∂Ze+ Ze sin θ = − sin θ;=−Ze sin θ − r sin θ ·r∂r∂r −iω(t−r/c) ∂ p0 e∂Zep0 iω −iω(t−r/c) p0 −iω(t−r/c)=e− 2e==∂r∂rrr crp0 −iω(t−r/c) iω 1= e−.rcrМагнитное поле1∂iωiω1Heα = −rotα Z~e = −−sin θp0e−iω(t−r/c).c ∂tcr ccHer = Heθ = 0.Рассчитаем электрическое поле: e~ re~r sin θe~αθ z1∂∂0Ee = rot rot Z~e = 2r sin θ ∂r ∂θ 0 0 r sin θ · rotα Z~e,1624ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ∂ Z~erotα Ze = − sin θ.∂rОтсюда следует, что Eeα = rotα rot Z~e = 0 :!~12 sin θ cos θr ∂ Z~e∂2 ∂ ZeEer = 2−r sin θ=−=r sin θ ∂θ∂rr2 sin θ∂rcos θiω 1=2 2− +p0e−iω(t−r/c),rcr!~eiω1∂∂Z∂rp0e−iω(t−r/c) ·+=r sin2 θ= sin θEeθ = 2r sin θ ∂r∂r∂rcr1iω ω 2 p0e−iω(t−r/c)= sin θ 2 −− 2.rcrcrВведем понятие ближней (квазистационарной) зоны: ` r λω1λ = cT = 2πcω , т.

е. c << r . Здесь2p0e−iωt cos θ 2p(t) cos θ≡,Eer ≈r3r3p0e−iωt sin θ p(t) sin θEeθ ≈≡, Eeα = 0.r3r3~e (при фиксированномТаким образом, мгновенное значение поля Eзначении t — момент времени) — это поле электрического диполя,заданное в сферической системе координат. Оно меняется синхроннос колебаниями диполя. Магнитное поле в этой зонеHeα = −iω1 ∂p(t)−iωtpesinθ=·sin θ,0cr2cr2 ∂tdp = qd`; dṗ = Jd`; dHα =Jd` r sin θ− закон Био–Савара.cr34.4Решение типичных задач163Посмотрим на наш результат на больших расстояниях. Введем понятие дальней (волновой) зоны: ` λ r, т. е. ωc 1r . ЗдесьEr = Eα = 0, Hr = Hθ = 0,ω21 ∂2−iω(t−r/c)Eθ = Hα = − 2 p0ep(t − r/c).sin θ = 2crc r ∂t2Это сферическая электромагнитная волна со всеми ее свойствами:~ ⊥H~ ⊥ ~k.|E| = |H|; EОтсюда легко получить классическую формулу дипольного излученияc 2p~¨ 2(t − r/c) 32sin θdθ.dI = Sds = Eθ · 2πr sin θdθ =4π2c3RπПроинтегрировав по θ в пределах от 0 до π, учитывая, что 0 sin3 θdθ =4/3, получимdε2 p~¨ 2(t − r/c)=I=.dt3c3Так как p~ = q~r, то p~¨ = q~r¨ ≡ q~a.

Поэтомуdε2 q 2~a2=I=.dt3 c3б) Результат следует из заключения решения Р.40.Р.47. Показать, что при взаимодействии N заряженных частиц содинаковым отношением заряда к массе qi/mi в отсутствие внешнихполей электрическое дипольное излучение отсутствует.PNp~ = i=1 qir~i — определение дипольного момента.Домножим каждый член суммы на mi/mi и вынесем за знак суммыодинаковый для всех множитель qi/mi:p~ = (qi/mi)NXi=1mir~i.1644ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕВспомним, что радиус-вектор системы центра масс~ =RNXi=1mir~i/NXmi .i=1~¨ = 0, тогда и p~¨ ≡ 0, т. е.

I = 0.В отсутствие внешних сил RР.48. За какое время частица, двигающаяся по круговой орбите,упадет на заряженный центр из-за потерь на электромагнитное излучение? Получить численную оценку для атома водорода в модели Резерфорда. (Радиус a=0, 5 · 10−8см, заряд электронаe = 4, 8 · 10−10 CGSE, масса m = 0, 9 · 10−27 г.)Излучаемая (теряемая атомом) мощностьdE2 e2~a 2=−.dt3 c3По закону Ньютона m|~a| = e2/r2, т.

е. |~a| = e2/mr2. Изmv 2e2получаем, сократив на r и поделив на 2, что кинетическая=rr22e2энергия на витке радиуса r равна mv2 = 2r.Отсюда энергияmv 2 e2 e2 e2e2E=− =− =− .2r2rr2rПоэтому dE = e2dr/2r.Переходя в выражении для мощности от dE к dr, получаем, подставив выражение ~a, дифференциальное уравнение4e4r dr = − 2 3 dt,3m cгде r изменяется от a до 0.Отсюда время2a3m2c3−11t==1,3·10с.4e44.4Решение типичных задач165Р.49.

Оценить энергию, излученную электроном за все время егопролета на большом расстоянии ρ от тяжелого ядра с зарядом Ze.Считать его скорость v практически неизменной по величине и направлению, причем v c.0x=vte,mθρXdE2 e2a2 2 e2Z 2e4=.=dt3 c33 m2 c3 r 4ОтсюдаZ2 z 2e6 +∞2 Z 2e6dtZeE==J,3 m2c3 −∞ (ρ2 + v 2t2)2 3 m2c3Z +∞Z +∞Z π 4dtρd(vt/ρ)1sin θdθ==J=.22 + v 2 t2 )24v2 )23v(ρρ(1+(vt/ρ)ρsinθ−∞−∞0vt/ρ = ctg θ.rТогда1/(1 + ctg2 θ)2 = sin4 θ; d(ctg θ) = −dθ/ sin2 θ.Z ππ11 − cos 2θdθ = 3 .J= 3ρv 022ρ vОтсюда2 Z 2e6ππ Z 2e6Ze2E=·=при<< 1.3 m2c3 2ρ3v3 m 2 c 3 ρ3 vρmv 2Р.50.

Вычислить в омах сопротивление излучения рамочной антенны, имеющей форму кругового витка радиуса a и питаемого токомJ = J0 cos ωt. Длина волны λ a.Магнитный момент антенныm(t) = JS/c = (πa2J0 cos ωt)/c = m0 cos ωt.1665ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫИзлучаемая магнитным полем мощностьdE2 ω4 2 2 r= 3 m0 cos t −.dt3ccСредняя за период мощностьdEm20ω 4== Rизл · J 2.3dt3cНайдем средний квадрат тока J 2, выраженный через m2:c2 2m20 · c2J022J = 2m == .S2(πa2)22Наконец находим сопротивление излучения:dE/dt m20ω 4,Rизл = ¯2 =33cJ2 42m0ω 2π 2a4 2π 2 ω 4a4J0=· 2 2 =.23c3m0 c3 c5Так как ωc = k = 2πλ , то4442π 2 2πa2πa22πaRизл ==CGSE = 200Ом.3cλ9 · 109λλ5.ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫКонтравариантные координаты 4-вектор события xi = (x0, x1, x2, x3),xi = (ct, x, y, z). Декартова система A0 движется вдоль оси x0, совпадающей с осью x, со скоростью v.

Тогда контравариантные координаты вектора события в этих системах связаны преобразованием Лоренца  0ctγ −βγ 0 0ct 0    x   −βγ γ 0 0   x (1) 0 = ,0 1 0  y  y   0z000 0 1z167pгде γ = 1/ 1 − β 2, β = v/c. Сокращенно это соотношение можно записать x0i = Λi.k xk , где по повторяющимся индексам (один изкоторых вверху, другой расположен внизу) подразумевается суммирование. Иными словами, предыдущая запись означает, что3X0ix =Λi.k xk .(2)k=0Матрица обратного преобразования Λ(β)−1 = Λ(−β).Контравариантные компоненты некоторых 4-векторов:~потенциал Ai = (ϕ, A1, A2, A3) = (ϕ, A);ток j i = (cρ, j 1, j 2, j 3) = (cρ, ~j);волновой вектор k i = ( ωc , k 1, k 2, k 3) = ( ωc , ~k);энергия-импульс pi = ( Ec , p1, p2, p3).Величина10gik = 000−10000−1000 0 −1(3)называется метрическим тензором.

Контравариантные и ковариантные компоненты метрического вектора связаны соотношением−1g ik = gik = gik.Метрический тензор используется для поднятия и опускания индексаAi = gik Ak ; Ai = g ik Ak .Скалярное произведение 2-х произвольных 4-векторов a и b естьab = gik aibk = ak bk = aibi = g ik aibk .(4)Скалярное произведение инвариантно относительно преобразованияЛоренца. Интервал(ds)2 = gik dxidxk = dxk · dxk .(5)1685ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫpds = cdt 1 − β 2 = cdt/γ = cdτ,где τ – собственное время.Эффект Доплера – преобразование частоты и угла:ω ωωik =, cos θ, sin θ, 0 ,cc 0c 00ωωω, cos θ0, sin θ0, 0 ,k 0i =c ccik 0 = Λi.k k k .(6)(7)Преобразование частоты1 − β cos θω 0 = γω(1 − β cos θ) = ω p1 − β2(8)Аберрацияtg θ0 =sin θ.γ(cos θ − β)(9)Продольный эффект Доплера:θ0 = 0 или θ0 = π ⇒ sin θ0 = sin θ = 0.sω 0 = ωγ (1 − β) = ω1−β.1+βПоперечный эффект Доплера:θ0 = π/2, тогдаpω02ω = γ 1 − β ω = = ω 1 − β 2.γ(10)(11)4-вектор скорости5dxi~u == γ (c, ~v ) = γc(1, β).dτi5(12)В некоторых учебниках, в частности в «Теории поля» Ландау Л.Д.

Характеристики

Список файлов книги